当前位置:首页 >> 数学 >>

6等差与等比数列的综合问题


等差与等比数列的综合问题
一、知识点 (一)等差数列的补充性质

?1?若?an??bn?均为等差数列,且公差分别为d1, d2 ,则数列?pan??an ? q??an ? bn?也为等差数 , , ,
列, 且公差分别为pd1, d1 ? q, d1 ? d2.

(2)若 a1>0,d<0,Sn 有最大值,可由不等式组 ?

? an ? 0 来确定 n。 ?an?1 ? 0

若 a1<0,d>0,Sn 有最小值,可由不等式组 ? (二) 等比数列的补充性质

? an ? 0 来确定。 an?1 ? 0 ?

?1? ?a ? 若?an ?, ?bn ?均为等比数列, 且公差分别为q1, q2 , 则数列?pan ?, ? ?, ?an ? bn ?, ? n ?, an an ? ? ? bn ? 1 p 也为等比数列, 且公差分别为pq, , pq, , q . q q

二、范例解析 例 1、 (1)设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0,求公差 d 的取值范 围。 (2)指出 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大,并说明理由。 解: (1) S12 ? 12 a1 ?

?2a1 ? 11d ? 0 12 ? 11 12 ? 13 d ? 0 , S13 ? 13a1 ? d ? 0 ,即 ? , 2 2 ? a1 ? 6d ? 0
24 ? d ? ?3 。 7

由 a3 ? a1 ? 2d ? 12 ,代入得: ?

(2)解一:由 S12 ? 6?a6 ? a7 ? ? 0 , S13 ? 13a7 ? 0 可知: a6 ? 0 , a7 ? 0 ,所以 S6 最 大。 解二、 S n ?

24 d 2 ? 5d ? ? d ? ?3 可知,它的图象是开口向下的抛物线 n ? ?12 ? ?n ,由 ? 7 2 2 ? ?

上的一群离散的点,根据图象可知 S6 最大。 解三、 S n ?

24 5d ? 24 13 d? 5d ? 24 ? d 5d ? 24 2 ? d ? ?3 得 6 ? ? ) ,由 ? ?n ? ? ? ( 7 2d 2 2? 2d ? 2 2d
2

又抛物线开口向下,所以 S6 最大。 评注:求等差数列 Sn 最值有三法:借助求和公式是关于 n 的二次函数的特点,用配方法求 解; 借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。 (经过原点)

练习:已知等差数列{an}中, a1 ? 0, S 5 ? S12 ,问 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大。 例 2 已知{an}是等比数列, 1 =2, 3 =18; n}是等差数列, 1 =2, 1+ b2+ b3+ b4= a1+ a2+ a a {b b b a3>20. (1) 求数列{bn}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式; (3) 设 Pn= b1+ b4+ b7+…+ b3n-2,Qn= b10+ b12+ b14+…+ b2n+8,其中 n=1,2,…,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论。 详见优化设计 P44 典例剖析例 1,解答过程略。 例 3、已知函数 f ?x ? ?
?1

1 x2 ? 4

?x ? ?2?

(1) 求 f

?x ?
1 a n?1 ??f
?1

(2) 设 a1 ? 1,

?an ??n ? N ? ?, 求an
?

(3) 设 bn ? a 2 n?1 ? a 2 n?2 ? ? ? a 2 2n?1 是否存在最小的正整数 k,使对任意 n ? N 有

bn ?

k 成立?若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由? 25
?1

解: (1)由题 f

?x ? ? ?
1

1 ? 4 ? x ? 0? x2 1 an?1
2

(2)由

1 a n ?1

?

an

2

? 4 得 an?1 ? 0, 且

?

1 an
2

?4

所以

1 an
2

? 4n ? 3 即 a n ?

1 4n ? 3
k 成立 25

? (3)先证明{bn}是单调递减数列,所以要对任意 n ? N 有 bn ?

只须满足 b1 ?

k 即可,解得存在最小的正整数 k=8 满足条件。 25

例 4 在等比数列{an}(n∈N*)中, a1 ? 1 ,公比 q>0。设 bn=logan,且 b1+ b3+ b5=6,b1+b3+ b5=0。 (1) 求证:数列{bn}是等差数列; (2) 求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an;

(3) 试比较 an 与 Sn 的大小。 详见优化设计 P44 典例剖析例 3,解答过程略。

三、小结 解答数列综合题,要重视审题,精心联想,沟通联系,解答数列应用性问题,关键是如何 将它转化为数学问题。 四、作业 优化设计


相关文章:
第6讲 等差数列与等比数列综合问题
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。第6讲 等差数列与等比数列综合问题 高考数学复习高考数学复习隐藏>>...
第六课时、等比数列与等差数列的综合问题
等比数列等差数列的综合问题 1、 等比数列等差数列的基本运算 例 1 等差数列 {an } 中, a4 ? 7 ,且 a2 , a5 , a7 成等比数列,求 {| an |} 的...
高考数学复习_等差、等比数列综合问题 精品
高考数学复习_等差等比数列综合问题 精品_高考_高中教育_教育专区。等差、等比...(2)设{a n }是由正数组成的等比数列,且 a 5· a 6=81,则 ; log3 ...
第63课等差等比数列的综合问题
·2014 届高考数学一轮复习备课手册 第 63 课 等差等比数列的综合问题 一、...6 . 2 题 2:等比数列 ?an ? 中, a4 ? a6 ? 3 ,则 a5 (a3 ? 2...
等差数列与等比数列综合问题3
等差数列与等比数列综合问题3_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。等差数列与...例 6、在数列{an}中,an>0, 2 sn = an+1 (n N) 求 Sn 和 an 的...
2.6等差数列与等比数列综合运用
2.6 等差数列与等比数列综合运用高一年级数学备课组 黄海鹏 1、 学习目标 (1)知识与技能: a.理解等差(比)数列前 n 项和公式 Sn,会灵活运用公式解决相关问题...
第六节 数列的综合问题
第六节 数列的综合问题 基础回 顾一、等差等比数列的一些重要结论 1.等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 2.等比数列{an}中,若 m+n=p+...
等差数列与等比数列的综合问题
等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题隐藏>> 3.4 等差数列...+a3n,则 A、B、C 成…、、 等差数列. 等差数列 (6)若数列 n}的项数为...
数列、极限、数学归纳法·等差、等比数列综合问题
(六)小结 等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不 离其宗,只要抓住基本量 a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想...
6.6等差等比数列,( 高三理科)
的判定、性质及基本运算 2.等差、等比综合问题 【重点】等差、等比的判定、性质及基本运算【难点】等差、等比综合问题 【学习过程】 题型一 等差等比数列的基本...
更多相关标签: