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北京市西城区2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题


北京市西城区 2013-2014 学年下学期高一年级期末考试数学试卷
(试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1. 不等式 x( x ? 2) ? 3 的解集是( (A){ x ? 3 ? x ? 1} (C){ x x ?

?3, 或 x ? 1 } ) (B){ x ? 1 ? x ? 3 } (D){ x x ? ?1, 或 x ? 3 } ) (D) ? 2

2. 在等比数列{ an }中,若 a1a2 a3 ? —8,则 a2 等于( (A)—

8 3

(B)— 2

(C) ?

8 3

3. 总体由编号为 01,02,…,29,30 的 30 个个体组成。利用下面的随机数表选取 4 个个体。选 取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的第 4 个个体的编号为( ) 7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800 3204 9234 4935 3623 4869 6938 7481 (A)02 (B)14 (C)18 ) (D)29

4. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

(A)1

(B)5

(C)14
·1 ·

(D)30

5. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则△ABC 的形状是(
2 2 2



(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)无法确定

x?5 ? 0 的解集为 P。若 x0 ? P ,则“ x0 ? 1 ”的概率为( x ?1 1 1 1 2 (A) (B) (C) (D) 4 3 2 3 7. 设 a ? 0, b ? 0 ,则下列不等式中不 恒成立的是( ) .
6. 已知不等式 (A) a ? (C)



1 ≥2 a

(B) a ? b ≥2( a ? b ? 1 )
2 2

a?b ≥ a ? b

(D) a ? b ≥2 ab
3 3

2

8. 已 知 数 列 A : a1 , a2 , … , an ( 0 ? a1 ? a2 ? … ? an , n ? 3 ) 具 有 性 质 P : 对 任 意

i, j (1 ? i ? j ? n) , a j ? ai 与a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项。给出下列三个结论:
① 数列 0,2,4,6 具有性质 P; ② 若数列 A 具有性质 P,则 a1 ? 0 ; ③ 若数列 a1 , a2 , a3 ( 0 ? a1 ? a2 ? a3 )具有性质 P,则 a1 ? a3 ? 2a2 。 其中,正确结论的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 45%,在一次考试中,男、女生平均分数依次为 72、74,则这次考试该年级学生的平均分数为_______________。 10. 下图是甲,乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图。那么甲、乙两人得分的标准差 s


___________s 乙(填“<”,“>”或“=”) 。

·2 ·

11. 已 知 { an } 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , a1 ? 1 。 如 果 a2 · a3 ? a5 , 那 么 d 的 取 值 范 围 是 ______________。 12. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a ,从{2,4,6}中随机选取一个数为 b ,则 b ? a 的 概率是______________。 13. 若实数 a, b 满足 2 ? 2 ? 1 ,则 a ? b 的最大值是______________。
a b

? x ? y ? 4 ? 0, ?? t ? x ? t ? 14. 设 M 为不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 所表示的平面区域, N 为不等式组 ? 所表示的平 ?0 ? y ? 4 ? t ?y ? 0 ?
面区域,其中 t ? [0, 4] 。在 M 内随机取一点 A,记点 A 在 N 内的概率为 P。 (ⅰ )若 t ? 1 ,则 P=______________; (ⅱ )P 的最大值是______________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 13 分) 在等差数列{ an }中, a2 ? ?1, 2a1 ? a3 ? ?1 。 (Ⅰ )求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ )设{ an }的前 n 项和为 Sn 。若 S k ? ?99 ,求 k 。 16. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,A ?

?
4

,B ?

?
3

,BC ? 2 。

(Ⅰ )求 AC 的长; (Ⅱ )求 AB 的长。 17. (本小题满分 14 分) 经统计,某校学生上学路程所需要时间全部介于 0 与 50 之间(单位:分钟) 。现从在校学生中 随机抽取 100 人,按上学所需时间分组如下:第 1 组 (0, 10] ,第 2 组 (10, 20] ,第 3 组 (20, 30] ,第 4 组 (30, 40] ,第 5 组 (40, 50] ,得到如图所示的频率分布直方图。
·3 ·

(Ⅰ )根据图中数据求 a 的值; (Ⅱ )若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 人参与交通安全问卷调查,应从这三组中各 抽取几人? (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,若从这 6 人中随机抽取 2 人参加交通安全宣传活动,求第 4 组至少有 1 人被抽中的概率。

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ( x ? 2)( x ?

a ?1 ) ,其中 a ? 0 。 a

(Ⅰ )若 a ? 1 ,求 f ( x) 在区间[0,3]上的最大值和最小值; (Ⅱ )解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 。 19. (本小题满分 14 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? 3n ? 1,其中 n ? N 。
*

(Ⅰ )求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ )若数列{ bn }满足 b1 ? 1 , bn ? 3bn?1 ? an (n ? 2) , (ⅰ )证明:数列 ?

