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第二部分 专题四 第一讲 空间几何体(选择、填空题型)


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[做考题 体验高考] 1.(2012· 福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均 相等,那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 ( )

C.正方体
解析:选 D

D.圆柱
球、正方体的三视图形状都相

同,大小均相等,首先排除选项A和C.对于如

图所示三棱锥O-ABC,当OA、OB、OC两两
垂直且OA=OB=OC时,其三视图的形状都 相同,大小均相等,故排除选项B.不论圆柱如何放置,其 三视图的形状都不会完全相同.

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2.(2012· 广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积
为 ( )

A.12π
C.57π

B.45π
D.81π

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解析:选 C

由三视图知,该几何体是由圆柱、

圆锥两个几何体组合而成,直观图如图所示,圆 锥的底面半径为3,高为4,圆柱的底面半径为3, 高为5. 1 ∴V=V圆锥+V圆柱=3×π×32×4+π×32×5=57π.

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3.(2012· 北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表 面积是 A.28+6 5 C.56+12 5 B.30+6 5 D.60+12 5 ( )

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解析:选 B

该三棱锥的直观图,如图所示,其中

侧面PAC⊥底面ABC,PD⊥AC,AC⊥BC,可得 1 BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC.故S△PAC=2×5×4= 1 1 10;S△ABC= 2 ×5×4=10;PC=5,所以S△PBC= 2 ×4×5=10;由 于PB= PD2+BD2 = 16+25= 41,而AB= 52+42 = 41,故 △BAP为等腰三角形,取底边AP的中点E,连接BE,则BE⊥PA, 1 1 又AE=2PA= 5,所以BE= 41-5=6,所以S△PAB=2×2 5× 6=6 5.所以所求三棱锥的表面积为10+10+10+6 5=30+6 5.

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4. (2012· 新课标全国卷)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的 直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 2 A. 6 2 C. 3
解析:选 A

(

)

3 B. 6 2 D. 2
由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC底面

都是△ABC,O是SC的中点,因此三棱锥S-ABC的高是 三棱锥O-ABC高的2倍,所以三棱锥S-ABC的体积也是 三棱锥O-ABC体积的2倍.

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在三棱锥O-ABC中,其棱长都是1,如图所示, 3 3 2 S△ABC= 4 ×AB = 4 , 高OD= 1
2

? -? ? ?

6 3?2 ? =3, 3? ?

1 3 6 2 所以VS-ABC=2VO-ABC=2×3× 4 × 3 = 6 .

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5.(2012· 浙江高考)已知矩形ABCD,AB=1,BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中 ( A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”, “AD与BC”均不垂直 )

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解析:选 B

对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作 CF⊥BD,垂足为F,在图(1)中,由边AB,BC不相等可 知,点E,F不重合.在图(2)中,连接CE,若直线AC与

直线BD垂直,又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE,
∴BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.

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对于选项B,若AB⊥CD,又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,∴AB ⊥面ADC,∴AB⊥AC,由AB<BC可知存在这样的直角三角 形,使得直线AB与直线CD垂直,故B正确. 对于选项C,若AD⊥BC,又∵DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC ⊥面ADC,∴BC⊥AC.已知BC= 2,AB=1,BC>AB,∴不存 在这样的直角三形,故C错误. 由上可知D错误,故选B

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6.(2012· 山东高考)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, E,F分别为线段AA1,B1C上的 点,则三棱锥D1-EDF的体积为________.
1 1 解析:因为 E 点在线段 AA1 上,所以 S△DED1=2×1×1=2, 又因为 F 点在线段 B1C 上, 所以点 F 到平面 DED1 的距离为 1, 1 即 h=1,所以 VD1-EDF=VF-DED1=3×S△DED1×h= 1 1 1 3×2×1=6. 1 答案:6

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[析考情 把脉高考] 考点统计 空间几何体的图形表示 3年11考

空间几何体的表面积
空间几何体的体积 球 点、线、面的位置关系

3年6考
3年17考 3年3考 3年7考

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考 情 分 析 (1)三视图几乎是每年必考的内容之一,难度中等及以下,

一是考查识图(由直观图判断三视图或由三视图想象直观图);
二是以三视图为载体考查面积、体积的计算. (2)空间几何体的表面积与体积的计算通常与三视图结合 在一起考查. (3)对空间位置关系的考查多以判断命题真假的形式出现.

