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2015-2016学年四川省雅安中学高一(下)期中数学试卷(解析版)


2015-2016 学年四川省雅安中学高一(下)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若向量 =(3,m) =0,则实数 m 的值为( , =(2,﹣1) , ) A. B. C.2 D.6 )

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a1=4,则公差 d 等于( A.1 B. C.﹣2 D.3

3.如果 a、b、c、d∈R,则下列命题中正确的是( ) A.若 a>b,c>b,则 a>cB.若 a>﹣b,则 c﹣a<c+b C.若 a>b,则 ac2>bc2 D.若 a>b,c>d,则 ac>bd 4.在△ABC 中,若边长和内角满足 b= ,c=1,B=45°,则角 C 的值是( A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120° 5.已知等差数列{an}的首项 a1=﹣1,公差 d= ,则{an}的第一个正数项是( A.a4 B.a5 C.a6 D.a7 6.若关于 x 的不等式 x2﹣ax+1≤0,ax2+x﹣1>0 均不成立,则( A.a<﹣ 或 a≥2 B. C. D. )





7.已知{an}是等差数列,a2=﹣1,a8=5,则数列{an}的前 9 项和 S9 为( ) A.18 B.27 C.24 D.15 8.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且(2b﹣ c)cosA= 则角 A 的大小为( ) A. B. C. D.

acosC,

9.某小朋友按如下规则练习数数,1 大拇指,2 食指,3 中指,4 无名指,5 小指,6 无名指, 7 中指,8 食指,9 大拇指,10 食指,…一直数到 2016 时,对应的指头是( ) A.小指 B.中指 C.食指 D.大拇指 10.在三角形 ABC 中,已知 sinA:sinB:sinC=2:3:4,且 a+b=10,则向量 在向量 的 投影是( ) A.7 B.6 C.5 D.4 11.如图,△ABC 的 AB 边长为 2,P,Q 分别是 AC,BC 中点,记 ? + ? =n,则( )

?

+

?

=m,

A.m=2,n=4 C.m=2,n=6

B.m=3,n=1 D.m=3n,但 m,n 的值不确定
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12.记 n 项正项数列为 a1,a2,…,an,其前 n 项积为 Tn,定义 lg(T1?T2?…Tn)为“相对叠 乘积”,如果有 2013 项的正项数列 a1,a2,…,a2013 的“相对叠乘积”为 2013,则有 2014 项 的数列 10,a1,a2,…,a2013 的“相对叠乘积”为( ) A.2014 B.2016 C.3042 D.4027 二、填空题(本大题共有 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13.在△ABC 中,BC=2,AB=3,B= ,△ABC 的面积是______.

14.如图,山顶上有一座铁塔,在地面上一点 A 处测得塔顶 B 处的仰角 α=60°,在山顶 C 处测得 A 点的俯角 β=45°,已知塔高 BC 为 50m,则山高 CD 等于______m.

15.在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,S2=9,S4=22,则 S8=______. 16.已知| |=1,| |= , =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设 +n (m、n∈R) ,则 等于______.

=m

三、解答题(本大题共有 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知| |=| |=6,向量 与 的夹角为 .

(1)求| + |,| ﹣ |; (2)求 + 与 ﹣ 的夹角. 18.已知△ABC 的周长为 +1,且 sinA+sinB= (I)求边 AB 的长;

sinC

(Ⅱ)若△ABC 的面积为 sinC,求角 C 的度数. 19.若不等式:kx2﹣2x+6k<0(k≠0) ①若不等式解集是{x|x<﹣3 或 x>﹣2},试求 k 的值; ②若不等式解集是 R,求 k 的取值范围. 20.设{an}为等差数列,Sn 是等差数列的前 n 项和,已知 a2+a6=2,S15=75. (1)求数列的通项公式 an; (2)Tn 为数列 的前 n 项和,求 Tn.

