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高中数学课件:第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式


第 二 章 数 列

2 . 1 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法

课前预习·巧设计

第一 课时 数列 的概 念与 通项 公式

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[读教材·填要点] 1.数列的概念 (1)数列:按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列. (2)项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.第1项通常 叫做 首项 ,排在第n位的数称为这个数列的 第n项 .

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2.数列的表示 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…, {a 简记为 n} ,这里n是序号.

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3.数列的分类 (1)按项的个数分类:

类别
有穷数列 无穷数列

含义
项数有限 的数列

项数无限 的数列

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(2)按项的变化趋势分类:
类别 递增数列 含义 从第2项起,每一项都 大于 它的前一项

的数列
从第2项起,每一项都 小于 它的前一项 的数列 各项 都相等 的数列

递减数列 常数列

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4.数列的通项公式 如果数列{an}的 第n项 与 序号n 之间的关系可以用一个 式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

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[小问题·大思维]

1.an和{an}是否相同?
提示:不相同.{an}表示数列a1,a2,…,an,…,

而an只表示{an}中的第n项.

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2.数列3,1,2,4,5与{3,1,2,4,5}有什么区别? 提示:数列3,1,2,4,5是有顺序的.例如1,3,2,5,4与之是 不同两个数列,而集合{3,1,2,4,5}不仅形式上与数列 不同,而且集合中元素具有无序性.

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3.

2的近似值,精确到 1,0.1,0.01,0.001,0.000 1,…所构 成的数列为 1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…,你能写出它的 一个通项公式吗?

提示:不能.

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?0,?n为奇数? ? 4.an=? ?1,?n为偶数? ?

1+?-1?n 和 an= (n∈N*)都是数列 2

0,1,0,1,…的通项公式吗?

提示:是.

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5.每个数列都有通项公式吗?一个数列的通项公式一定

唯一吗?
提示:由问题3,4可知,并不是所有数列都有通项公式,

而数列的通项公式不一定是唯一的.

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[研一题] [例 1] 项公式: 4 1 4 2 (1)5,2,11,7,…; 1 9 25 (2)2,2,2,8, 2 ,…; (3)7,77,777,…; 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通

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(4)0,3,8,15,24,…; 1 3 7 15 31 (5)2,4,8,16,32,…; 2 10 17 26 37 (6)3,-1, 7 ,- 9 , 11,-13,….

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[自主解答]

(1)注意前四项中有两项的分子为 4, 不妨

4 4 4 4 把分子统一为 4,即为5,8,11,14,…,于是它们的分母 4 相差 3,因而有 an= . 3n+2 1 4 9 16 25 (2)类似(1)统一分母为 2,则有2,2,2, 2 , 2 ,…, n2 因而有 an= 2 .

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(3)把各项除以 7, 1,11,111, 再乘以 9, 9,99,999, 得 …, 得 …, 7 n 所以 an=9(10 -1). (4)观察数列递增速度较快,有点像成平方地递增,不妨用 平方数列对照看一看,即 1,22,32,42,52,…,很快发现 an=n2-1. (5)每一项的分子比分母少 1, 而分母组成数列 21,22,23,24, …, 2n-1 所以 an= 2n .

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(6)偶数项为负而奇数项为正, 故通项公式必含因式(-1)n 1, 观察各项绝对值组成的数列,从第 3 项到第 6 项可见,分母分别 由奇数 7,9,11,13 组成,而分子则是 32+1,42+1,52+1,62+1,按 12+1 22+1 照这样的规律第 1、2 两项可改写为 ,- , 2+1 2×2+1 n2+1 + 所以 an=(-1)n 1 . 2n+1



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[悟一法] 1.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一 般的认识事物的规律.解决这类问题一定要注意观察项与序 号的关系和相邻项间的关系.具体地可参考以下几个思路

(1)统一项的结构,如都化成分数、根式等.

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(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变 化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式,如例1.(1) 中可把分子、分母分别处理. (3)对于符号交替出现的情况,可观察其绝对值,再以 (-1)n(n∈N*)处理符号,如例1.(6).

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(4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列

和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等求通项.

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2.必须熟练地掌握一些基本数列的通项公式,比如下 面这些数列均属于基本数列,它们的通项公式必须记住. (1)数列-1,1,-1,1,…的通项公式是 an=(-1)n; (2)数列 1,2,3,4,…的通项公式是 an=n; (3)数列 1,3,5,7,…的通项公式是 an=2n-1;

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(4)数列 2,4,6,8,…的通项公式是 an=2n; (5)数列 1,2,4,8,…的通项公式是 an=2n 1; (6)数列 1,4,9,16,…的通项公式是 an=n2; 1 1 1 1 1 (7)数列1,2,3,4,…的通项公式是 an=n.


