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2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业89 第11章 算法框图及推理与证明6 Word版含解析]


课时作业(八十九)
1.

如图,在△ABC 中,∠AED=∠B,DE=6,AB=10,AE=8,则 BC 的长 为 15 A. 4 15 C. 2 答案 解析 C 由已知条件∠AED=∠B,∠A 为公共角,所以△ADE∽△ACB,则 B.7 24 D. 5 ( )

6×10 15 DE AE 有BC =AB,从而 BC= 8

= 2 .选 C. 2.

如图所示,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠使点 B 落在 AD 边的中点 E 处,则折痕 FG 的长为 A.13 65 C. 6 答案 解析 C 过 A 作 AH∥FG 交 DG 于 H,则四边形 AFGH 为平行四边形. 63 B. 5 63 D. 6 ( )

∴AH=FG. ∵折叠后 B 点与 E 点重合,折痕为 FG, ∴B 与 E 关于 FG 对称. ∴BE⊥FG,∴BE⊥AH.

∴∠ABE=∠DAH,∴Rt△ABE∽Rt△DAH. BE AH ∴AB=AD. 1 ∵AB=12,AD=10,AE=2AD=5, ∴BE= 122+52=13. BE· AD 65 ∴FG=AH= AB = 6 . 3.Rt△ABC 中,∠CAB=90° ,AD⊥BC 于 D,AB∶AC=3∶2,则 CD∶BD = A.3∶2 C.9∶4 答案 解析 D 由△ABD∽△CBA,得 AB2=BD· BC. B.2∶3 D.4∶9 ( )

由△ADC∽△BAC,得 AC2=DC· BC. CD· BC AC2 4 ∴BD· BC = AB2=9,即 CD∶BD=4∶9. 4.

(2013· 佛山)如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD,若 BC=3,DE=2, DF=1,则 AB 的长为________. 答案 解析 5. 9 2 AD DE 2 DF CE 1 9 = = , = = . ∵ BC = 3 , DE = 2 , DF = 1 ,解得 AB = AB BC 3 AD AC 3 2.

如图所示, 在?ABCD 中, BC=24, E、 F 为 BD 的三等分点, 则 BM=________; DN=________.

答案

12

6

6.在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 上的点,且 DE∥BC,△ADE 的面 积是 2 cm2,梯形 DBCE 的面积为 6 cm2,则 DE∶BC 的值为________. 答案 解析 7. 1∶2 △ADE∽△ABC,利用面积比等于相似比的平方可得答案.

如右图,在直角梯形 ABCD 中,上底 AD= 3,下底 BC=3 3,与两底垂 直的腰 AB=6,在 AB 上选取一点 P,使△PAD 和△PBC 相似,这样的点 P 有 ________个. 答案 解析 两 设 AP=x, 3 x = . 6-x 3 3

AD AP (1)若△ADP∽△BPC,则 BP =BC,即 所以 x2-6x+9=0,解得 x=3. AD AP (2)若△ADP∽△BCP,则BC =BP. 即 3 x 3 = ,解得 x=2. 6 - x 3 3

所以符合条件的点 P 有两个. 8.在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,∠BAC=∠ADC,AC=8,BC=16, 那么 BD=________. 答案 9. 12

如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于 F,则

BF FC=________. 答案 解析 1 2 过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 M,

如右图,可知 M 为 DC 的中点, EM 1 EM 3 故 BC =2, FC =4. FC 2 BF 1 ∴BC=3,FC=2. 10.

如图,在△ABC 和△DBE 中,

AB BC AC 5 = = = .若△ABC 与△DBE 的周长 DB BE DE 3

之差为 10 cm,则△ABC 的周长为________;若△ABC 与△DBE 的面积之和为 170 cm2,则△DBE 的面积为______. 答案 11. 25 cm 45 cm2

如图所示,已知直线 FD 和△ABC 的 BC 边交于 D,与 AC 边交于 E,与 BA 的延长线交于 F,且 BD=DC,求证:AE· FB=EC· FA. 证明 过 A 作 AG∥BC,交 DF 于 G 点.

FA AG FA AG ∴FB=BD.又∵BD=DC,∴FB=DC. AG AE AE FA ∵AG∥BC,∴DC=EC,∴EC=FB,

即 AE· FB=EC· FA. 12.

如图在?ABCD 中,AM⊥BC,AN⊥CD,M、N 分别为垂足. 求证:△AMN∽△BAC. 证明 ∵在?ABCD 中∠B=∠D,AD=BC,AB∥CD,

又∠AMB=∠AND=90° , AM AB AB ∴Rt△AMB∽Rt△AND,∴ AN =AD=BC. ∵AB∥CD,AN⊥CD, ∴AN⊥AB,∠BAM+∠MAN=∠BAM+∠B=90° . ∴∠B=∠MAN. ∴△AMN∽△BAC(两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似). 13.