21.已知向量 =(sinA,sinB) , =(cosB,cosA) , ? =sin2C,且 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角, (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sinA,sinB,sinC 成等差数列,且 ?( ﹣ )=18,求 c 边的长及△ABC 的 面积. 22.已知等差数列{an}的首项 a1=1,且公差 d>0,它的第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等 比数列{bn}的第 2、3、4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
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(2)设数列{cn}对任意正整数 n 均有

+

+… +

=an+1 成立,求 a1c1+a2c2+…+ancn 的值.

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2015-2016 学年四川省雅安中学高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若向量 =(3,m) =0,则实数 m 的值为( , =(2,﹣1) , ) A. B. C.2 D.6

【考点】平面向量坐标表示的应用. 【分析】根据两个向量的数量积为零,写出坐标形式的公式,得到关于变量的方程,解方程 可得. =6﹣m=0, 【解答】解: ∴m=6. 故选 D 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a1=4,则公差 d 等于( A.1 B. C.﹣2 D.3 )

【考点】等差数列的性质. 【分析】由题意可得 S3=6= (a1+a3) ,且 a3=a1+2d,a1=4,解方程求得公差 d 的值. 【解答】解:∵S3=6= (a1+a3) ,且 a3=a1+2d,a1=4,∴d=﹣2, 故选 C. 3.如果 a、b、c、d∈R,则下列命题中正确的是( ) A.若 a>b,c>b,则 a>cB.若 a>﹣b,则 c﹣a<c+b C.若 a>b,则 ac2>bc2 D.若 a>b,c>d,则 ac>bd 【考点】不等式的基本性质. 【分析】对于 A,C,D 举反例即可判断,对于 B,根据不等式的性质即可判断. 【解答】解:对于 A,例如 a=1,b=0,c=2,则不满足,故 A 错误, 对于 B,若 a>﹣b,则﹣a<b,则 c﹣a<a+b,成立,故 B 正确, 对于 C,若 c=0,则不成立,故 C 错误, 对于 D,例如 a=1,b=0,c=﹣2,D=﹣3,则不满足,故 D 错误, 故选:D. 4.在△ABC 中,若边长和内角满足 b= ,c=1,B=45°,则角 C 的值是( A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120° )

【考点】正弦定理. 【分析】由 B 的度数求出 sinB 的值,且根据大边对大角得到 C 的度数小于 B 的度数,然后 由 b,c 及 sinB 的值,利用正弦定理求出 sinC 的值,由 C 为三角形的内角且小于 B 的度数, 利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数即可.
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【解答】解:由 根据正弦定理 = 得:



sinC=

=

= ,

又 C 为三角形的内角,且由 b>c, 得到 45°=B>C>0, 则角 C 的值是 30°. 故选 A

5.已知等差数列{an}的首项 a1=﹣1,公差 d= ,则{an}的第一个正数项是(



A.a4 B.a5 C.a6 D.a7 【考点】等差数列的性质. 【分析】先根据等差数列的通项公式,求得 an,令 an>0 求得 n 的范围,即可推断出第一个 正数项. 【解答】解:依题意知 an=﹣1+(n﹣1)? = ﹣ , 令 an>0,求得 n>6, ∴数列中第 7 项为第一个正数项. 故选:D. 6.若关于 x 的不等式 x2﹣ax+1≤0,ax2+x﹣1>0 均不成立,则( A.a<﹣ 或 a≥2 B. C. D. )

【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】将问题转化为其反面成立,再利用“三个二次”的关系即可求出. 【解答】解:∵关于 x 的不等式 x2﹣ax+1≤0,ax2+x﹣1>0 均不成立,∴关于 x 的不等式 x2﹣ax+1>0,ax2+x﹣1≤0 都成立. 由关于 x 的不等式 x2﹣ax+1>0 成立,则△=a2﹣4<0,解得﹣2<a<2; a=0 时不满足题意, a 满足 a<0, 由关于 x 的不等式 ax2+x﹣1≤0 成立, 应舍去; 当 a≠0 时, △=1+4a≤0,解得 .

故 a 的取值范围是

,解得



故答案为 故选 D.



