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河南省郑州一中2016届高三上学期第一次联考理科数学试题


郑州一中教育集团 2016 届高三第一次联考 理科数学试题
说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.将第Ⅰ卷的答案代表字母填(涂)在第Ⅱ卷的答题表(答题卡)中。

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5

分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 A={x | 2x>1},B={ x |x<1},则 A B? ( ) A.{ x| 0<x<1} B.{ x |x>? 0} C .{ x |x>1} D.{x|x<1} 2. 设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数.若复数 z 满足(2-5i) z =29,则 z=( A. 2+5i B. 2-5i C. -2+5i
x0



D. -2-5i )

3. 已知命题 p: “存在 x0 ∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1”,则下列说法正确的是( A. p 是假命题; ? p:“任意 x ∈[1,+∞),都有(log 23) x <1” B. p 是真命题; ? p:“不存在 x0 ∈[1,+∞),使得(log3) x0 < 1” C.p 是真命题; ? p:“任意 x ∈[1,+∞),都有(log 23) x <1” D.p 是假命题; ? p:“任意 x0 ∈(-∞,1),都有(log 23) x <1 ” 4. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其 直径组成的图形,则此几何体的体积是( ) A.

20 ? 3

B. 6?

C.

10 ? 3

D.

16 ? 3

5. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S 9=72,则 a2+a4+a9=( ) A.8 B. 16 C.24 D.36 2 6. 已知点 P(x,y)是抛物线 y =4x 上任意一点,Q 是圆 C:(x+2)2+(y-4)2=1 上任意一点,则|PQ|+x 的最小值为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D.2 7. 若在(3x2-

1 n ) 的展开式中含有常数项,则正整数 n 取得最小值时的常数项为( 2 x3 135 135 A. ? B. -135 C. D.135 2 2



8. 若实数 x,y 满足不等式组 A.1 B. ? 1

?,且 x+y 的最大值为 9,则实数 m=( C .2 D.? 2



9. 已知偶函数 y=f(x),x∈R 满足:f(x)=x2-3x(x≥0),若函数 g(x)=



则 y= f(x)-g(x)的零点个数为 A.1 B.3 C.2

( D.4

) 的最小值为( )

10. 已知实数 m,n,若 m≥0,n≥0,且 m+n=1,则 A.

1 4

B.

4 15

C.

1 8

D.

1 3

11. 如图,已知椭圆 C:

+y=1,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) ,若以 a 2 b2

C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A、B 两点,且 C1 与该渐近线 的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为 ( ) A. 5 B.5 C. 17 D.

2 14 7


12. 已知数列{an}共有 9 项, 其中, a1=a9=1, 且对每个 i∈{1,2,….8}, 均有 则数列{an}的个数为( ) A.729 B.491

C.490

D.243

第Ⅱ卷

(共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第 22 ~24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 执行右面的程序框图,若输出的结果为 的值是____________. 14. 若随机变量 ~ N(2,1) ,且 P( 3)=0.1587,则 P( 1)=? __________. 15. 已知四面体 P-ABC,其中 ABC 是边长为 6 的等边三角 形,PA 平面 ABC,PA=4,则四面体 P-ABC 外接球的表 面积为________. 16. 对于函数 f ( x ) ,若存在常数 a ? 0,使得 x 取定义域内的每 一个值,都有 f ( x ) =-f(2a-x)?,则称 f ( x ) 为准奇函数.给定 下列函数:① f ( x ) ?