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空间几何体的图形表示
[例1] (1)(2012· 湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均 ( )

如图所示,则该几何体的俯视图不可能是

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(2)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到图(2)所 示的几何体,则该几何体的侧视图为 ( )

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[思路点拨]

依据几何体的结构特征及三视图的画法规则

解决.
[规范解答] (1)由于该几何体的正视图和侧视图相同,且

上部分是一个矩形,矩形中间无虚线,因此俯视图不可能是C.
(2)还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面

作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.
[答案] (1)C (2)B

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识与画三视图的关键点

(1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系.三视图的
正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左 方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形,反映

了一个几何体各个侧面的特点.正(主)视图反映物体的主要形状
特征,是三视图中最重要的视图;俯视图要和正(主)视图对正, 画在正(主)视图的正下方;侧(左)视图要画在正(主)视图的正右 方,高度要与正(主)视图平齐. (2)要熟悉各种基本几何体的三视图.同时要注意识与画三视

图时,能看到的轮廓线画成实线,看不到的轮廓线画成虚线. 返回

1.某几何体的三视图均为直角三角形,如图所示,则围成该 几何体的各面中,直角三角形的个数为 ( )

A.1 C.3

B.2 D.4

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解析:选 D

依题意得,该几何体是一个底面为直角

三角形、一条侧棱垂直于底面的三棱锥,其四个面均
为直角三角形.

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2.已知三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图
所示,俯视图是边长为2的正三角形,

侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥
的正(主)视图可能为 ( )

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解析:选 C

由于空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图“高

平齐”,故正(主)视图的高一定是2,由于正(主)视图和俯(左) 视图“长对正”,故正(主)视图的底面边长为2,又根据侧视图 可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面,这个面遮住了 后面的一个侧棱,综上可知,这个空间几何体的正(主)视图

可能是C.

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空间几何体的表面积与体积 [例2] (1)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),

则该几何体的体积为________m3.

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(2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表 面积为________.

[思路点拨]

将三视图还原为直观图后求解.

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[规范解答]

(1)由三视图可知,该几何体为一个长方体与四

棱柱的组合体,长方体的长、宽、高分别为4、3、2,四棱柱的高 为4,其上、下底面为两底长分别为1、2,高为1的直角梯形,故 组合体的体积 1 V=3×4×2+2×(1+2)×1×4=30. (2)根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱,所以 S=2×(4+3+12)+2π-2π=38.

[答案] (1)30

(2)38

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给出几何体的三视图求其表面积或体积时,首先要

根据给出的三视图判断该几何体的形状,然后再由三视
图中的大小标示确定该几何体的各个度量,最后套用相

应的面积、体积公式计算求解.

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3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

8π A. 3 10π C. 3

B.3π D.6π

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解析:选 B

由三视图可知,此几何体(如图

所示)是底面半径为1,高为4的圆柱被从一平 1 3 面截去了4,所以V=4×π×12×4=3π.

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4.某品牌香水瓶的三视图如下(单位:cm),则该香水瓶的 表面积为______cm2.

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解析:香水瓶的上面部分是一个四棱柱,中间部分是一个圆 柱,下面部分是一个四棱柱.上面部分的表面积为2×3×3+ π π 1 4×3×1- 4 =30- 4 ;中间部分的表面积为2π× 2 ×1=π;下 π π 面部分的表面积为2×4×4+4×4×2- 4 =64- 4 .故该香水瓶
? π? 2 的表面积是?94+2?cm . ? ?

π 答案:94+2

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多面体与球 [例3] (1)(2012· 潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8,

当矩形周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥 D-ABC的外接球的表面积等于 A.4π B.8π ( )

C.16π

D.24π

(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD是边长为a的正方形,PD⊥底面ABCD, 且PD=a,PA=PC= 2a,若在这个四棱锥内 放一球,则此球的最大半径是________________.

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[思路点拨]

(1)三棱锥D-ABC的外接球的球心到A、B、

C、D四个顶点的距离相等;

(2)四棱锥内切球的最大半径问题,当且仅当球与四棱锥
的各个面都相切时,球的半径最大.
[规范解答] (1)设矩形的两邻边长度分别为a,b,则ab=8,

此时2a+2b≥4 ab=8 2,当且仅当a=b=2 2时等号成立,此 时四边形ABCD为正方形,其中心到四个顶点的距离相等,均为 2,无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为2的球面上,这个 球的表面积是4π×22=16π.

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(2)设放入的球的半径为 r,球心为 O,连接 OP、OA、OB、OC、 OD, 则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥, 这些小棱锥的高 都是 r,底面分别为原四棱锥的侧面和底面,则 1 1 VP-ABCD=3r(S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD+S 正方形 ABCD)=3r(2+ 2)a2. 由题意知 PD⊥底面 ABCD, 1 1 所以 VP-ABCD=3S 正方形 ABCD· PD=3a3. 1 1 由体积相等,得3r(2+ 2)a2=3a3, 1 解得 r=2(2- 2)a. 1 [答案] (1)C (2)2(2- 2)a

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多面体与球接、切问题求解方法

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面
体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为 平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或 只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的 半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.

(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两
两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形” 成为一个球内接长方体,根据4R2=a2+b2+c2求解.

