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【名校解析系列】浙江省重点中学协作体2015届高三上学期第二次适应性测试(数学文卷)


【名校解析系列】 浙江省重点中学协作体 2015 届高三上学期第 二次适应性测试(数学文卷)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
注意事项:1.

答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其 它答案标号。不能答在试题卷上. 参考公式: 球的表面积公式
S ? 4? R 球的体积公式
2

棱柱的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式

V?

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

棱锥的体积公式

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高

如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

【试卷综析】本分试卷是高三综合测试卷,着重于基础知识,基本技能和基本思想方法,同时也考查的逻 辑思维能力和计算能力,空间想象能力以及运用所学的数学知识和思想方法分析问题和解决问题的能力, 难度不大,以基础题为主,但又穿插有一定梯度和灵活性的题目,总体而言,此套题着重基础知识和技能 的考查考核,通过这份试卷,能过起到查漏补缺, 薄弱环节,便于调整复习的作用,也能够让学生自己了 解掌握基本知识和基本技能的情况,做到复习心中有数. 【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 【题文】1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ? ( ▲)
x 2

A. x x ? 0

?

?

B. x x ? ?1或x ? 0

?

?

?

?

?

C. x x ? 4

?

?

?

D. x ? 1 ? x ? 4

?

?

【知识点】集合的并集 A1

【答案】C【解析】解析:集合 A ? x x ? 0 , B ? x x ? 4或x ? ?1 , A ? B ? x x ? 4 故选择 C. 【思路点拨】先求得集合 A, B ,然后根据交集定义求得结果. 【题文】2.已知 ? , ? 角的终边均在第一象限,则“ ? ? ? ”是 “ sin ? ? sin ? ”的( ▲) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分必要条件 A2 sin ? ,所以“ ? ? ? ”推不出 “ sin ? ? sin ? ”, 【答案】D【解析】解析:若 ? ? 370 ? ? ? 30 ,而 sin ? ? 若 sin 30 ? sin170 ,而 30 ? 370 ,所以 sin ? ? sin ? ”推不出 ? ? ? .故选择 D. 【思路点拨】通过带特殊值可求得. 【题文】3.阅读右侧程序框图,输出的结果 i 的值为( ▲ ) A.5 B.7
1页

?

?

?

?

?

?

C.9
开始
S ?1 i?3

D.11



S ? 100 ?


输出i
S ? S?2
i

结束

i ?i?2

(第 3 题图) 【知识点】流程图 L1 【答案】B【解析】解析:第一次循环得到: S ? 1? 23 ? 8, i ? 5 ;第二次循环得到: S ? 8 ? 25 ? 28 , i ? 7 ; 此时 S ? 100 ,故执行“是”输出 i ? 7 .故选择 B. 【思路点拨】根据循环体进行循环即可. 【题文】4.设等差数列 {an } 的前行项和为 S n ,若 S 3 ? 9,S 5 ? 30 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( ▲) A. 63 B. 42 C. 36 D. 27 【知识点】等差数列的性质以及前 n 项和 D2 【答案】A【解析】解析:因为 S3 ? 3a2 ? 9, S5 ? 5a3 ? 30 ,所以可得 a2 ? 3, a3 ? 6 , d ? 3 ,而

a7 ? a8 ? a9 ? a1 ? 6d ? a2 ? 6d ? a3 ? 6d ? S3 ? 18d ? 9 ? 18 ? 3 ? 63 .故选择 A. 【思路点拨】根据等差数列的前 n 项和性质可得 S3 ? 3a2 ? 9, S5 ? 5a3 ? 30 ,即可求得公差 d ? 3 ,进而求
得结果. 5. 【题文】 设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? 2 x ? 2 x ? m ( m 为常数), 则 f ? ?1? ? ( ▲) A. 3 B. 1 【知识点】函数的奇偶性 B4 C. ?1 D. ?3

【答案】D【解析】解析:因为 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,所以 f ? 0? ? 0 ,因为 x ? 0 时,
0 f ( x) ? 2 x ? 2 x ? m 所以 f ? 0? ? 2 ? 0 ? m ? 0 解得 m ? ?1 ,而 f ? ?1? ? ? f ?1? ? ? ? 2 ? 2 ?1? ? ?3 .故选

择 D.