7.已知{an}是等差数列,a2=﹣1,a8=5,则数列{an}的前 9 项和 S9 为( A.18 B.27 C.24 D.15 【考点】等差数列的前 n 项和.
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【分析】根据等差数列的性质可得 a2+a8=2a5,求出 a5 的值,然后把所求的式子也利用等差 数列的性质得到 S9 等于 9a5,把 a5 的值代入即可求出值. 【解答】解:由 a2=﹣1,a8=5 得到:a2+a8=2a5=4, 所以 a5=2, 则 S9=a1+a2+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+…+a5=9a5=18. 故选:A. 8.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且(2b﹣ 则角 A 的大小为( ) A. B. C. D. c)cosA= acosC,

【考点】正弦定理. 【分析】利用正弦定理、和差公式、三角形内角和定理即可得出. 【解答】解:∵(2b﹣ c)cosA= acosC, ∴(2sinB﹣ sinC)cosA= sinAcosC, ∴2sinBcosA= (sinCcosA+sinAcosC)= sin(A+C)= sinB, ∵sinB≠0,∴cosA= ∴A= . ,A∈(0,π) ,

故选:B. 9.某小朋友按如下规则练习数数,1 大拇指,2 食指,3 中指,4 无名指,5 小指,6 无名指, 7 中指,8 食指,9 大拇指,10 食指,…一直数到 2016 时,对应的指头是( ) A.小指 B.中指 C.食指 D.大拇指 【考点】归纳推理. 【分析】根据所给的数据:发现大拇指对的数是 1+8n,小指对的数是 5+8n,其中 n∈Z,食 指、中指、无名指对的数介于它们之间.因 2013=251×8+5,数到 2013 时对应的指头是小 指.因此可知数到 2016 时对应的指头是食指. 【解答】解:∵大拇指对的数是 1+8n,小指对的数是 5+8n,其中 n∈Z, 又∵2013=251×8+5, ∴数到 2013 时对应的指头是小指. 故知数到 2016 时对应的指头是食指. 故选:C.

10.在三角形 ABC 中,已知 sinA:sinB:sinC=2:3:4,且 a+b=10,则向量 投影是( ) A.7 B.6 C.5 D.4
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在向量



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意利用正弦定理可设 a=2k 则 b=3k,c=4k.再根据 a+b=10=5k,求得 k 的值, 可得 a、b、c 的值.再由余弦定理求得 cosA,再根据向量 在向量 的投影是| |?cosA, 计算求得结果. 【解答】解:由题意利用正弦定理可得 a:b:c=2:3:4,设 a=2k 则 b=3k,c=4k. 再根据 a+b=10=5k,求得 k=2,故有 a=4,b=6,c=8. 再由余弦定理可得 cosA= =7, 故选:A. 11.如图,△ABC 的 AB 边长为 2,P,Q 分别是 AC,BC 中点,记 ? + ? =n,则( ) ? + ? =m, = ,∴向量 在向量 的投影是| |?cosA=8×

A.m=2,n=4 C.m=2,n=6

B.m=3,n=1 D.m=3n,但 m,n 的值不确定

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由于 P,Q 分别是 AC,BC 中点,可得 m= = = , 代入 n= ? + ? = , 展开即可得

;由于 P,Q 分别是 AC,BC 中点,可得 ? + ? = +

出. 【解答】解:∵P,Q 分别是 AC,BC 中点, ∴m= ? + ? = = , + = = = , =2;

∵P,Q 分别是 AC,BC 中点,∴ ∴n= = ? + ? =

=6.

