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江苏省2014届一轮复习数学试题选编25:抛物线(学生版)


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 25:抛物线

填空题 1 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 L 交
2

抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为_____________.



2 . (江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题(数学)WORD 版)在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点为 F

的抛物线 y =2x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离为 15,则线段 PF 的长为_____.
3 . (江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学(理)试题)若抛物线 y ? 8 x 的焦点与双曲
2

2

线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则双曲线的离心率为______. m
2

4 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 已知圆 C 的圆心为抛物线 y

? ?4 x 的焦点,

又直线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的标准方程为____.
5 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)圆心在抛物线 x ? 2 y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都
2

相切的圆的标准方程为______.
6 . (江苏省泰州、 南通、 扬州、 宿迁、 淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷) 在平面直角坐标系 xOy

中,抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为 1 的一点到焦点的距离为 3,则焦
2

点到准线的距离为______.
2

7 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)设点 P 是曲线 y=x 上的一个动点,曲线 y=x 在

点 P 处的切线为 l,过点 P 且与直线 l 垂直的直线与曲线 y=x 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为 ________.
8 . 江苏省连 云港市 2013 届 高三上学 期摸底考 试(数 学) ( (选修物 理) 抛物线 y ? x 准线方程为 )
2

2

_________________________________.
9 . (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试(数学) (选修历史) 抛物线 x )
2

=4y 的准线方程为

___________________.
解答题 10. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)如图,已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的

焦点为 F , 过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A( x1 , y1 )( y1 ? 0), B( x 2 , y 2 ) 两点, T 为抛物线的准线与 x 轴
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的交点. (1) 若 TA ? TB ? 1, 求直线 l 的斜率; (2) 求 ?ATF 的最大值.

y A

T
O

F B

x

第 22 题图

11. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

??? ? ???? ? 如图,已知定点 R(0,-3),动点 P,Q 分别在 x 轴和 y 轴上移动,延长 PQ 至点 M,使 PQ ? 1 QM ,且 2 ??? ???? ? ? PR ? PM ? 0 .

(1)求动点 M 的轨迹 C1; (2)圆 C2: x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,过点(0,1)的直线 l 依次交 C1 于 A,D 两点(从左到右),交 C2 于 B,C 两点(从左

??? ???? ? 到右),求证: AB ? CD 为定值.
M y

Q x O R P

(第 22 题)

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12. (江苏省 2013 届高三高考压轴数学试题)抛物线 x ? ?2 y 上有两点 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ) 且
2

OA ? OB ? 0, OM ? (0,?2) ( O 为坐标原点)
(1)求证: AM ∥ AB (2)若 MA ? ?2MB ,求 AB 所在直线方程.

13. (江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题)过直线 y = - 1 上的动点 A(a, - 1) 作抛物线 y = x 的两切

2

线 AP, AQ , P, Q 为切点. (1)若切线 AP, AQ 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求证:直线 PQ 过定点.

14. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知抛物线 C1 : y ? x ? 1 和抛物线
2

C2 : y 2 ? ? x ? a 在交点处的两条切线互相垂直,求实数 a 的值.

15. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上

滑行的运动.如图,助跑道 ABC 是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到 离地面高为 1 米的平台上 E 处,飞行的轨迹是一段抛物线 CDE(抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面
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内),D 为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系, x 轴在 地面上,助跑道一端点 A(0,4),另一端点 C(3,1),点 B(2,0),单位:米. (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程; (Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态 优美,要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间(包括 4 米和 6 米),试求运动员飞行过程中距离平台最 大高度的取值范围? (注:飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)
y
4 A

D

C B O
2

E x

16. (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)如图,过抛物线 C : y ? 4 x 上一点 P(1,-2)作倾斜
2

角互补的两条直线, 分别与抛物线交于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) (1) y1 ? y2 的值; 2) y1 ? 0, y2 ? 0 , 求 ( 若 求 ?PAB 面积的最大值。

y

B

A O P x

17. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)斜率为 1 的直线与抛物线 y 2 ? 2 x 交于不同两点 A, B ,求

线段 AB 中点 M 的轨迹方程. .

18. (2009 高考(江苏))在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦点 F

在 x 轴上。

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(1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3) 设过点 M (m,0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、 两点, E ME=2DM, D 和 E 两点间的距离为 f (m) , 记 求 f (m) 关于 m 的表达式。

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江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编:参考答案 填空题 1. 2.

y 2 ? 3x
7 2

3.

2 3 3

4.

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ;

5. 6.