1 ,则输入的实数 x 2

1 ?;② f (x) ?( x ? 1) x ?1

2

;③ f ( x) ? x

2

;④

f ( x) =cosx,
其中所有准奇函数的序号是__________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分) 在 ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(a+b,sinA-sinC),,向量 n=(c,sinA-sinB), 且 m//n; (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 BC 中点为 D,且 AD= ;求 a+2c 的最大值及此时 ABC 的面积。

18.(本小题满分 12 分) 某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取 100 个, 并按[ 0,10], (10,20], (20,30], (30,40], (40,50]分组,得到频率分布直方图如下:

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立. (Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的 a 的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位: 箱)的方差分别为 ,试比较 的大小; (只需写出结论) (Ⅱ)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高 于 20 箱的概率; (Ⅲ)设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数,以日销售量落入各 组的频率作为概率,求 X 的数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆 O 上除 A、B 外的一个动点,DC 垂直于半圆 O 所在的 平面, DC ∥ EB , DC=EB , AB=4 , ⑴证明:平面 ADE 平面 ACD; ⑵当三棱锥 C-ADE 体积最大时,求二面角 D-AE-B 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知离心率为 的椭圆 (a>b>0) 的右焦点 F 是圆(x-1)2+y2=1 的圆心,

过椭圆上的动点 P 作圆的两条切线分别交 y 轴于 M,N(与 P 点不重合)两点 (1)求椭圆方程; (2)求线段 MN 长的最大值,并求此时点 P 的坐标。

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx-mx+m. (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)≤0 在 x∈(0,+ ∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意的 0<a<b,求证:

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 C 点在⊙O 直径的延长线上,CA 切⊙O 于 A 点,DC 是∠ACB 的平分线,交 AE 于 F 点,交 AB 于 D 点. (Ⅰ)求? ADF 的度数; (Ⅱ)若 AB=AC,求 AC:BC.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,直线 l

与曲线 C:(y-2)2-x2=1 交于 A,B 两点. (1)求|AB|的长; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为

,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知实数 a,b,c 满足 a>0,b>0,c>0,且 abc=1. (Ⅰ)证明:(1+a)(1+b)(1+c) ≥8; (Ⅱ)证明:

郑州一中教育集团 16 届高三第一次联考
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 C 7 C 8 A 9 B 10 A 11 A 12 B A B C C C 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) 2 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)因为 m // n ,故有 (a ? b)(sin A ? sin B) ? c(sin A ? sin C ) ? 0
2 2 2 由正弦定理可得 (a ? b)(a ? b) ? c(a ? c) ? 0 ,即 a ? c ? b ? ac

(14)0.8413

(15) 64?

(16)①④

?? ?

a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? ? ,因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ? ……..5 分 由余弦定理可知 cos B ? 3 2ac 2ac 2
(Ⅱ)设 ?BAD ? ? ,则在 ?BAD 中,由 B ? 由正弦定理及 AD ? 3 有

?
3

可知 ? ? (0,

2? ), 3

BD AB AD ? ? ? 2; sin ? sin( 2? ? ? ) sin ? 3 3 2? ? ? ) ? 3 cos ? ? sin ? ,………..7 分 所以 BD ? 2sin ? , AB ? 2sin( 3
所以 a ? 2BD ? 4sin ? , c ? AB ? 3 cos? ? sin ? 从而 a ? 2c ? 2 3 cos ? ? 6sin ? ? 4 3 sin(? ? 由 ? ? (0,

?
6

) ………..8 分

? ? 5? 2? ? ? ) 可知 ? ? ? ( , ) ,所以当 ? ? ? , 6 6 6 3 6 2

即? ?

?
3

时, a ? 2c 的最大值为 4 3 ;………..10 分

此时 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 S ? 18.解: (Ⅰ) a ? 0.015 ;

1 3 3 .………..12 分 ac sin B ? 2 2
………………3 分

2 . s12 ? s2

(Ⅱ)设事件 A :在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 B :在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 C :在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一 个不高于 20 箱. 则

P( A) ? 0.20 ? 0.10 ? 0.3 , P( B) ? 0.10 ? 0.20 ? 0.3 .
所以 P(C) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.42 . (Ⅲ)由题意可知, X 的可能取值为 0,1,2,3.
0 P( X ? 0) ? C3 ? 0.30 ? 0.73 ? 0.343 ,

………………6 分 ………………7 分

1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.31 ? 0.72 ? 0.441 ,

2 3 P( X ? 2) ? C3 ? 0.32 ? 0.71 ? 0.189 , P( X ? 3) ? C3 ? 0.33 ? 0.70 ? 0.027 .