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[通一类] 1.写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列 各数. 1 9 25 (1)2,2,2,8, 2 ,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)a,b,a,b,a,b,…;

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(4)9,99,999,9 999,…; 1 1 1 1 (5) ,- , ,- ,…; 1×2 2×3 3×4 4×5 22-1 32-1 42-1 52-1 (6) 2 , 3 , 4 , 5 ,….

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解:(1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统 1 4 9 16 25 一成分数再观察:2,2,2, 2 , 2 ,…,所以,它的一个 n2 通项公式为 an= 2 ,n∈N*. (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,考 虑(-1)n+1 具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式 为 an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*.

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(3)这是个摆动数列,可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅,平衡 a+b a-b + 位置: 2 ,振幅: 2 ,可用(-1)n 1 去调节,则原数列的 a+b n+1a-b 一个通项公式为 an= 2 +(-1) ,n∈N*. 2 (4)各项加 1 后,变为 10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项 公式为 10n, 可得原数列的一个通项公式为 an=10n-1, n∈N*.

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(5)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的 倒数,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式 是:an=(-1)
n+ 1

1 ,n∈N*. n?n+1?

(6)这个数列的前 4 项的分母都是序号加上 1, 分子都是分母 的平方减去 1,所以它的一个通项公式是: ?n+1?2-1 an= ,n∈N*. n+1

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[研一题] 9n2-9n+2 已知数列{ }, 9n2-1

[例 2]

(1)求这个数列的第 10 项; 98 (2)101是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.

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[自主解答]

9n2-9n+2 设 f(n)= 9n2-1

?3n-1??3n-2? 3n-2 = = . ?3n-1??3n+1? 3n+1 28 (1)令 n=10,得第 10 项 a10=f(10)=31. 3n-2 98 (2)令 =101,得 9n=300. 3n+1 98 此方程无正整数解,所以101不是该数列中的项.

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3n-2 3n+1-3 3 (3)∵an= = =1- , 3n+1 3n+1 3n+1 3 又 n∈N ,∴0< <1,∴0<an<1. 3n+1
*

即数列中的各项都在区间(0,1)内.

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1 2 若保持例 2 条件不变,试判断在区间(3,3)内有无数 列中的项?若有,有几项?

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3n-2 2 1 解:令3<an= <3, 3n+1 ? 7 ?3n+1<9n-6, ?n>6, ? ∴? ∴? ?9n-6<6n+2. ? ?n<8. ? 3 ∴当且仅当 n=2

7 8 ∴6<n<3.

?1 2? 时,上式成立,故区间?3,3?上有数列 ? ?

4 中的项,且只有一项为 a2=7.

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[悟一法]

(1)由通项公式写出数列的前几项.主要是对n进行取
值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式 和自变量的值求函数值. (2)判断一个数是否为该数列中的项.其方法是可由通 项公式等于这个数解出n,根据n是否为正整数便可确定这 个数是否为数列中的项. 返回

[通一类] 2.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出数列的第4项和第6项;

(2)问-49和68是该数列的项吗?若是,是第几项?若不
是,请说明理由.

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解:(1)根据an=3n2-28n,

a4=3×42-28×4=-64,
a6=3×62-28×6=-60.

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(2)令 3n2-28n=-49,即 3n2-28n+49=0. 7 ∴n=7 或 n=3(舍). ∴-49 是该数列的第 7 项,即 a7=-49.

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令 3n2-28n=68,即 3n2-28n-68=0, 34 ∴n=-2 或 n= 3 . 34 * ∵-2?N , 3 ?N ,∴68 不是该数列的项.
*

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数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1·2·3· an=n2. a a …· (1)求 a3+a5; 256 (2)探究225是否为此数列中的项; (3)试比较 an 与 an+1(n≥2)的大小.

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[巧思] 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键.由
a1·2·3·…·an=n2可得a1·2·3·…·an-1=(n-1)2,故可求an. a a a a

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[妙解]

∵a1·2·3· an=n2(n∈N*),① a a …·

∴当 n≥2 时,a1·2·3· an-1=(n-1)2.② a a …· ① n2 由 ,得 an= 2(n≥2) ② ?n-1? n2 9 25 61 (1)∵an= (n≥2),∴a3+a5=4+16=16. ?n-1?2

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256 162 256 (2)∵225=152=a16,∴225是数列中的第 16 项. ?n+1? n2 (3)n≥2 时,an-an+1= 2- n2 ?n-1? n4-?n2-1?2 2n2-1 = = 2 >0, ?n-1?2n2 n ?n-1?2 ∴an>an+1.
2

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