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6等差与等比数列的综合问题


等差与等比数列的综合问题
一、知识点 (一)等差数列的补充性质

?1?若?an??bn?均为等差数列,且公差分别为d1, d2 ,则数列?pan??an ? q??an ? bn?也为等差数 , , ,
列, 且公差分别为pd1, d1 ? q, d1 ? d2.

(2)若 a1>0,d<0,Sn 有最大值,可由不等式组 ?

? an ? 0 来确定 n。 ?an?1 ? 0

若 a1<0,d>0,Sn 有最小值,可由不等式组 ? (二) 等比数列的补充性质

? an ? 0 来确定。 an?1 ? 0 ?

?1? ?a ? 若?an ?, ?bn ?均为等比数列, 且公差分别为q1, q2 , 则数列?pan ?, ? ?, ?an ? bn ?, ? n ?, an an ? ? ? bn ? 1 p 也为等比数列, 且公差分别为pq, , pq, , q . q q

二、范例解析 例 1、 (1)设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0,求公差 d 的取值范 围。 (2)指出 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大,并说明理由。 解: (1) S12 ? 12 a1 ?

?2a1 ? 11d ? 0 12 ? 11 12 ? 13 d ? 0 , S13 ? 13a1 ? d ? 0 ,即 ? , 2 2 ? a1 ? 6d ? 0
24 ? d ? ?3 。 7

由 a3 ? a1 ? 2d ? 12 ,代入得: ?

(2)解一:由 S12 ? 6?a6 ? a7 ? ? 0 , S13 ? 13a7 ? 0 可知: a6 ? 0 , a7 ? 0 ,所以 S6 最 大。 解二、 S n ?

24 d 2 ? 5d ? ? d ? ?3 可知,它的图象是开口向下的抛物线 n ? ?12 ? ?n ,由 ? 7 2 2 ? ?

上的一群离散的点,根据图象可知 S6 最大。 解三、 S n ?

24 5d ? 24 13 d? 5d ? 24 ? d 5d ? 24 2 ? d ? ?3 得 6 ? ? ) ,由 ? ?n ? ? ? ( 7 2d 2 2? 2d ? 2 2d
2

又抛物线开口向下,所以 S6 最大。 评注:求等差数列 Sn 最值有三法:借助求和公式是关于 n 的二次函数的特点,用配方法求 解; 借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。 (经过原点)

练习:已知等差数列{an}中, a1 ? 0, S 5 ? S12 ,问 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大。 例 2 已知{an}是等比数列, 1 =2, 3 =18; n}是等差数列, 1 =2, 1+ b2+ b3+ b4= a1+ a2+ a a {b b b a3>20. (1) 求数列{bn}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式; (3) 设 Pn= b1+ b4+ b7+…+ b3n-2,Qn= b10+ b12+ b14+…+ b2n+8,其中 n=1,2,…,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论。 详见优化设计 P44 典例剖析例 1,解答过程略。 例 3、已知函数 f ?x ? ?
?1

1 x2 ? 4

?x ? ?2?

(1) 求 f

?x ?
1 a n?1 ??f
?1

(2) 设 a1 ? 1,

?an ??n ? N ? ?, 求an
?

(3) 设 bn ? a 2 n?1 ? a 2 n?2 ? ? ? a 2 2n?1 是否存在最小的正整数 k,使对任意 n ? N 有

bn ?

k 成立?若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由? 25
?1

解: (1)由题 f

?x ? ? ?
1

1 ? 4 ? x ? 0? x2 1 an?1
2

(2)由

1 a n ?1

?

an

2

? 4 得 an?1 ? 0, 且

?

1 an
2

?4

所以

1 an
2

? 4n ? 3 即 a n ?

1 4n ? 3
k 成立 25

? (3)先证明{bn}是单调递减数列,所以要对任意 n ? N 有 bn ?

只须满足 b1 ?

k 即可,解得存在最小的正整数 k=8 满足条件。 25

例 4 在等比数列{an}(n∈N*)中, a1 ? 1 ,公比 q>0。设 bn=logan,且 b1+ b3+ b5=6,b1+b3+ b5=0。 (1) 求证:数列{bn}是等差数列; (2) 求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an;

(3) 试比较 an 与 Sn 的大小。 详见优化设计 P44 典例剖析例 3,解答过程略。

三、小结 解答数列综合题,要重视审题,精心联想,沟通联系,解答数列应用性问题,关键是如何 将它转化为数学问题。 四、作业 优化设计


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