所以 X 的分布列为

X
P

0 0.343

1 0.441

2 0.189

3 0.027 ………………10 分

所以 X 的数学期望 EX ? 0 ? 0.343 ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . ………………12 分 另解:由题意可知 X ~ B(3,0.3) . 所以 X 的数学期望 EX ? 3 ? 0.3 ? 0.9 . ………………12 分

19.解: (Ⅰ)证明:因为 AB 是直径,所以 BC ? AC CD ? 平面 ABC ,所以 CD ? BC 因为 , 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD 因为 CD // BE , CD ? BE ,所以 BCDE 是平行四边形, BC // DE ,所以 DE ? 平面 ACD 因为 DE ? 平面 ADE ,所以平面 ADE ? 平面 ACD …………………5 分 (Ⅱ)依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ? 由(Ⅰ)知 VC ? ADE ? V E ? ACD ?

1 ?1 , 4

1 1 1 ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 3 3 2 1 1 1 4 ? ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? , 6 12 12 3 当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时等号成立 …………7 分

如图所示,建立空间直角坐标系,则 D(0, 0,1) , E(0, 2 2,1) ,

A(2 2,0,0) B(0, 2 2,0) , ??? ? ??? ? 则 AB ? (?2 2, 2 2,0) , BE ? (0,0,1) , z ??? ? ??? ? D DE ? (0, 2 2,0) , DA ? (2 2,0, ?1,) ?? ???? ? ? ?n1 ? DE ? 0 设面 DAE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , ? ? ??? , C ? n ? DA ? 0 1 ? o ? ? ? ?2 2 y ? 0 A ? 即? ? n1 ? (1,0, 2 2) , O ? ?2 2 x ? z ? 0 x ? ??? ? ?? ? ? n ? BE ? 0 2 ? 设面 ABE 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ? ? ??? , ? n ? AB ? 0 2 ? ? ? ? ? ? ? ? n1 ?n 2 1 2 ?z ? 0 ? 即? ? n2 ? (1,1,0) , ? cos n1 , n2 ? ? ? ? 6 2? 9 n1 n2 ? ??2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ? 可以判断 n1 , n 2 与二面角 D ? AE ? B 的平面角互补
? 二面角 D ? AE ? B 的余弦值为 ?
2 .…………………12 分 6

E
B

y

20. 解: (1)圆心坐标(1,0) ,所以 c=1,又

a 2 ,∴ a ? 2 ? c 2

x2 ? y 2 ? 1 ……… 4 分 故 b=1,故椭圆方程为 2
(2)设 P( x0 , y 0 ) , M (0, m) , N (0, n)

? x2 2 ? ? y ?1 ? x ? 2? 2 ?2 ?( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ?
………….. 6 分 直线 PM 的方程 y ? m ?

x ? 2? 2 (舍去)



x0 ?[? 2,0) ? (0,2 ? 2 )

y0 ? m x ? ( y0 ? m) x ? x0 y ? m x0 ? 0 x0



| y 0 ? m ? x0 m | ( y 0 ? m) ? x 0
2 2

? 1 ? ( x0 ? 2)m 2 ? 2 y 0 m ? x0 ? 0

同理 ( x0 ? 2)n 2 ? 2 y0 n ? x0 ? 0 ∴m,n 是方程 ( x0 ? 2)t 2 ? 2 y0t ? x0 ? 0 两实根

由韦达定理: m ? n ?

2 y0 x0 ? 2
2

mn?