? bn ? 为等差数列; n ?1 ? ?3 ?

(ⅱ )求数列{ bn }的前 n 项和 Tn 。 20. (本小题满分 13 分)
* 在无穷数列{ an }中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N ,都有 an ? N , an ? an ?1 。 设 m ? N ,记
* *

使得 a n ? m 成立的 n 的最大值为 bm 。
·4 ·

(Ⅰ )设数列{ an }为 1,3,5,7,…,写出 b1 , b2 , b3 的值; (Ⅱ )若{ an }为等比数列,且 a 2 ? 2 ,求 b1 ? b2 ? b3 ? … ? b50 的值; (Ⅲ )若{ bn }为等差数列,求出所有可能的数列{ an }。

·5 ·

高一数学参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1. A;2. B;3. D;4. C;5. B;6. B;7. D;8. A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 73.1; 10. >; 11. (0,

1 3 3 1 ) ;12. ; 13. ?2 ;14. , 2 5 8 2

注:14 题第一问 2 分,第二问 3 分。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分。 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:设等差数列{ an }的公差为 d 。 依题意,得 ?

?a1 ? d ? ?1, 。 ?3a1 ? 2d ? ?1

【4 分】

解得 a1 ? 1 , d ? ?2 。 所以数列{ an }的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 3 。

【6 分】 【8 分】

(Ⅱ )解: S n ?

n(a1 ? a n ) n(?2n ? 4) ? ? ? n 2 ? 2n 。 2 2
2

【10 分】

令 S n ? ?k 2 ? 2k ? ?99 ,即 k ? 2k ? 99 ? 0 。 解得 k ? 11 ,或 k ? ?9 (舍去) 。

【12 分】 【13 分】

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:由正弦定理可得 所以 AC ?

BC ? sin B ? 6 sin A

AC BC ? , sin B sin A

【3 分】 【6 分】

·6 ·

(Ⅱ )解:由余弦定理,得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,
2 2 2

【9 分】 【11 分】 【13 分】

化简为 AB ? 2 AB ? 2 ? 0 ,
2

解得 AB ? 1 ? 3 ,或 AB ? 1 ? 3 (舍去) 。

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ )解:因为(0.005+0.01+ a +0.03+0.035) ? 10 ? 1, 所以 a ? 0.02 。 【2 分】 【3 分】

(Ⅱ )解:依题意,第 3 组的人数为 0.3 ? 100 ? 30 ,第 4 组的人数为 0.2 ? 100 ? 20 ,第 5 组 的人数 0.1 ? 100 ? 10 ,所以这三组共有 60 人。 利用分层抽样的方法从这 60 人中抽取 6 人,抽样比为 所以在第 3 组抽取的人数为 30 ? 人数为 10 ? 【4 分】

6 1 ? 。 60 10

【5 分】

1 1 ? 3 ,在第 4 组抽取的人数为 20 ? ? 2 ,在第 5 组抽取的 10 10
【8 分】

1 ? 1。 10

(Ⅲ )解:记第 3 组的 3 人为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 人为 B1 , B2 , 第 5 组的 1 人为 C1 。 从 6 人中抽取 2 人的所有情形为: ( A1 , A2 ) ( , A1 , A3 ) ( , A1 , B1 ) ( A1 , B2 ) , ( A1 , C1 ) , ( A2 , A3 ) , , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , C1 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A3 , C1 ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) , 共 15 种可能。 【11 分】

其中第 4 组的 2 人中, 至少有 1 人被抽中的情形为: ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) ,共 9 种可能。 【13 分】 所以,第 4 组至少有 1 人被抽中的概率为 P ?