【思路点拨】根据函数为 R 上的奇函数,可得 f ? 0? ? 0 求得 m ? ?1 ,再利用奇函数性质可得

f ? ?1? ? ? f ?1? ,即可求得. 【题文】6.设 a、b 为两条不同的直线, ?、? 为两个不同的平面.下列命题中,正确的是( ▲) 。 A.若 a、b 与 ? 所成的角相等,则 a / / b B.若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? C.若 a ? ? , a / / ? ,则 ? ? ? D.若 a / /? , b / / ? ,则 a / / b
【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5 【答案】C【解析】解析:当两条直线与一个平面所成的角相等时,这两条直线的关系不能确定,故 A 不正 确,当两个平面垂直时,一条直线与一个平面垂直,则这条直线与另一个平面的关系都有可能,故 B 不正 确,当一条直线与一个平面垂直,与另一个平面平行, 则这两个平面之间的关系是垂直,故 C 正确,当两条直线分别和两个平面平行,这两条直线之间没有关系, 故 D 不正确.故选择 C. 【思路点拨】当两条直线与一个平面所成的角相等时,这两条直线的关系不能确定,当两个平面垂直时,
2页

一条直线与一个平面垂直,则这条直线与另一个平面的关系都有可能,当两条直线分别和两个平面平行, 这两条直线之间没有关系,得到结论. 7. 【题文】 把圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 与椭圆 9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 的公共点, 用线段连接起来所得到的图形为 ( ▲) 。 A.线段 B.不等边三角形 C.等边三角形 D.四边形 【知识点】圆锥曲线的交点问题 H3 H5 【答案】C【解析】解析:联立圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 与椭圆 9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 可得 2 y 2 ? 5 y ? 2 ? 0 ,解得

? 3 ? 3 x1 ? x2 ? ? ? ? ? 2 或? 2 或 ? x3 ? 0 ,所以交点为 A ? 3 , 1 ? , B ? ? 3 , 1 ? , C ? 0, 2 ? , ? ? ? ? ? ? 2 2? ? ? ? ? ? y3 ? 2 ? ? ? 2 2? ?y ? 1 ?y ? 1 ? 1 2 ? 2 2 ? ? ? AB ? AC ? BC ? 3 .故选择 C. 【思路点拨】联立圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 与椭圆 9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 可得交点坐标,然后代入可求公共点连接而成
的图象形状. ( ▲) A. ? 0, ? 【题文】8.设 f ( x) ? ln x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间 ?0,3? 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是

? ?

1? e?

B. ?

? ln 3 ? ,e? ? 3 ?

C.

? ln 3 ? ? 0, ? ? 3 ?

D. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

【知识点】函数的零点 B9 【答案】D【解析】解析:函数 f ( x) ? ln x 的图象如图示: 当 a ? 0 时,显然,不合乎题意,当 a>0 时,如图示,

(0, 1] 时, f x) ? lnx, g x) ? lnx ? ax,(x ? ( 1,) 3] g ( ? x) ? 当 x? 存在一个零点, 当 x>1 时,( 可得 (

1 ? a, 若 x

1 1 g ( ? x)<0 ,可得 x> , ( g x) ( ? x)>0, g x) f x) 为减函数,若 g 可得 x< , ( 为增函数,此时 ( 必须在 a a