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5.已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥ BC,SA=AB=1,BC= 2,则球O的表面积等于 A.4π C.2π B.3π D.π ( )

解析:选 A

如图,以SA,AB,BC为棱长

构造长方体,得体对角线长 12+12+? 2?2= 2R,所以R=1,S=4πR2=4π.

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6.已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接
球的表面积为________.

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解析:设该几何体的外接球的半径为 R.依题意 知,该几何体是如图所示的三棱锥 A-BCD, 其中 AB⊥平面 BCD,AB=2,BC= CD= 2,BD=2,BC⊥DC,因此可将该三棱锥补形为一个长 方体,于是有(2R)2=22+( 2)2+( 2)2=8,即 4R2=8,则该几何 体的外接球的表面积为 4πR2=8π.

答案:8π

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有关线、面位置关系与命题真假的判断

[例4]

(1)(2012· 长沙模拟)已知m,n表示直线,α,β,γ
( )

表示平面,给出下列四个命题,其中真命题为 ①α∩β=m,n?α,n⊥m,则α⊥β; ②α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则n⊥m; ③m⊥α,m⊥β,则α∥β; ④m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β. A.①② B.③④

C.②③

D.②④ 返回

(2)(2012· 厦门模拟)已知三条不重合的直线m,n,l,两个

不重合的平面α,β,有下列命题:
①若m∥n,n?α,则m∥α; ②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β; ③若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β; ④若α⊥β,α∩β=m,n?β,n⊥m,则n⊥α.

其中正确命题的个数是
A.1 C.3 B.2 D.4

(

)

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[思路点拨]

对每一个命题进行逐一分析、判断,看其是否

满足相关定理的条件.

[规范解答]

(1)由面面垂直判定定理可知,①错误;若α⊥β,

α∩γ=m,β∩γ=n,则n⊥m或n∥m,故②错误. (2)若m∥n,n?α,则m与α可平行也可在α内,故①错误;l⊥α, l∥m,则m⊥α,又m⊥β,所以α∥β,故②正确;③中若m与n相 交则命题成立,否则不成立,故③错误;由面面垂直的性质定理

可知④正确,综上可知②④正确,①③错误.
[答案] (1)B (2)B

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空间线面位置关系的判断方法 (1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面 垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题. (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等 模型中观察线面位置关系,结合有关定理作出选择.

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7.已知a,b,l是不同的直线,α,β是不重合的平面,有下 列命题: ①若a⊥β,α⊥β,则a∥α;

②若a∥α,a⊥b,则b⊥α;
③若a∥b,l⊥a,则l⊥b; ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 ( )

C.3

D.4 返回

解析:选 A

①错,直线a可在平面α内;②错,b可能

平行于α或b?α;③正确;④错,两平面可相交,故只有 ③正确,真命题的个数是1个.

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8.若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=
BD,AD=BC,则以下结论中正确的是__________(写出所 有正确结论的编号). ①四面体ABCD每个面的面积相等; ②从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大

于90°而小于180°;
③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分; ④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个 三角形的三边长.

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解析:

对于①,可得△BAC≌△DCA,△ABC≌△DCB,

△CBD≌△ADB,故①正确.
对于②,如图(1),以∠BAC,∠CAD,∠BAD为例说明. ∵△BAC≌△DCA,∴∠CAD=∠ACB.

又∵△DAB≌△CBA,∴∠BAD=∠ABC.
∴∠BAC+∠CAD+∠BAD=∠BAC+∠ACB+∠ABC= 180°,故②不正确.

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对于③,如图(2).分别取 AD、DC、BC、AB 的中点 E、H、G、F, 1 连接 EH,HG,GF,FE,EG,FH,可得 EF 綊 GH 綊 BD,FG 2 1 綊 EH 綊 AC,又 AC=BD,所以四边形 EFGH 为菱形,故 FH⊥ 2 EG, FH 与 EG 相互平分. 且 同理可得连接其他对棱中点的线段也 相互垂直平分,故③正确. 对于④,由对棱相等知,从一个顶点出发的三条棱长分别等于四面 体中每一个面(三角形)的三边长,故④正确.

答案:①③④

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(1)空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积
就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的 面积,在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”.多面 体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除 了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.

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(2)实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球,

而是由柱、锥、台、球(或一部分)组成的组合体,解决组合体体
积问题的基本方法就是“分解”,将组合体“分解成若干部分,每

部分是柱、锥、台、球(或一部分),分别计算其体积”,然后根
据组合体的结构,将组合体的体积转化为这些“部分体积”的和 或差.

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(3)线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列
形式转化.

在证明平行或垂直的问题中,认真体会“转化”这一数学 思想方法.不仅要领悟“平行”“垂直”内部间的转化,还要注 意平行与垂直之间的转化关系.

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