? x0 x0 ? 2
2 2 2

………

8分

| MN |?| m ? n |? (m ? n) - 4m n ? ? 2? 4 ( x0 ? 2) 2

4 x0 ? 4 y 0 ? 8 x0 ( x0 ? 2) 2

x 2 (? 0 ? y 0 ? 1) 2
…10 分

令 f ( x) ? 2 ? 4 x -2 , x ?[?4,?2) ? (?2,? 2 ) 显然由 f(x)的单调性知 f ( x) max ? 2 ? 4 ? (2 ? 2 ? 2) ∴ | MN | max ? 2
?2

2 ? 1 ,此时 x0 ? ? 2
……………… 12

0) 故 P 点坐标为 ( - 2, , 即椭圆左顶点

' 21. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 1 ? mx ?m ? ( x ? (0, ??)) , x x
'

当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 此时函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间;

1 1 ? mx 1 ?m ? ? 0 ,得 x ? (0, ) , x x m 1 1 ? mx 1 ' ? 0 ,得 x ? ( , ?? ) , 由 f ( x) ? ? m ? x x m 1 1 此时 f ( x) 的单调递增区 间为 x ? (0, ) ,单调递减区间为 ( , ?? ) …………… 4 分 m m
' 当 m ? 0 时,由 f ( x) ?
]

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当 m≤ 0 时,f(x)在 (0, ??) 上递增,f(1)=0,显然不成立; 当 m>0 时, f ( x) max ? f (

1 1 ) ? ln ? 1 ? m ? m ? ln m ? 1 m m

只需 m ? ln m ? 1 ? 0 即可, 令 g ( x) ? x ? ln x ? 1 ,
' 则 g ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , x ? (0, ??) x x

得函数 g ( x) 在(0,1)上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0

g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,也就是 m ? ln m ? 1 ? 0 对 m ? (0, ??) 恒成立,

∴ m ? ln m ? 1 ? 0 ,解 m ? 1 , ∴若 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,则 m ? 1 …………… 8 分

b f (b) ? f (a) ln b ? ln a ? a ? b ln b ? ln a 1 (Ⅲ)证明: ? ? ?1 ? a ? ?1 , b b?a b?a b?a ?1 a a ln
由(Ⅱ)得 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立, 即 ln x ? x ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时去等号,又由 0 ? a ? b 得

b ? 1, a

b ln b b a ? 1. 所以有 0 ? ln ? ? 1 , 即 b a a ?1 a b ln 1 1 1 ? a 1 ? a2 1 a 则 , ? ?1 ? ?1 ? ? ? b a a a(1 ? a) a(a ? 1) ?1 a a
则原不等式

f (b) ? f (a) 1 ? 成立 …………… 12 分 b?a a(a ? 1)

22. (1)因为 AC 为⊙ O 的切线,所以 ?B ? ?EAC …………1 分 因为 DC 是 ?ACB 的平分线,所以 ?ACD ? ?DCB …………2 分 所以 ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD ,即 ?ADF ? ?AFD ,…………3 分 又因为 BE 为⊙ O 的直径,所以 ?DAE ? 90? …………4 分.

1 (180? ? ?DAE) ? 45? .…………5 分 2 (2)因为 ?B ? ?EAC ,所以 ?ACB ? ?ACB ,所以 ?ACE ∽ ?BCA , AC AE 所以 ,………7 分 ? BC AB 在 ?ABC 中,又因为 AB ? AC ,所以 ?B ? ?? ACB ? 30? ,………8 分 AC AE 3 Rt?ABE 中, ? ? tan B ? tan 30? ? ………10 分 BC AB 3
所以 ?ADF ?

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 23.解:(1)直线 l 的参数方程化为标准型 ? ( t 为参数) …… 2 分 ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?
2 代入曲线 C 方程得 t ? 4t ? 10 ? 0

设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?4 , t1t 2 ? ?10 , 所以 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 …… 5 分

(2)由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 (?2,2) ,

…… 6 分

所以点 P 在直线 l ,

中点 M 对应参数为

t1 ? t 2 ? ?2 , 2
……10 分

由参数 t 几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |? 2

24.(1) 1 ? a ? 2 a ,1 ? b ? 2 b ,1 ? c ? 2 c ,相乘得证——————5 分 (2)

1 1 1 ? ? ? ab ? bc ? ac a b c

ab ? bc ? 2 ab2 c ? 2 b



ab ? ac ? 2 a 2b c ? 2 a



bc ? ac ? 2 ab c 2 ? 2 c 相加得证——————10 分


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