3页

? ?1? ?g ? a ? ? 0 ? ? ? ln 3 1 ? ? a ? ,在区间(0,3]上有三个零点时,实数 a 的取值范围是 [1,3]上有两个交点,∴ ? g ? 3? ? 0 ? 3 e ? g 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ln 3 1 ? , ? ,故选择 D. ? ? 3 e? 【思路点拨】首先,画出函数 y ? lnx 的图象,然后,借助于图象,结合在区间上有三个零点,进行判断.
【题文】9.各项为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这样的数列至多 有( ▲)项. A. 5 B. 6 C. D. 8 7 【知识点】等差数列前 n 项和 D2 【答案】D【解析】解析:设 a1,a2 ?,an 是公差为 4 的等差数列,则 a1 ? a2 ? a3 ??? an ? 100 ,则
2

a12 ?

? a1 ? 4? ? ? ?a1 ? 4 ? n ? 1?? ?
2

2 (n ?1 )a1 ? (2n2 ? 2n ?100) ? 0, 即 a1 ? ,因此 ? ? n ? 1? ? 100,

7n2 ? 6n ? 401 ? 0 ,解得

3 ? 2816 3 ? 2816 3 ? 2816 3 ? 2816 ,因为 ?n? ? 0,8 ? ? 9 ,所以自 7 7 7 7
2

然数 n 的最大值为 8.故这样的数列至多有 8 项,故选择 D. 【思路点拨】设 a1,a2 ?,an 是公差为 4 的等差数列,则 a1 ? a2 ? a3 ??? an ? 100 ,由此能够推导出

7n2 ? 6n ? 401 ? 0 ,由此能求出这样的数列共有 8 项 【题文】10.在等腰三角形 ABC 中, AB ? AC , D 在线段 AC , AD ? kAC ( k 为常数,且 0 ? k ? 1 ) , BD ? l 为定长,则 ?ABC 的面积最大值为( ▲) l l2 l l2 A. B C D . . . 2 2 2(1 ? k 2 ) 2(1 ? k ) 1? k 1? k 2
【知识点】不等式 E8

C BD 为 x 轴建立平面直角坐标系, 【答案】 【解析】 解析: : 如图所示, 以 B 为原点,

2 ? AD ? kAC ? kAB ,即 AD 2 ?k 2AB 2 , 设 A ? x, y ? , y ? 0 , AB ? AC, ? (x? l ) ? y 2? k 2 ( x 2 ? y 2 ),

整理得: y ?
2

? ?1 ? k 2 ? x 2 ? 2lx ? l 2 1? k 2
ABC max

? ? x2 ?

2l l2 k 2l 2 kl x ? ? , 2 ,即 ymax ? 2 2 2 1? k 1? k 1? k 2 ?1 ? k ?

?S ∴ BD ? l,

?

1 ? ?S k

ABD max

?

l2 l2 ? . . 故答案为 2 ?1 ? k 2 ? 2(1 ? k 2 )

【思路点拨】如图所示,以 B 为原点,BD 为 x 轴建立平面直角坐标系,设 A ? x, y ? , y ? 0 根据题意得到

? AD ? kAC ? kAB ,两边平方得到关系式,利用勾股定理化简后表示出 y 2 ,变形后利用二次函数的性质 求出 y 的最大值,进而确定出三角形 ABD 面积的最大值,根据 AD ? kAC 即可得出三角形 ABC 面积的最
大值.

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 4页

2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用. 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

【题文】二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 【题文】11.若某棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该棱锥的体积等于 4 5 正视图 3 俯视图 (第 11 题图) 【知识点】三视图 G2 【答案】 20 【解析】解析:由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图: 左视图 3



cm3 。

棱柱的高为 5;底面为直角三角形,直角三角形的直角边长分别为 3、4, ∴ 几何体的体积 V ?

