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第13讲 最优化问题


第 13 讲
一、知识要点

最优化问题

在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情,怎样合 理安排才能做到用的时间最少,效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我 们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题,这些问题往 往可以从极端情况去探讨它的最大(小)值,这类问题在数学中称为极值问题。 以上的问题实际上都是“最优化问题”。 二、精讲精练 【例题 1】 用一只平底锅煎饼, 每次只能放两个, 剪一个饼需要 2 分钟 (规 定正反面各需要 1 分钟)。问煎 3 个饼至少需要多少分钟? 【思路导航】 先将两个饼同时放入锅中一起煎, 一分钟后两个饼都熟了一面, 这时可将一个取出,另一个翻过去,再放入第三个。又煎了一分钟,将两面都熟 的那个取出,把第三个翻过去,再将第一个放入煎,再煎一分钟就会全部煎好。 所以,煎 3 个饼至少需要 3 分钟。 练习 1: 1.烤面包时,第一面需要 2 分钟,第二面只要烤 1 分钟,即烤一片面包需要 3 分钟。 小丽用来烤面包的架子, 一次只能放两片面包, 她每天早上吃 3 片面包, 至少要烤多少分钟?

2.用一只平底锅烙大饼, 锅里只能同时放两个。 烙熟大饼的一面需要 3 分钟, 现在要烙 3 个大饼,最少要用几分钟?

3.小华用平底锅烙饼,这只锅同时能放 4 个大饼,烙一个要用 4 分钟(每面 各需要 2 分钟)。可小华烙 6 个大饼只用了 6 分钟,他是怎样烙的?

【例题 2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要 1 分钟,烧开水需要 15 分钟,洗茶壶需要 1 分钟,洗茶杯需要 1 分钟。要让客人喝上茶,最少需要多少 分钟?

【思路导航】经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间。 水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶 杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。 根据以上的分析,可以这样安排:先洗水壶用 1 分钟,接着烧开水用 15 分 钟,同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,共需要 16 分钟。 练习 2: 1.小虎早晨要完成这样几件事:烧一壶开水需要 10 分钟,把开水灌进热水 瓶需要 2 分钟,取奶需要 5 分钟,整理书包需要 4 分钟。他完成这几件事最少需 要多少分钟?

2.小强给客人沏茶,烧开水需要 12 分钟,洗茶杯要 2 分钟,买茶叶要 8 分 钟,放茶叶泡茶要 1 分钟。为了让客人早点喝上茶,你认为最合理的安排,多少 分钟就可以了?

3.在早晨起床后的 1 小时内,小欣要完成以下事情:叠被 3 分钟,洗脸刷牙 8 分钟,读外语 30 分钟,吃早餐 10 分钟,收碗擦桌 5 分钟,收听广播 30 分钟。 最少需要多少分钟?

【例题 3】五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室,等 候校医治病。赵明打针需要 5 分钟,孙勇包纱布需要 3 分钟,李佳点眼药水需要 1 分钟。卫生室只有一位校医,校医如何安排三位同学的治病次序,才能使三位 同学留在卫生室的时间总和最短? 【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病,治疗时间长的最后治疗, 才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样,三位同学留在卫生室的时间分 别是:李佳 1 分钟,孙勇 1+3=4 分钟,赵明 1+3+5=9 分钟。时间总和是 1+4+9=14 分钟。

练习 3: 1.甲、乙、丙三人分别拿着 2 个、3 个、1 个热水瓶同时到达开水供应点打 热水。热水龙头只有一个,怎样安排他们打水的次序,可以使他们打热水所花的 总时间最少?

2.甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务,甲、乙、丙三人需要的时间分 别是 10 分钟、16 分钟和 8 分钟。怎样安排,使 3 人所花的时间最少?最少时间 是多少?

3.甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水,甲洗托把需要 3 分钟,乙 洗抹布需要 2 分钟,丙洗衣服需要 10 分钟,丁用桶注水需要 1 分钟。怎样安排 四人用水的次序,使他们所花的总时间最少?最少时间是多少?

【例题 4】用 18 厘米长的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整 厘米数。围成的长方形的面积最大是多少? 【思路导航】根据题意,围成的长方形的一条长与一条宽的和是 18÷2=9 厘米。显然,当长与宽的差越小,围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长 度都是整厘米数,因此,当长是 5 厘米,宽是 4 厘米时,围成的长方形的面积最 大:5×4=20 平方厘米。 练习 4: 1.用长 26 厘米的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数, 围成的长方形的面积最大是多少?

2.一个长方形的周长是 20 分米,它的面积最大是多少?

3.一个长方形的面积是 36 平方厘米,并且长和宽的长度都是整厘米数。这 个长方形的周长最长是多少厘米?

【例题 5】用 3~6 这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘 积最大。 【思路导航】解决这个问题应考虑两点: (1)尽可能把大数放在高位; (2) 尽可能使两个数的差最小。所以应把 6 和 5 这两个数字放在十位,4 和 3 放在个 位。根据“两个因数的差越小,积越大”的规律,3 应放在 6 的后面,4 应放在 5 的后面。63×54=3402. 练习 5: 1.用 1~4 这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。

2.用 5~8 这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。

3.用 3~8 这六个数字分别组成两个三位数,使这两个三位数的乘积最大。


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