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【2015高考数学(人教A版,文科)一轮课时训练:第6篇 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第六篇

第3节

一、选择题 x-y+1≥0, ? ? 1.(2014 青岛市高三模拟)如果实数 x、y 满足条件?y+1≥0, ? ?x+y+1≤0, 2x-y 的最大值为( A.2 C.-2 ) B.1 D.-3

那么目标函数 z=

解析:做出满足条件的可行域如图所示,由图可知,当目标函数直线经过点 D(0,-1) 时,直线 y=2x-z 的截距最小,此时 z 最大,此时 z=2×0-(-1)=1,所以最大值为 1, 故选 B.

答案:B y≤-x+2, ? ? 2.(2014 山东省泰安市高三模拟)不等式组?y≤x-1, ? ?y≥0 ( ) A.1 1 C. 3 1 B. 2 1 D. 4

所表示的平面区域的面积为

解析:做出不等式组对应的区域为△BCD. 由题意知 xB=1,xC=2.
?y=-x+2, ? 由? ? ?y=x-1,

1 得 yD= , 2 1 1 1 所以 S△BCD= ×(xC-xB)× = .故选 D. 2 2 4 答案:D

x+y-3≤0, ? ? 3. (2012 年高考福建卷)若直线 y=2x 上存在点(x, y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m, 实数 m 的最大值为( A.-1 3 C. 2 解析:约束条件 x+y-3≤0, ? ? ?x-2y-3≤0, ? ?x≥m ) B.1 D.2



表示的可行域如图阴影部分所示.

当直线 x=m 从如图所示的实线位置运动到过 A 点的位置 时,m 取最大值.
? ?x+y-3=0, 解方程组? 得 A 点坐标为(1,2), ?y=2x ?

∴m 的最大值为 1,故选 B. 答案:B x+y≤4, ? ? 4.(2014 烟台市高三模拟)已知动点 P(m,n)在不等式组?x-y≥0, ? ?y≥0 内部及其边界上运动,则 z= A.4 5 C. 3 n-3 的最小值是( m-5 B.3 1 D. 3 )

表示的平面区域

解析:做出不等式组对应的平面区域如图阴影所示.因为 z n-3 = , 所以 z 的几何意义是区域内过任意一点 P(x, y)与点 M(5,3) m-5 两点的直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点 AM 时,斜率
? ? ?x+y=4, ?x=2, 3-2 1 最小,由? 得? 即 A(2,2),此时 kAM= = , 5-2 3 ?x-y=0, ? ? ?y=2,

n-3 1 所以 z= 的最小值是 .故选 D. 3 m-5 答案:D

y≤2, ? ? 5.(2014 皖南八校联考)已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?x-y≤1, 的最大值是( A.12 C.3 解析:画出可行域(如图). ) B.11 D.-1

则目标函数 z=3x+y

由 z=3x+y 得 y=-3x+z,结合图形可知,当直线 y=-3x+z 经过 A(3,2)时,z 取最大 值, 且 zmax=3×3+2=11,故选 B. 答案:B 6.(2012 年高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产 品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每 天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产 品中,公司共可获得的最大利润是( A.1800 元 C.2800 元 ) B.2400 元 D.3100 元

解析:设每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶, x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N, 则根据题意得 x、y 的约束条件为? x+2y≤12, ? ?2x+y≤12. 设获利 z 元,则 z=300x+400y. 画出可行域如图. 画直线 l:300x+400y=0, 即 3x+4y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过点 M 时,目标函数取得 最大值.

? ? ?x+2y=12, ?x=4, 由? 解得? ?2x+y=12, ?y=4, ? ?

即 M 的坐标为(4,4), ∴zmax=300×4+400×4=2800(元).故选 C. 答案:C 二、填空题 x+y≥0, ? ? 7.(2014 河北省重点中学联合考试)设 z=2x+y,其中 x,y 满足?x-y≤0, ? ?0≤y≤k, 大值为 6,则 z 的最小值为________.

若 z 的最

解析: 不等式组表示的平面区域如图所示,当直线 z=2x+y 过点 A(k,k)时,z 取最大值,则 zmax=3k=6,解得 k=2,易知当直线 z=2x+y 过点 B(-k,k)时,z 取最小值,则 zmin=- 2. 答案:-2 x+y-1≤0, ? ? 8.(2014 安徽省示范高中高三模拟)若实数 x,y 满足?x+y+1≥0, ? ?-1≤x≤1, 为________. 解析:可行域如图阴影部分. 设 z=x+2y, 1 z 则 y=- x+ . 2 2 易知点(1,-2),(-1,2)为最优解. ∴(x+2y)min=1+2×(-2) =-3, (x+2y)max=-1+2×2=3, 又可行域过原点,∴|x+2y|∈[0,3]. 答案:[0,3] x-y+1≥0, ? ? 9 . (2014 潍坊市高三模拟 ) 若实数 x , y 满足 ?x+y≥0, ? ?x≤0,

则|x+2y|的值域

则 z = 3x

+ 2y

的值域是

________. 解析:令 t=x+2y, 1 t 则 y=- x+ , 2 2 做出可行域, 1 平移直线 y=- x, 2 由图象知当直线经过 O 点时,t 最小,当经过点 D(0,1)时,t 最大,所以 0≤t≤2, 所以 1≤z≤9,即 z=3x 答案:[1,9] x≥0, ? ? 10.(2014 广州模拟)已知实数 x、y 满足?y≤1, ? ?2x-2y+1≤0. 若目标函数 z=ax+y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个, 则实数 a 的值为________. 解析:画出平面区域所表示的图形,如图中的阴影部分所示,平移直线 ax+y=0,可 知当平移到与直线 2x-2y+1=0 重合,即 a=-1 时,目标函数 z=ax+y 的最小值有无数 多个.
+2y

的值域是[1,9].

答案:-1 三、解答题 x+y≥1, ? ? 11.(2014 黄山模拟)设 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2, 1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值; 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围. 解:(1)作出可行域如图所示, 可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0). 1 平移初始直线 x-y=0,过 A(3,4)取最小值-2,过 C(1,0)取最 2 大值 1. ∴z 的最大值为 1,最小值为-2. a (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<- <2, 2

解得-4<a<2. 故所求 a 的取值范围是(-4,2). 12.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉 9 克、咖啡 4 克、糖 3 克,乙种饮料每 杯含奶粉 4 克、咖啡 5 克、糖 10 克.已知每天原料的使用限额为奶粉 3600 克、咖啡 2000 克、糖 3000 克,甲种饮料每杯能获利润 0.7 元,乙种饮料每杯能获利润 1.2 元,每天应配制 两种饮料各多少杯能获利最大? 解:设每天配制甲种饮料 x 杯、乙种饮料 y 杯可以获得最大利润,利润总额为 z 元. 由条件知:z=0.7x+1.2y,变量 x、y 满足 9x+4y≤3600, ? ?4x+5y≤2000, ?3x+10y≤3000, ? ?x≥0,y≥0,且x、y均为整数. 作出不等式组所表示的可行域如图所示.

作直线 l:0.7x+1.2y=0, 把直线 l 向右上方平移至经过 A 点的位置时, z=0.7x+1.2y 取最大值.
? ?3x+10y-3000=0, 由方程组? ?4x+5y-2000=0, ?

得 A 点坐标(200,240). 答:应每天配制甲种饮料 200 杯, 乙种饮料 240 杯方可获利最大.


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