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 3 ? 4 ? 5 ? 20 ? cm3 ?. 故答案为 20 . 2 3 2

【思路点拨】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥,画出其直观图,根据棱柱的高为 5;底面为直角三 角形,直角三角形的直角边长分别为 3、4,计算三棱柱与三棱锥的体积,再求差可得答案. 【题文】12.设 x0 是方程 10 ? x ? lg x 的解,且 x0 ? ? k , k ? 1? (k ? Z ) ,则 k = 【知识点】函数零点问题 B9 【答案】 9 【解析】解析:由 10 ? x ? lg x ,得 lgx ? x ? 10 ? 0, 令 ▲ 。
[学,科,

( f x) ? lgx ? x ? 10, ( f 9) ? lg9 ? 9 ?10 ? lg9 ?1<0,( f 10) ? lg10 ? 10 ?10 ? 1>0. ? x0 ? ( 9,) 10 ,

又x0 ? (k,k ? 1 )(k ? Z), ?k ? 9 .故答案为 9 .
【思路点拨】由方程得到对应的函数,由零点存在性定理得到方程根的范围,则答案可求. 【题文】13.已知函数 f ( x) ? ? ▲ 围是 。 【知识点】函数的单调性 B3

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 在 R 是单调函数,则实数 a 的取值范 x ?1 ? log a x,

?0 ? a ? 1 1 1 ? ?1 1 ? ? ?a? , 【答案】 ? , ? 【解析】解析:若函数在 R 是单调减函数,则需满足:?3a ? 1 ? 0 a ?7 3 ? ?3a ? 1 ? 4a ? log 1 7 a ? ?a ? 1 ? ?1 1 ? ? ? 故答案为 ? , ? . 若函数在 R 是单调增函数则需满足: ?3a ? 1 ? 0 ?7 3 ? ?3a ? 1 ? 4a ? log 1 a ?
【思路点拨】分段函数在整个定义域内单调需满足每段上单调,且根据函数图象的特征知,从左向右看图
5页

象应一直上升或下降,从而函数在端点处的函数值有一定大小关系. 【题文】14.在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cos C ,则 tan B ? tan C ? 【知识点】解三角形 C8





【答案】 2 【解析】解析:在三角形中 sin A ? sin ?? ? B ? C ? ? sin ? B ? C ? ,所以已知式子为

sin ? B ? C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ? 2cos B cos C ,即
tan B ? tan C ?

sin B sinC sin B cos C ? cos B sin C ? ? ? 2 ,故答案为 2. cos B cosC cos B cos C sin B cos C ? cos B sin C ? 2 ,而将所 【思路点拨】利用三角形的内角可得 sin A ? sin ? B ? C ? ,展开可得 cos B cos C
求式子正切化为弦,就可得结果.

sin B cos C ? cos B sin C ? 2 ,而 cos B cos C

?2 x ? y ? 0, ? 【题文】15.若实数 x 、 y 满足 ? y ? x, 且 z = 2 x + y 的最小值为 3 ,则实数 b 的值为 ? y ? ? x ? b, ?
【知识点】线性规划 E5





?2 x ? y ? 0, ? 【答案】 9 【解析】解析:由题得:b>0, ? y ? x, 对应的可行域如图: ? y ? ? x ? b, ? 4

? b x= ? b 2b ? 3 ?? ( , ) ,? B 由图得,当目标函数过 B 时,z=2x+y 有最小值,所以 3 3 ? y= 2b ? 3 ? b 2b 9 9 2? ? ? 3 ,解得 b ? 故答案为 . 3 3 4 4 ? y= ? x ? b ? ?2 x ? y=0
【思路点拨】画出满足条件的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根 据分析列出一个含参数 b 的方程组,消参后即可得到 b 的取值. 【题文】16.已知 ?ABC 中, BC ? CA ? CA ? AB , BA ? BC ? 2 ,且 B ? ? 值范围是 ▲ 。 F3

uuu r uur

uur uuu r

uur

uuu r

uuu r uur ? ? 2? ? , ? ,则 BC ? BA 的取 ?3 3 ?

