当前位置:首页 >> 数学 >>

正、余弦定理应用举例


正、余弦定理应用举例
正弦定理、 余弦定理沟通了三角形中边与角的关系, 用这两个定理可以实现边与角的互 化,从而简化过程,指明解题方向.下面举例说明正、余弦定理在解题中的具体应用. (以 下例题中角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c ) 1.判断三角形的形状 对于同时含有边角关系的条件式, 可用余弦定理化角为边, 通过熟知的代数式变形来求 解;也可用正弦定理化边

为角,再用相应的三角公式求解. 例 1 在 △ ABC 中,已知 a(b cos B ? c cos C) ? (b2 ? c2 )? cos A ,试判断 △ ABC 的形 状. 解:根据余弦定理,得 a ? b
2 2 2 ? a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 2 b ?c ?a , ?c ? ( b ? c ) ? 2ac 2ab 2bc ? ?
2 2 2

整理得 (b2 ? c2 )(b2 ? c2 ? a2 ) ? 0 ,因此 b ? c 或 b ? c ? a , 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 例 2 在 △ ABC 中,如果 a cos B ? a cos C ? b ? c ,试判断 △ ABC 的形状. 解:根据正弦定理,得 sin A(cos B ? cos C ) ? sin B ? sin C ,

A A B?C B ?C B ?C B ?C cos ?2 cos cos ? 2sin cos , 2 2 2 2 2 2 A B?C A B?C 在 △ ABC 中,∵ cos ? sin , sin ? cos , 2 2 2 2 A 2 A ? 1 ,∴ cos A ? 1 ? 2sin 2 ? 1 ? 1 ? 0 . 上式可化简为 2sin 2 2 π 又 0 ? A ? π ,∴ A ? . 2 故 △ ABC 为直角三角形.
即 2sin 2.求三角函数的值 对于三角形中的求值问题,通常将各三角函数式化为正弦、余弦的形式,为运用正弦定 理和余弦定理创造条件. 例 3 在 △ ABC 中,如果 2a ? 2b ? 5c ,求
2 2 2

cot C 的值. cot A ? cot B

cos C cot C sin C 解: ? cot A ? cot B cos A ? cos B sin A sin B sin A sin B cos C sin A sin B ? ? ? ?cos C , sin B cos A ? cos B sin A sin C sin 2 C
由正弦定理和余弦定理可知

cot C ab a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2? ? , cot A ? cot B c 2ab 2c 2

5 2 2 c ?c cot C 3 2 2 2 将已知条件 2a ? 2b ? 5c 代入上式得 ?2 2 ? . cot A ? cot B 2c 4
3.证明三角恒等式 对于三角形中边角关系的证明问题,可以用正弦定理、余弦定理,实现边的关系与角的 关系的相互转化,从而达到证明的目的. 例 4 在 △ ABC 中,若 a 2 ? b(b ? c) ,求证: A ? 2 B .

a 2 ? c 2 ? b 2 bc ? c 2 b ? c a ? ? ? 证明:∵ cos B ? , 2ac 2ac 2a 2b
∴ cos 2 B ? 2cos B ? 1 ? 2 ?
2

a2 a 2 ? 2b2 b2 ? bc ? 2b 2 c ? b ? 1 ? ? ? . 4b2 2b2 2b2 2b

又 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? (bc ? b 2 ) c ? b ? ? , 2bc 2bc 2b

∴ cos A ? cos 2 B ,而 A,B 是三角形的内角,∴ A ? 2 B . 4.在解析几何中的应用

, 0) 、 N (1, 0) 的距离比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距离 例 5 已知点 P 到两定点 M (?1
为 1 ,求直线 PN 的方程. 分析:如右图,求出直线 PN 的斜率即可,问题转化为在 △PMN 中求 ?PNM ,由正 弦定理易求得 sin ?PNM . 解:因为 MN ? 2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1, ∴ ?PMN ? 30 .
?

由正弦定理,得

PM PN ? , sin ?PNM sin ?PMN



PM PN

? 2 ,∴ sin ?PNM ?
? ?

2 , 2

∴ ?PNM ? 45 或 135 , ∴直线 PN 的倾斜角为 45 或 135 ,∴ kPN ? ?1 ,
? ?

∴直线 PN 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .


相关文章:
正、余弦定理应用举例
正、余弦定理应用举例_数学_高中教育_教育专区。正、余弦定理应用举例正弦定理、 余弦定理沟通了三角形中边与角的关系, 用这两个定理可以实现边与角的互 化,从而...
正余弦定理的应用举例
余弦定理应用举例_高二数学_数学_高中教育_教育专区。正余弦定理应用举例例 1、在 ?ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S: (1)已知 a ? 14cm, c ...
正、余弦定理应用举例(一)
正、余弦定理应用举例(一)_能源/化工_工程科技_专业资料。合作探究案【学习目标】 【课内探究】 例 1 如图,设 A、 B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离 ...
正余弦定理应用举例
余弦定理应用举例_数学_自然科学_专业资料。主备人: 张荟 审核人:胡志勇 使用时间:第 1 周第 5 课时 班级: 备课组长: 岳家鹏 班 姓名: 学案序号: 5 1...
正余弦定理应用举例
正​余​弦​定​理​应​用​举​例 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档应用举例 学习目标 1.能灵活运用正弦定理和余弦定理解决应用问题。 学习...
正、余弦定理及其应用举例 含答案
正、余弦定理及其应用举例 含答案_数学_高中教育_教育专区。正、余弦定理及其应用举例 含答案课时作业 22 正、余弦定理及其应用举例 一、选择题 1.已知在△ABC 中...
正余弦定理的应用
习题精选精讲 正、余弦定理的应用正余弦定理的五大命题热点 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知 条件中的边、角关系...
正弦定理余弦定理应用举例(一)
正弦定理余弦定理应用举例(一)_数学_高中教育_教育专区。正弦定理余弦定理应用举例...BC 2 6 2 ∴∠ABC=45° ,∴BC 与正北方向垂直.∵∠CBD=90° +30° =...
17正余弦定理及其应用举例
17正余弦定理及其应用举例_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 17正余弦定理及其应用举例_数学_高中教育_教育专区。 ...
正、余弦定理的应用举例(二)
正、余弦定理应用举例(二)_数学_高中教育_教育专区。必修五《解三角形》一章应用举例正、余弦定理应用举例(二)【使用说明】 1、课前完成预习学案,形成知识体...
更多相关标签:
正余弦定理的应用举例 | 正弦余弦定理的应用 | 余弦定理应用题 | 余弦定理应用 | 空间余弦定理的应用 | 正余弦应用举例ppt | 余弦定理的应用 | 余弦定理日常应用 |