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等差数列前n项和公式的



Powerpoint课件
高中数学第一册(上)

伍浪

数学教育 工 作 室

我们首先看一个练习(见教材P119第7题):

如果等差数列{an}前4项的和是2,前9项的和 是-6,求其前n 项和的公式。 这个解题过程十 还有其它解法吗? 大多数同学的解题过程是: 分正确,但…… 设这个等差数列的首项为a1,公差为d,则有:
18 1 ? ? ? a 1 ? 15 ? 2 ? 4a1 ? 2 ? 4 ? 3d ,解之得: ? ? 1 7 ? ? 6 ? 9a1 ? ? 9 ? 8d ?d ? ? 2 15 ? ?

18 1 7 7 2 43 ∴S n ? n ? n (n ? 1) ? ( ? )?? n ? n。 15 2 15 30 30

这 两 1 1 2 1 ∵ Sn=na1+ n(n -1)d= dn +(a1- d)n, 个 2 2 2 公 1 1 式 ∴设a= d, b=a1- d, 则有Sn= an2+bn。 2 2 具 另解:设 如果把 Sn= an2 bn,依题意得:S4=2, S9= -6,有 S+ 看成以n为自变量的函数, n 7 函 ? 2 就可以使用待定系数法求 Sn的函数解析式。 ? 2 ? a?4 ? b?4 ?a ? ? 30 数 即? 解之得: , , ? 43 特 2 ?b ? ?? 6 ? a ? 9 ? b ? 9 30 征 ? 。

7 2 43 ? Sn ? ? n ? n。 这种解法是不是容 易些? 30 30

等差数列的前n项和公式的函数特征:
1 1 (a= d, b=a1- d)是一个以n为自变量,前n 2 2

等差数列{an}的前n项和公式Sn =an2 + bn

项和Sn为函数值的函数。

当d≠0时,它是一个不含常数项的二次函
数;且当d大于0时,开口向上,当d小于0时, 开口向下。 当d=0且a1≠0时,它是一个一次函数。

从而,我们多了一种解决等差数列问题 的方法——函数方法。

例1:已知数列{an}是等差数列,且a1= 21,公差 d=-2,求这个数列的前n项和Sn的最大值。 1 2 1 1 解:∵Sn= dn +(a1- d)n = ×(-2)n2+ 2 2 2 1 [21- ×(-2) ]n=-n2+22n=-(n-11)2+121, 2 分析:利用前n项和公式 ∵a=-1, ∴当n=11时,(Sn)max=121。 的函数特征,就可以运用 例2、等差数列 {a } 中,首项 a <0, S = S , n 1 3 11 二次函数的性质解题。 问:这个数列的前几项的和最小? 思考这些条件, 审题:由a1<0, S3 = S11可得:d> 0, 则等差数列的 能得出什么结论? 前 n 项和Sn=an2+bn是一个开口向上的二次函数, 因而存在最小值。由S3=S11可找到系数a与b的关 系。

例2:等差数列{an}中,首项a1<0,S3 = S11, 问:这个数列的前几项的和最小? 解: 依题意可设Sn=an2 + bn, 1 n 如 n 如 ∵a1<0, S3= S11, ∴d > 0,即a= d > 0, 作二 项 果 2 项 果 用次 2+b×3= a×112+b×11, 和 a ∵ S = S , ∴ a × 3 和 a 3 11 是项 是 小 可 小 什系 ∴8b= -112a,即b=-14a, 否 于 能 于 么数 存 0 存 0 2+bn = an2-14an ?a ∴ S = an n 在 , 在在 , 最 最此 此 =a(n2 -14n)=a(n-7)2- 小 数 大题 数 49a. 值 列 值中 列 ∵a > 0, ∴当n=7时,(Sn)min=-49a, ? 。的 的 前 前 ∴这个数列的前7项的和最小。

例2的变式题一:等差数列{an}中,首项a1>0, S3 = S11,问:这个数列的前几项的和最大? 解: 依题意可设Sn=an2 + bn,
1 ∵a1>0, S3= S11, ∴d < 0,即a= d < 0, 此两处用字母替代 2

∵S3= S11,∴a×32+b×3= a×112+b×11, 后,又怎么解呢? 这几 ∴8b= -112a,即b=-14a, 处与 例2 ∴Sn= an2+bn = an2-14an 不同。 =a(n2 -14n)=a(n-7)2- 49a . ∵a < 0, ∴当n=7时,(S ) =-49a,
n max

∴这个数列的前7项的和最大。

例2的变式题二:等差数列{an}的首项a1> 0, 前n项 和为Sn,当m≠l 时,Sm= Sl (其中m∈N+, l∈N+),问: n为何值时,Sn最大? 依题意可设Sn=an2 + bn, 解: 求出Sn的函数表达式,利 1 ∵a1>0, m≠l,用二次函数的性质解题。 Sm= Sl , ∴d < 0,即a = d< 0,
2

又∵Sm= Sl , ∴am2+bm= al 2+bl ,

∴am2-al 2 + bm -bl=0,即a[(m+l)(m -l)]+b(m -l )=0,∴(m-l)[a (m+l)+b]= 0,
由于m≠l ,∴m-l ≠ 0,∴a(m+l)+b=0, 即b=-a(m+l), 2 m ? l ( m ? l ) ∴Sn=an2-(m+l)an=a(n- )2- a。 2 4

2 m ? l ( m ? l ) ∴Sn=an2-(m+l)an=a(n- )2- a。 2 4

m?l m?l ∵ a<0, ∴当 n= 时,Sn有最大值。 ∵ m∈ N +, l∈N+, ∴ 不一定为正整数, 2 2

m?l ∴当 m ? l 为偶数时, n= 时,Sn最大; n一定要为正整数, 怎样解决 此结论正确吗? 分类讨论! 2 但这个式子不一定表示一个正整数。 这个问题?
当 m ? l 为奇数时,由于离对称轴最近的

m? l ?1 m ? l ? 1 整数为n= 时,因而当n= 2 2
时,Sn最大。

练习与作业: 1: 等差数列{an}的前n项和Sn满足S5=95, S8=200,求Sn。 2: 若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=an2+bn, 试判断{an}是否是等差数列。 3(1992年全国高考题): 设等差数列{an}的 前n项和为Sn,已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大,并说明 理由。

1、略解: 95 ? 25 a ? 5 b ? 设Sn=an2+bn, 则有:? 。
?a ? 2 解之得: , ∴Sn=3n2+n。 ? ?b ? 9

? 200 ? 64a ? 8b

2、略解:是。

? a1 ? S 1 简单提示:利用公式: ? ? a n ? S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

24 ? d ? ?3 ,(2)S6最大。 3、略解(1)? 7

小结:
1、要正确理解与掌握等差数列前n项和 的函数特征。

2、灵活运用函数知识(比如待定系数法、
二次函数的性质等)解决等差数列问题。 3、用函数方法解决数列问题时,要注意

数列本身所固有的性质:n只能为正整数。

谢谢合作!
敬请大家批评指正!
伍浪
数学教育 工 作 室

当m+l为奇数时,

2 m ? l ( m ? l ) Sn=an2-(m+l)an=a(n- )2- a。 2 4 m?l

2

不是整数

Sn

1 2
m ? l ?1 2

1 2
m?l 2
m? l ?1 2

n


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