【知识点】向量的数量积

【答案】 ? ?2, ? 【解析】解析:因为 BC ? CA ? CA ? AB ,所以 3

uur uuu r CA. BC ? AB ? BA ? BC . BC ? BA ? 0 ,即 BA2 ? BC 2 可得 AB ? BC ,因为 BA ? BC ? 2 可得

?

? ?

2? ?

uuu r uu r

uu r uu u r

? ?

??

?

6页

2 2 2 2 2 2 BA ? 2BA.BC ? BC ? 4 ,设 AB ? BC ? a ,所以有 2a ? 2a cos B ? 4 ? a ? 1 ? cos B ,因为 2cos B 2 2? ? ? 2? ? ? ? 1 1? B ? ? , ? ,可得 cos B ? ? ? , ? ,所以 BA.BC ? a 2 cos B ? ? 2? ? ??2, ? ,故 1 ? cos B 1 ? cos B ? 3? ?3 3 ? ? 2 2? 2? ? 答案为 ? ?2, ? . 3? ? uur uuu r uuu r uu r uu r uu u r 【思路点拨】根据题意 BC ? CA ? CA ? AB 可得 AB ? BC ? a ,由 BA ? BC ? 2 平方可得

2 ? 1 1? 2 2 2 BA ? 2BA.BC ? BC ? 4 ,可得 a ? 1 ? cos B ,根据角 B 的范围求得 cos B ? ? ? 2 , 2 ? ,而 ? ? 2 cos B 2 BA.BC ? a 2 cos B ? ? 2? 即可求得. 1 ? cos B 1 ? cos B x2 y 2 【题文】17.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线右支上的任意一 a b

| PF1 |2 点,若 的最小值为 8a ,则双曲线离心率的取值范围是 | PF2 |
【知识点】双曲线的性质 基本不等式 H6 E6





【答案】 ?1,3? 【解析】解析:因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以 PF 1 ? 2a ? PF 2 ,所以

4a 2 4a 2 | PF1 |2 ? PF2 ? ? 4a ? 2 PF2 . ? 4a ? 8a ,当且仅当 PF2 ? 2a, PF1 ? 4a ,可得 PF2 PF2 | PF2 |
2a ? 4a ? 2c 解得 e ? 3 ,又因为双曲线离心率大于 1,故答案为 ?1,3? .
【思路点拨】因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以 PF 1 ? 2a ? PF 2 ,所以

4a 2 4a 2 | PF1 |2 ? PF2 ? ? 4a ? 2 PF2 . ? 4a ? 8a ,解得 PF2 ? 2a, PF1 ? 4a ,再利用 PF2 PF2 | PF2 |

PF1 、 F1F2 、 PF2 之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围.
【题文】三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】18. (本小题满分 14 分)

x x ? 2 cos ? 0. 2 2 (1)求 tan x 的值; cos 2 x
已知 sin (2)求

2 cos( ? x) sin x 4

?

的值。

【知识点】两角和差公式、二倍角公式、三角函数性质 C3 C6

4 1 ; (2) . 3 4 x x x 【解析】解析: (1)由 sin ? 2 cos ? 0. 得 tan ? 2, 2 2 2 x 2 tan 2 ? 2? 2 ? ? 4. 故 tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2
【答案】 (1) ?

(3 分)

(3 分)

7页

(2 分) 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2 (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? (cos x ? sin x) sin x cos x ? sin x ? (3 分) sin x 1 3 1 ? 1? ? 1? ? . (3 分) tan x 4 4 x 【思路点拨】由已知可得 tan ? 2, 利用二倍角公式可求得 tan x ;将已知式子分子降价升幂,分母利用两 2

(2)原式

?

cos 2 x ? sin 2 x 2(

角和的余弦展开式展开,化简即可. 【题文】19. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,角 B 为锐角,且 sin B ?

A?C ? cos 2 B 的值; 2 (2)若 b ? 2 ,求 ac 的最大值。
(1)求 sin
2

2 2 3

【知识点】二倍角 余弦定理 C6 C8 【答案】 (1) ?