?x ? 1? ? ? y ? 1 ? ? 1 ; ? ? 2? ?
2

2

4 3 3 2

7. 8. 9.

x??

1 4

y ? ?1

解答题 10. ⑴因为抛物线 y 2 ? 4 x 焦点为 F ?1,0 ? , T (?1,0) .

??? ??? ??? ??? 当 l ? x 轴时, A(1,2) , B(1, ?2) ,此时 TA? ? 0 ,与 TA? ? 1 矛盾, TB TB
所以设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 k 2 x 2 ? (2k 2 + 4) x + k 2 ? 0 , 则 x1 + x2 ?

2k 2 + 4 2 , x1 x2 ? 1 , ①所以 y12 y2 ? 16 x1 x2 ? 16 ,所以 y1 y2 ? ?4 ,② k2

??? ??? 因为 TA? ? 1 ,所以 ( x1 + 1)( x2 + 1) + y1 y2 ? 1 ,将①②代入并整理得, k 2 ? 4 , TB
所以 k ? ?2

y1 y y 1 1 ≤1 ,当且仅当 1 ? ,即 y1 ? 2 时,取等,所 ? 21 ? y1 1 y1 4 y1 x1 ? 1 ? ?1 4 y1 4 ? ? 以 ?ATF ≤ ,所以 ?ATF 的最大值为 4 4 ??? ???? ? ? ??? 1 ???? ? ? 11.解:(1)法一:设 M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),则由 PR ? PM ? 0, PQ ? QM 及 R(0,-3),得 2
⑵因为 y1 ? 0 ,所以 tan ?ATF ?

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? ?? x1 ( x ? x1 ) ? (?3) y ? 0, ? 1 ? 化简,得 x 2 ? 4 y ?? x1 ? x, 2 ? 1 1 ? ? y2 ? 2 y ? 2 y2 . ?

所以,动点 M 的轨迹 C1 是顶点在原点,开口向上的抛物线 法二:设 M(x,y). ??? 1 ???? ? ? x y 由 PQ ? QM ,得 P(? ,0), Q(0, ) . 2 2 3 ??? ? ???? ? 3x x 所以, PR ? ( , ?3), PM ? ( , y ) . 2 2 ??? ???? ? ? x 3 3 由 PR?PM ? 0 ,得 ( , ?3) ? ( x, y ) ? 0 ,即 x 2 ? 3 y ? 0 .化简得 x 2 ? 4 y 2 2 4 所以,动点 M 的轨迹 C1 是顶点在原点,开口向上的抛物线 ??? ???? ? (2)证明:由题意,得 AB ? CD ? AB ? CD ,⊙C2 的圆心即为抛物线 C1 的焦点 F. 设 A( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 AB ? FA ? FB ? y1 ? 1 ? 1 ? y1 同理

CD ? y2 .

设直线的方程为 x ? k ( y ? 1) .
? x ? k ( y ? 1), 1 2 ? 2 2 2 2 2 由? 1 2 得 y ? k ( y ? 1) ,即 k y ? (2k ? 4) y ? k ? 0 . 4 ? y? 4x , ?
??? ??? ? ? 所以, AB ? CD ? AB ? CD ? y1 y2 ? 1
12.抛物线 x ? ?2 y 上有两点 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ) 且 OA ? OB
2

? 0, OM ? (0,?2) ( O 为坐标原点)

(1)求证: AM ∥ AB

(2)若 MA ? ?2MB ,求 AB 所在直线方程.

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13. (1)设过 A 作抛物线 y ? x 的切线的斜率为 k ,则切线的方程为 y ? 1 ? k ( x ? a) ,
2

与方程 y ? x 联立,消去 y ,得 x 2 ? kx ? ak ? 1 ? 0 .
2

因为直线与抛物线相切,所以 ? ? k ? 4(ak ? 1) ? 0 ,
2

即 k 2 ? 4ak ? 4 ? 0 . 由题意 知,此方程两根为 k1 , k 2 , 所以 k1k2 ? ?4 (定值) (2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,由 y ? x ,得 y ? 2 x .
2

'

所以在 P 点处的切线斜率为: y | x ? x1 ? 2 x1 ,因此,切线方程为: y ? y1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) .
'

由 y1 ? x12 ,化简可得, 2 x1 x ? y ? y1 ? 0 . 同理,得在点 Q 处的切线方程为 2 x2 x ? y ? y2 ? 0 . 因为两切线的交点为 A(a, ?1) ,故 2 x1a ? y1 ? 1 ? 0 , 2 x2 a ? y2 ? 1 ? 0 . 所以 P, Q 两点在直线 2ax ? y ? 1 ? 0 上,即直线 PQ 的方程为: 2ax ? y ? 1 ? 0 . 当 x ? 0 时, y ? 1,所以直线 PQ 经过定点 (0,1)
14.