9 3 ? 。 15 5

【14 分】

·7 ·

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解: a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2) x ? ( x ? 1) 2 ? 1. 所以,函数 f ( x) 在(0,1)上单调递减;在(1,3)上单调递增。 所以 f ( x) 在[0,3]上的最小值为 f (1) ? ?1 。 又 f (3) ? f (0), 所以 f ( x) 在[0,3]上的最大值为 f (3) ? 3 。 【4 分】 【1 分】 【2 分】 【3 分】

(Ⅱ )解: (1)当 a ? 0 时,原不等式同解于 ( x ? 2)( x ?

a ?1 a ?1 ? ? 0, a a a ?1 ? 2, 所以 a
因为 2 ?

a ?1 ) ? 0。 a

【5 分】

【6 分】 【7 分】 【8 分】

a ?1 }。 a a ?1 ) ? 0。 (2)当 a ? 0 时,原不等式同解于 ( x ? 2)( x ? a a ?1 a ?1 ? 由2? ,得: a a a ?1 ① 若 ? 1 ? a ? 0 ,则 2 ? , a a ?1 此时, f ( x) ? 0 的解集为{ x 2 ? x ? }。 a
此时, f ( x) ? 0 的解集为{ x x ? 2, 或 x ? ② 若 a ? ?1 ,原不等式无解。 ③ 若 a ? ?1 ,则 2 ?

【10 分】 【11 分】

a ?1 , a

此时, f ( x) ? 0 的解集为{ x

a ?1 ? x ? 2 }。 a

【13 分】

综上,当 a ? 0 时,不等式的解集为{ x x ? 2, 或x ? 为{ x 2 ? x ? {x

a ?1 ? x ? 2 }。 a

a ?1 } ; 当 a ? ?1 时 , 不 等 式 的 解 集 为 ? a

a ?1 };当 ? 1 ? a ? 0 时,不等式的解集 a
; 当 a ? ?1 时 , 不 等 式 的 解 集 为

19. (本小题满分 14 分)
·8 ·

(Ⅰ )解:因为数列{ an }的前 n 项和 S n ? 3n ? 1, 所以 an ? S n ? S n?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2.3n?1 (n ? 2) 。 因为 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ,也适合上式, 所以 an ? 2.3n?1 (n ? N * ) 。 【2 分】 【3 分】 【4 分】

(Ⅱ ) (ⅰ )证明:当 n ? 2 时, bn ? 3bn?1 ? 2.3n?1 , 将其变形为

b bn ?1 bn bn ?1 ? n ? 2 ,即 nn ? n ? 2。 n ?1 ?2 ?1 3 3 3 3 ?2 b ? bn ? ? 1 ,公差为 2 的等差数列。 是首项为 1 n ?1 ? 30 ?3 ? bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 。 3 n ?1

【6 分】

所以,数列 ?

【8 分】

(ⅱ )解:由(ⅰ )得,

所以 bn ? (2n ? 1) ? 3n?1 (n ? N * ) 。 因为 Tn ? 1? 30 ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1 , 所以 3Tn ? 1? 31 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n 。 两式相减得 2Tn ? ?1 ? 2(31 ? 32 ? ? ? 3n?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n 。 整理得 Tn ? (n ? 1) ? 3 ? 1(n ? N ) 。
n *

【10 分】

【12 分】

【14 分】

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解: b1 ? 1 , b2 ? 1, b3 ? 2 。 (Ⅱ )解:因为{ an }为等比数列, a1 ? 1 , a2 ? 2 , 所以 an ? 2n?1 , 因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 b1 ? 1 ,b2 ? b3 ? 2 ,b4 ? b5 ? b6 ? b7 ? 3 , b8 ? b9 ?
·9 ·

【3 分】

【4 分】

? b15 ? 4 ,b16 ? b17 ?

? b31 ? 5 ,

b32 ? b33 ?

? b50 ? 6 , ? b50 ? 243 。 ? an ?

【6 分】 【8 分】 , 【9 分】

所以 b1 ? b2 ? b3 ?

(Ⅲ )解:由题意,得 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? 结合条件 an ? N * ,得 an ? n 。

又因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm ,使得 an ? m ? 1 成立的 n 的最大值为 bm?1 , 所以 b1 ? 1 , bm ? bm?1 (m ? N * ) 。 设 a2 ? k ,则 k ? 2 。 假设 k ? 2 ,即 a2 ? k ? 2 , 则当 n ? 2 时, an ? 2 ;当 n ? 3 时, an ? k ? 1 。 所以 b2 ? 1, bk ? 2 。 因为{ bn }为等差数列, 所以公差 d ? b2 ? b1 ? 0 , 所以 bn ? 1,其中 n ? N 。
*

【10 分】

这与 bk ? 2(k ? 2) 矛盾, 所以 a2 ? 2 。 又因为 a1 ? a2 ? a3 ? 所以 b2 ? 2 , 由{ bn }为等差数列,得 bn ? n ,其中 n ? N 。
*

【11 分】

? an ?



【12 分】

因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 an ? n , 由 an ? n ,得 an ? n 。
·10·

【13 分】

·11·


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