? 1 ? 【解析】解析: (1) 2 2 ? ? cos B ? 3 sin B ? ? 3 ? A?C 1 ? cos( A ? C ) sin 2 ? cos 2 B ? ? 2 cos 2 B ? 1 2 2 1 1? 1 ? cos B (7 分) 3 ? 2 ? (1)2 ? 1 ? ? 1 ? ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2 2 3 9 2 2 2 a ?c ?b 1 (2)由余弦定理得 cos B ? ? 2ac 3 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac, b ? 2 代入得 3 2 a 2 ? c 2 ? ac ? 4 3 2 又? a ? c 2 ? 2ac 2 ? ac ? 4 ? 2ac 3 即 ac ? 3 (当且仅当 a =c 时取等号成立) ∴ ac 的最大值为 3。 (7 分) 1 【思路点拨】由已知可得 cos B ? ,将已知式子降幂升角再由 cos ? A ? C ? ? ? cos B 化简代入即可求值; 3 2 2 2 由余弦定理可得 a ? c ? ac ? 4 ,再利用基本不等式 a 2 ? c 2 ? 2ac 即可求得. 3
【题文】20. (本小题满分 15 分)
8页

1 ; (2)3. 9 B为锐角

已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ( t 为常数,且 t ? 0, t ? 1 ) .
2 (1)设 bn ? an ? Sn ? an ,若数列 ?bn ? 为等比数列,求 t 的值;

(2)在满足条件(1)的情形下,设 cn ? 4an ? 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式

12k ? 2n ? 7 对任意的 n ? N * 恒成立,求实数 k 的取值范围. 4 ? n ? Tn
A1 D4 【知识点】等比数列性质 数列求和 D3 【答案】解:当 n ? 1 时, S1 ? t ? S1 ? a1 ? 1? ,得 a1 ? 1 . 得, ?1 ? t ? Sn ?1 ? ?tan ?1 ? t ,②

当 n ? 2 时,由 Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ,即 ?1 ? t ? Sn ? ?tan ? t ,①

?1 ? t ? an ? ?tan ? tan ?1 ,即 an ? tan ?1 ,? a n
(1) bn ? ? t n ? ?
2

a

? t ? n ? 2? ,

??an ? 是等比数列,且公比是 t ,? an ? t n .
t ?1 ? t
n

n ?1

1? t 2 b ? ? ? b1 ? b3 , 若数列 n 为等比数列,则有 b2
2 3 4 2 而 b1 ? 2t , b2 ? t ? 2t ? 1? , b3 ? t 2t ? t ? 1 ,

? ?t

(3 分)

n

,即 bn ?

t

2n

?t

? 2t 1? t

n ?1

2 n ?1



?

?

3 2 4 2 故? ?t ? 2t ? 1? ? ? ? ? 2t ? ? t ? 2t ? t ? 1? ,解得 t ? 2

1 , 2

再将 t ? 由
b n ?1 bn

1 1 n 代入 bn ,得 bn ? ( ) , 2 2 1 ? ,知 ?bn ? 为等比数列,? t ? 1 . 2 2

(5 分)

1 1 n 1 n ,知 an ? ( ) ,? cn ? 4( ) ? 1 , 2 2 2 1? 1 ? ?1 ? n ? 4 2 2 ? ? Tn ? 4 ? ? ?n?4?n? n , 1 2 1? 2 12k 7 ? 2n ? 7 恒成立,得 3k ? 2n ? 由不等式 恒成立, n 4 ? n ? Tn 2

(2)由 t ?

2n ? 7 2n ? 5 2n ? 7 ?2n ? 9 ? ,由 d n ?1 ? d n ? n ?1 ? , 2n 2 2n 2n ?1 ? 当 n ? 4 时, d n ?1 ? d n ,当 n ? 4 时, d n ?1 ? d n , 1 3 而 d 4 ? , d5 ? ,? d 4 ? d5 , 16 32 3 1 ? 3k ? ,? k ? . 32 32 【解析】解析: ,故选择 A.