故选:C. 12.记 n 项正项数列为 a1,a2,…,an,其前 n 项积为 Tn,定义 lg(T1?T2?…Tn)为“相对叠 乘积”,如果有 2013 项的正项数列 a1,a2,…,a2013 的“相对叠乘积”为 2013,则有 2014 项 的数列 10,a1,a2,…,a2013 的“相对叠乘积”为( )
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A.2014 B.2016 C.3042 D.4027 【考点】数列的应用. 【分析】利用对数的运算法则可得 lg[10(10T1) (10T2) (10T3)…(10Tn)]=lg102014+lg (T1?T2…Tn)=2014+2013=4027. 【解答】解:由题意得 2014 项的数列 10,a1,a2,…,a2013 的“相对叠乘积”为 lg[10(10T1) (10T2) (10T3)…(10Tn)]=lg102014+lg(T1?T2…Tn)=2014+2013=4027. 故选:D. 二、填空题(本大题共有 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13.在△ABC 中,BC=2,AB=3,B= ,△ABC 的面积是 .

【考点】三角形的面积公式. 【分析】直接利用三角形的面积公式求解即可. 【解答】解:在△ABC 中,BC=2,AB=3,B= △ABC 的面积为: 故答案为: . = , = .

14.如图,山顶上有一座铁塔,在地面上一点 A 处测得塔顶 B 处的仰角 α=60°,在山顶 C m. 处测得 A 点的俯角 β=45°,已知塔高 BC 为 50m,则山高 CD 等于 25

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】在△ABC 中使用正弦定理解出 AC,则 CD=AC?sinβ. 【解答】解:∵α=60°,β=45°, ∴∠ABD=30°.∠BAC=15°. 在△ABC 中,由正弦定理得 解得 AC=25( ) . ∴CD=AC?sin45°=25( 故答案为:25( ) . ,即 ,

) .

15.在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,S2=9,S4=22,则 S8= 60 . 【考点】等差数列的性质. 【分析】由等差数列的前 n 项和列出方程组,求出首项和公差,由此能求出 S8 的值. 【解答】解:∵在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,S2=9,S4=22,

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解得 a1=4,d=1, ∴S8=8a1+ 故答案为:60. 16.已知| +n |=1,| |= , . =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设 =m =8×4+28×1=60.

(m、n∈R) ,则 等于 3

【考点】平面向量数量积的运算;线段的定比分点. 【分析】先根据 = =|OC|×1×cos30°= =1× ,所以可得: 在 x 轴方向上的分量为 =0,可得 ⊥ ,又因为 =

在 y 轴方向上的分量为 【解答】解:∵| |=1,| = =|OC|×1×cos30°= ∴ 在 x 轴方向上的分量为 在 y 轴方向上的分量为 ∵ ∴ 两式相比可得: 故答案为:3 =m +n = , =3. n +m |=

,又根据 , = =1×

=m =0,

+n ⊥

=

n +m ,可得答案.

三、解答题(本大题共有 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知| |=| |=6,向量 与 的夹角为 (1)求| + |,| ﹣ |;
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(2)求 + 与 ﹣ 的夹角. 【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【分析】 (1)求出 (2)根据( + ,再计算∴( )?( =| ﹣ || )2, ( )2,开方即为答案;

)=0 得出答案. |cosθ=6×6×cos =18, )2= =36﹣36+36=36.

【解答】解: (1) ∴( ∴| )2= |= + =6 )?(

=36+36+36=108, ( ,| ﹣ ﹣ )= |= ﹣ =6. =0,∴ +

(2)∵(





的夹角为 90°.

18.已知△ABC 的周长为 (I)求边 AB 的长;

+1,且 sinA+sinB=

sinC

(Ⅱ)若△ABC 的面积为 sinC,求角 C 的度数. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (I)先由正弦定理把 sinA+sinB= sinC 转化成边的关系,进而根据三角形的周长 两式相减即可求得 AB. (2)由△ABC 的面积根据面积公式求得 BC?AC 的值,进而求得 AC2+BC2,代入余弦定理 即可求得 cosC 的值,进而求得 C. 【解答】解: (I)由题意及正弦定理,得 AB+BC+AC= +1.BC+AC= AB, 两式相减,得:AB=1. (Ⅱ)由△ABC 的面积= BC?ACsinC= sinC,得 BC?AC= , ∴AC2+BC2=(AC+BC)2﹣2AC?BC=2﹣ = ,

由余弦定理,得 所以 C=60°.