如图,在△ABC 中,D、F 分别在 AC、BC 上,且 AB⊥AC,AF⊥BC,BD =DC=FC=1,求 AC. 解析 在△ABC 中,设 AC 为 x,

∵AB⊥AC,AF⊥BC,又 FC=1,根据射影定理,得 AC2=FC· BC,即 BC =x2. 再由射影定理,得 AF2=BF· FC=(BC-FC)· FC,即 AF2=x2-1. ∴AF= x2-1. 在△BCD 中,过 D 作 DE⊥BC 于 E. 1 ∵BD=DC=1,∴BE=EC=2x2. 又∵AF⊥BC,∴DE∥AF.

x2-1 DE DC DC· AF ∴ AF = AC ,∴DE= AC = x . 在 Rt△DEC 中,∵DE2+EC2=DC2, x2-1 2 1 2 2 x2-1 x4 2 即( x ) +(2x ) =1 ,∴ x2 + 4 =1. 3 3 整理得 x6=4,∴x= 2.∴AC= 2. 14.已知在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,过点 C 任作一直线与边 AB 与 AD 分别交于点 F、E. AE 2AF (1)如图(1), DG∥CF 交 AB 于点 G, 当 D 是 BC 的中点时, 求证: ED= FB ; BD 1 AE 3AF (2)如图(2),当DC=2时,求证:ED=2FB.

证明

1 (1)∵DG∥CF,BD=DC,∴BG=FG=2BF.

AE AF AE AF 2AF ∵FE∥DG,∴ED=FG.∴ED=1 = BF . 2BF (2)过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点, AE AF ∴ED=FG. BD 1 2 又DC=2,∴DC=2BD=3BC. FG DC 2 ∵DG∥FC,∴ BF = BC =3. 2 AE AF 3AF ∴FG=3BF,∴ED=2 =2BF. 3BF 15.

如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线,交 BD 的 延长线于点 P,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:AB2=DE· BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长. (1)证明 ∵AD∥BC,

∴AB=CD,∠EDC=∠BCD. 又 PC 与⊙O 相切,∴∠ECD=∠DBC. ∴△CDE∽△BCD. DC DE ∴ BC =DC. ∴DC2=DE· BC,即 AB2=DE· BC. (2)解析 AB2 62 由(1)知,DE= BC = 9 =4.

∵AD∥BC,∴△PDE∽△PBC. PD DE 4 ∴ PB =BC =9. 又∵PB-PD=9, 36 81 ∴PD= 5 ,PB= 5 . 36 81 542 ∴PC =PD· PB= 5 × 5 = 52 .
2

54 ∴PC= 5 .

1.

已知矩形 ABCD,R、P 分别在边 CD、BC 上,E、F 分别为 AP、PR 的中点, 当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时,点 R 在 CD 上固定不变,设 BP=x,EF=y,则 下列结论中正确的是 ( )

A.y 是 x 的增函数 B.y 是 x 的减函数 C.y 随 x 的增大先增大再减小 D.无论 x 怎样变化,y 为常数 答案 解析 D 1 ∵E、F 分别为 AP、PR 中点,∴EF 是△PAR 的中位线,∴EF=2AR.

∵R 固定,∴AR 是常数,即 y 为常数. 2.在 Rt△ABC 中,CD、CE 分别是斜边 AB 上的高和中线,设该图中共有 x 个三角形与△ABC 相似,则 x=________. 答案 解析 2 2 个,△ACD 和△CBD.

3.如图,正方形 ABCD 中,AB=2,P 是 BC 边上与 B、C 不重合的任意一 点,DQ⊥AP 于 Q. (1)试证明△DQA∽△ABP; (2)当点 P 在 BC 上变动时,线段 DQ 也随之变化,设 PA=x,DQ=y,求 y 与 x 之间的函数关系式.

解析

(1)∵DQ⊥AP,∴∠DQA=90° ,∠DAQ+∠ADQ=90° .

又∵∠DAQ+∠BAP=90° ,∴∠BAP=∠QDA. ∴△DQA∽△ABP. DQ AD (2)由(1)可知△DQA∽△ABP,∴ AB = AP . 4 ∴y=x . 4.

如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 在 BA 的延长线上,CE 交 AD 于 点 F,∠ECA=∠D. 求证:AC· BE=CE· AD. 思路 由已知条件知 CD∥BE,AD∥BC,从而△CDF∽△EAF∽△EBC.

待证结论 AC· BE=CE· AD. AC CE CE FE FE FC 即AD=BE ,而BE=AE,AE=DC,于是只要证△AFC∽△ACD,这由条件 ∠ECA=∠D 立即可得. 证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形,

CE EF ∴AF∥BC,∴BE=EA. 又∵AE∥CD,∴△AFE∽△DFC. EA EF CF EF CE ∴CD=CF,即CD=EA=BE. 又∵∠ECA=∠D,∠CAF=∠DAC, AC CF ∴△AFC∽△ACD,∴AD=CD. AC CE ∴AD=BE ,∴AC· BE=CE· AD. 5.

有一块直角三角形木板,如图所示,∠C=90° ,AB=5 cm,BC=3 cm,AC =4 cm.根据需要,要把它加工成一个面积最大的正方形木板,设计一个方案, 应怎样裁才能使正方形木板面积最大,并求出这个正方形木板的边长. 解析 如图(1)所示,设正方形 DEFG 的边长为 x cm,过点 C 作 CM⊥AB 于

M,交 DE 于 N.

1 1 因为 S△ABC=2AC· BC=2AB· CM, 所以 AC· BC=AB· CM,即 3×4=5· CM. 12 所以 CM= 5 . 因为 DE∥AB,所以△CDE∽△CAB. 12 5 -x x CN DE 所以CM= AB ,即 12 =5. 5 60 所以 x=37. 如图(2)所示,设正方形 CDEF 的边长为 y cm, 因为 EF∥AC,所以△BEF∽△BCA. 3-y y BF EF 12 所以BC=AC,即 3 =4,所以 y= 7 . 60 12 60 因为 x=37,y= 7 =35,所以 x<y. 12 所以当按图(2)的方法裁剪时,正方形面积最大,其边长为 7 cm.


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