设 dn ?

(8 分)

【思路点拨】由 Sn ? t ? Sn ? an ? 1? 可得 Sn?1 ? a ? Sn ? an?1 ?1?? n ? 2? ,利用递推公式 an ? Sn ? Sn?1 可得数 列是等比数列, 根据等比数列的通项公式可求 ?an ? 的通项公式, 进而求得 bn ?

t 2 n ? t n ?1 ? 2t 2 n ?1 , 若数列 ?bn ? 1? t

4 1 1 2 ? b1 ? b3 ,求得 t ,代入 bn ,可得 bn ? ( )n ,由 an ? ( )n ,可得 Tn ? 4 ? n ? n ,由不 为等比数列,则有 b2 2 2 2 12k 7 2n ? 7 ? 2n ? 7 恒成立,得 3k ? 2n ? 等式 恒成立,只需求得 d n ? 的最大值即可. n 4 ? n ? Tn 2 2n
【题文】21. (本小题满分 15 分)
9页

在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, D? 是棱 A?C ? 的中点,且 AA? ? 2 2 . (1)试在棱 CC ? 上确定一点 M ,使 A?M ? 平面 AB?D? ; (2)当点 M 在棱 CC ? 中点时,求直线 AB? 与平面 A?BM 所成角的大小的正弦值。 【知识点】线面垂直 线面角 G5 G11

2 2 3 2 . ; (2) 2 3 【解析】解析: (1) 取 AC 边中点为 O , OB ? AC ∵ 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,∴ 连接 OD ? ,∵ D ? 是边 A?C ? 的中点 OD ? ? AC , OD ? ? OB ∴ 所以可以建立以 O 为坐标原点, OB 为 x 轴, OC 为 y 轴, OD ? 为 z 轴如图所示的坐标系 (4 分)
【答案】 (1) CM ?

A?

z

D?
C?

B?

M A O B x C y

则有 O(0,0,0) , A(0,?1,0) , B( 3 ,0,0) ,C (0,1,0) , B ?( 3 ,0,2 2 ) , A?(0,?1,2 2 ) , D ?(0,0,2 2 ) ,C ?(0,1,2 2 ) 设 M (0,1, t ) ,则 A?M ? (0, 2, t ? 2 2) , AD? ? (0,1, 2 2) , AB? ? ( 3,1, 2 2) 若 A?M ? 平面AB ?D ? ,则有 A?M ? AD ? , A?M ? AB? ∴ ? []

? A?M ? AD? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0 ? ? ? A?M ? AB? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0

可得 t ?

3 2 2

3 2 时, A?M ? 平面AB ?D ? . 2 (2) 当点 M 在棱 CC ? 中点时: M (0,1, 2 )

即当 CM ?

(4 分)

? ∴ BM ? (? 3 ,1, 2 ) , A?M ? (0,2,? 2 ) ,设平面 A?BM 的一个法向量 n ? ( x, y, z )

∴ ?

? ? BM ? n ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0 ? ? A?M ? n ? 0 ? 2 y ? 2 z ? 0

令 z ? 2 ,得 y ? 1 , x ? 3 (4 分)
2 2 3

? ∴ n ? ( 3 ,1, 2 )

设直线 AB ? 与平面 A?BM 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? n , AB? ?| ? 所以直线 AB ? 与平面 A?BM 所成角 ? 的正弦值为

【思路点拨】(1) 取 AC 边中点为 O ,建立以 O 为坐标原点, OB 为 x 轴, OC 为 y 轴, OD ? 为 z 轴坐标系, 设
M (0,1, t ) 要使 A?M ? 平面 AB?D? 则只需满足 ?