19.若不等式:kx2﹣2x+6k<0(k≠0) ①若不等式解集是{x|x<﹣3 或 x>﹣2},试求 k 的值; ②若不等式解集是 R,求 k 的取值范围. 【考点】一元二次不等式的应用. 【分析】 (1)由一元二次不等式的解法,由不等式的解集即可推出对应方程的根,再利用韦 达定理即可得 k 的值; (2)由一元二次不等式的解法,或者说由二次函数的图象可知,此不 等式的解集为 R,当且仅当二次项系数小于零,判别式小于零,解不等式即可得 k 的范围
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【解答】解:①∵不等式 kx2﹣2x+6k<0 的解集是{x|x<﹣3 或 x>﹣2} ∴方程 kx2﹣2x+6k=0 的两个根为﹣3,﹣2 ∴ =﹣3+(﹣2)=﹣5, ∴k=﹣ ②:①∵不等式 kx2﹣2x+6k<0 的解集是 R ∴

解得 k<﹣

20.设{an}为等差数列,Sn 是等差数列的前 n 项和,已知 a2+a6=2,S15=75. (1)求数列的通项公式 an; (2)Tn 为数列 的前 n 项和,求 Tn.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】 (1)由 a2+a6=2,S15=75,利用等差数列的通项公式及求和公式建立关于 a1,d 的 方程,利用等差数列的通项公式可求 (2)由(1)可求 sn,进而可求 ,结合等差数列的求和公式即可求解

【解答】解: (1)∵a2+a6=2,S15=75 ∴

解方程可得,d=1,a1=﹣2 ∴an=﹣2+n﹣1=n﹣3 (2)由(1)可得, =

∴ ∴Tn= =

=

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21.已知向量 =(sinA,sinB) , =(cosB,cosA) , ? =sin2C,且 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角, (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sinA,sinB,sinC 成等差数列,且 ?( ﹣ )=18,求 c 边的长及△ABC 的 面积. 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 (1)利用数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式即可得出; (2)利用等差数列的定义、正弦余弦定理、数量积运算即可得出. =sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sin2C, 【解答】解: (1) ∴sinC=sin2C=2sinCcosC, ∴cosC= , ∵C∈(0,π) ,∴ .

(2)∵sinA,sinB,sinC 成等差数列, ∴sinA+sinC=2sinB, 由正弦定理可知 a+b=2c, 又∵ ?( ﹣ )=18, ∴ ,∴ ,即 ab=36.

由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b)2﹣3ab=4c2﹣108, ∴c2=36,解得 c=6. ∴ = =9 .

22.已知等差数列{an}的首项 a1=1,且公差 d>0,它的第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等 比数列{bn}的第 2、3、4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意正整数 n 均有 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】 (1)由题意可得: =a2a14,可得(1+4d)2=(1+d) (1+13d) ,解出即可得出 + +… + =an+1 成立,求 a1c1+a2c2+…+ancn 的值.

an,进而得到 bn. (2)利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解: (1)由题意可得: =a2a14,

∴(1+4d)2=(1+d) (1+13d) ,d>0,化为:d=2, ∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1, b2=a2=3,b3=a5=9,∴公比 q=3, ∴bn=3n. (2)∵数列{cn}对任意正整数 n 均有 + +… + =an+1 成立,

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∴n≥2 时, ∴cn=2×3n. n=1 时,

+

+…+

=an,∴

=an+1﹣an=2,

=a2,可得 c1=6.

因此? n∈N*,cn=2×3n. ∴ancn=(4n﹣2)×3n. ∴a1c1+a2c2+…+ancn=Tn=2×3+6×32+…+(4n﹣2)×3n. 3Tn=2×32+6×33+…+(4n﹣6)×3n+(4n﹣2)×3n+1, ∴﹣2Tn=6+4(32+33+…+3n)﹣(4n﹣2)×3n+1 =4× ﹣6﹣(4n﹣2)×3n+1=(4﹣4n)×3n+1﹣12,

∴Tn=6+(2n﹣2)×3n+1.

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