15.解:(Ⅰ)设助跑道所在的抛物线方程为 f ( x) ? a0 x ? b0 x ? c0 ,
2

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?c0 ? 4, ? 依题意: ? 4a0 ? 2b0 ? c0 ? 0, ?9a ? 3b ? c ? 1, 0 0 ? 0
解得, a0 ? 1 , b0 ? ?4 , c0 ? 4 , ∴助跑道所在的抛物线方程为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4
2

(Ⅱ)设飞行轨迹所在抛物线为 g ( x) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ),
2

依题意: ?

? f (3) ? g (3), ?9a ? 3b ? c ? 1, ?b ? 2 ? 6a, 得? 解得 ? ? f '(3) ? g '(3), ?6a ? b ? 2, ?c ? 9a ? 5,

3a ? 1 2 1 ) ?1? , a a 3a ? 1 2 1 3a ? 1 1 2 令 g ( x) ? 1 得, ( x ? ) ? 2 ,∵ a ? 0 ,∴ x ? ? ? 3? , a a a a a 3a ? 1 1 当x ? 时, g ( x) 有最大值为 1 ? , a a 2 2 则运动员的飞行距离 d ? 3 ? ? 3 ? ? , a a 1 1 飞行过程中距离平台最大高度 h ? 1 ? ? 1 ? ? , a a 2 1 依题意, 4 ? ? ? 6 ,得 2 ? ? ? 3 , a a
∴ g ( x) ? ax 2 ? (2 ? 6a ) x ? 9a ? 5 ? a ( x ? 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 米到 3 米之间
16.解: .⑴因为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在抛物线 C : y 2 ? 4 x 上,

y ? 2 4( y1 ? 2) y12 y2 4 , , y1 ), B( 2 , y2 ) , k PA ? 12 ? 2 ? 4 4 y1 y1 ? 4 y1 ? 2 ?1 4 4 4 4 同理 k PB ? ,依题有 kPA ? ?kPB ,因为 ,所以 y1 ? y2 ? 4 . ?? y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 2

所以 A(

⑵由⑴知 k AB ?

y2 ? y1 y2 y2 ? 1 ,设 AB 的方程为 y ? y1 ? x ? 1 ,即x ? y ? y1 ? 1 ? 0 , 4 4 y2 2 y12 ? 4 4 y2 3 ? y1 ? 1 4 y2 y 2 , AB ? 2 1 ? 2 ? 2 y1 ? y2 ? 2 2 2 ? y1 , P 到 AB 的距离为 d ? 4 4 2
3 ? y1 ? 2 y12 4
1 2 y1 ? 4 y1 ? 12 y1 ? 2 4

所以 S?PAB ? 1 ? 2
?

? 2 2 2 ? y1 =

1 ( y1 ? 2)2 ? 16 y1 ? 2 , 4 1 3 t ? 16t , 4

令 y1 ? 2 ? t ,由 y1 ? y2 ? 4 , y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 ,可知 ?2 ≤ t ≤ 2 . S?PAB ?
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因 为 S?PAB ?

1 3 3 3 t ? 16t 为 偶 函 数 , 只 考 虑 0 ≤ t ≤ 2 的 情 况 , 记 f (t ) ? t ? 16t ? 16t ? t , 4

2 f ?(t ) ? 16 ? 3t 2 ? 0 ,故 f (t ) 在 ? 0,? 是单调增函数,故 f (t ) 的最大值为 f (2) ? 24 ,故 S?PAB 的最大值为
6.
17.解:设直线方程: y ? x ? m , A?x1 , y1 ?, B ?x2 , y 2 ?, M ?x, y ?

将 y ? x ? m 代入 y 2 ? 2 x ,得 x ? ?2m ? 2 ?x ? m ? 0 ,
2 2

? ? ? ? 2m ? 2 ?2 ? 4m 2 ? 0, ? ? 所以 ? x1 ? x2 ? 2 ? 2m, ? 2 ? x1 x2 ? m , ?

?m?

x ? x2 1 1 ,x? 1 ?1? m ? , y ? x ? m ?1, 2 2 2

1? ? 线段 AB 中点 M 的轨迹方程为: y ? 1? x ? ? 2? ?
18.

[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求解能力。 满分 10 分。

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