2 2 3

(3 分)

? ? A ' M . AD ' ? 0 ? ? A ' M . AB ' ? 0

即可; 求得平面 A?BM 的法向量, 直线 AB ? 与

10 页

平面 A?BM 所成角为 ? ,由线面所成角公式 sin ? ? 【题文】22. (本小题满分 14 分)

AB '.n AB ' n
可求得.

已知动圆 C 过定点 M(0,2) ,且在 x 轴上截得弦长为 4 .设该动圆圆心的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 方程; (2)点 A 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上任意一点,过 A 作曲线 C 的切线,切点分别为 P 、 Q , ?APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标. 【知识点】椭圆方程 直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】 (1) x 2 = 4 y ; (2)其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) . 【解析】解析: (1)设动圆圆心坐标为 C ( x, y ) ,根据题意得

x 2 + ( y - 2) 2 =
化简得 x 2 = 4 y .

y2 + 4 ,

(2 分) (2 分)

(2)解法一:设直线 PQ 的方程为 y = kx + b ,
2 ì ? ? x = 4 y 消去 y 得 2 x - 4kx - 4b = 0 ? ? y = kx + b ? ì ? ? x1 + x2 = 4k ,且 设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,则 í D = 16k 2 + 16b ? x x = 4 b ? ? 1 2

由í

(2 分)

以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?= 即y=

1 1 x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2

1 1 x1 x - x12 2 4

1 1 x2 x - x2 2 2 4 设两条切线的交点为 A( x A , y A ) 在直线 x - y - 2 = 0 上, ì x + x2 ? ? xA = 1 = 2k ? ? 2 Q x1 ? x2 ,解得 ? ,即 A(2k , - b) í ? x x ? yA = 1 2 = - b ? ? 4 ? ? 则: 2k + b - 2 = 0 ,即 b = 2 - 2k 代入 D = 16k 2 + 16b = 16k 2 + 32 - 32k = 16(k - 1) 2 + 16 > 0
同理过点 Q 的切线的方程为 y =

(2 分)

\ | PQ |=

1 + k 2 | x1 - x2 |= 4 1 + k 2 k 2 + b

A(2k , - b) 到直线 PQ 的距离为 d =

| 2k 2 + 2b | k2 + 1

(2 分)

3

3

= 4(k 2 - 2k + 2) 2 = 4[(k - 1) 2 + 1] 2 \ 当 k = 1 时, SD APQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) .
上,则以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?=

(4 分)

解法二:设 A( x0 , y0 ) 在直线 x - y - 2 = 0 上,点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 在抛物线 x 2 = 4 y

1 1 x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2
11 页

即y=

1 x1 x - y1 2
(2 分)

1 x2 x - y2 2 ì 1 ? ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 设两条切线的均过点 A( x0 , y0 ) ,则 í , ? 1 ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 ? ? \ 点 P, Q 的坐标均满足方程 1 1 y0 = xx0 - y ,即直线 PQ 的方程为: y = x0 x - y0 2 2 代入抛物线方程 x 2 = 4 y 消去 y 可得:
同理以点 Q 为切点的方程为 y =

(2 分)

x 2 - 2 x0 x + 4 y0 = 0

1 2 x0 - 2 y0 | 2 d = A( x0 , y0 ) 到直线 PQ 的距离为 1 2 x0 + 1 4 |

(2 分)

=

1 2 1 ( x0 - 4 x0 + 8) 2 = [( x0 - 2) 2 + 4] 2 2 2 所以当 x0 = 2 时, SD APQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) .

3

3

(4 分)

【思路点拨】设动圆圆心坐标为 C ? x, y ? ,根据题意得 x 2 + ( y - 2) 2 =

y 2 + 4 化即可得曲线 C 方程;

直线 PQ 的方程为 y = kx + b ,与抛物线联立可得 x 2 - 4kx - 4b = 0 由此利用根的判别式、韦达定理、切 线方程、点到直线的距离公式能求出 APQ 面积的最小值及此时 A 点的坐标.

12 页


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