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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第10课 基本不等式


第 10 课
24 5 28 5

基本不等式


1. (2012 浙江高考)若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5xy ,则 3x ? 4 y 的最小值是( A. B. C. 5 D. 6

【答案】C

1 3 ? ?5, y x 1 1 3 1 3x 12 y 13 ∴ (3x ? 4 y ) ? ( ? ) ? ( ? )? 5 y x 5 y x 5 1 13 ? ? 2 ? 36 ? ? 5 . 5 5 x2 ? 2 2. (2012 杭州一模)函数 y ? ) ( x ? 1) 的最小值是( x ?1 A. 2 3 ? 2 B. 2 3 ? 2 C. 2 3 D. 2 【解析】∵ x ? 1 ,∴ x ? 1 ? 0 , x2 ? 2 x2 ? 2 x ? 2 x ? 2 ? ∴y? x ?1 x ?1 2 ( x ? 1) ? 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 3 ? ? , x ?1 x ?1 3 3 ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) ? ?2 ? 2 3?2, x ?1 x ?1 3 当且仅当 x ? 1 ? ,即 x ? 1 ? 3 时,取等号. x ?1 ?x ? 1 ? 3. (2012 佛山二模)已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域为 ? ,其中 k ? 0 ,则当 ? 的面积最小 ? kx ? y ? 0 ?
【解析】∵ x ? 3 y ? 5xy ,∴ 时的 k 为 . 【答案】 1 【解析】如图,平面区域为阴影部分 ?ABC ,

?x ? 1 由? ,得 A(1, ?3) ; ?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 1 由? ,得 B(1, k ) ; ? kx ? y ? 0
由?

y x+y+2=0 O C A
, 4)

B x

?x ? y ? 2 ? 0 2 2k ,得 C (? ,? ); k ?1 k ?1 ? kx ? y ? 0

S?

1 1 2 1 4 A B( 1? Cx ) ? (? 3 ) ( 1 k ? ? ) ?k (? 1 ? 2 2 k? 1 2 k? 1
1 4 (2 (k ? 1) ? ? 4) ? 4 , 2 k ?1

x=1

∵ k ? 0 ,∴ k ? 1 ? 0 ,∴ S ? 当且仅当 k ? 1 ?

4 ,即 k ? 1 时,等号成立. k ?1
1

4. (2012 韶关一模) 对于函数 f ( x) , 在使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最大值称为 f ( x) 的“下确界” ,则函数 f ( x) ? 1 ? 4 x ? 【答案】 ?2

1 5 , x ? (??, ) 的“下确界”等于 5 ? 4x 4



5 4 1 1 ∴ f ( x) ? 1 ? 4 x ? ? 5 ? 4x ? ?4 5 ? 4x 5 ? 4x 1 ? 2 (5 ? 4 x) ? ? 4 ? ?2 ,∴“下确界”等于 ?2 . 5 ? 4x
【解析】∵ x ? (??, ) ,∴ 5 ? 4x ? 0 ,

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 5. (2012 山东济南质检)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ?
的是最大值为 12 ,求

,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0)

2 3 ? 的最小值. a b

y A
ax+by=0 x y+2=0

【解析】目标函数为 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) , 可行域如图: 如图,作直线 l : ax ? by ? 0 ,平移直线 l ,从图中可知, 当直线 l 过 A 点时,目标函数取得最大值.

?x ? 4 ?3 x ? y ? 6 ? 0 联立 ? ,解得 ? .即 A(4,6) . ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2

O
3x y 6=0

x

a b ∴ zmax ? 4a ? 6b ? 12 , ∴ ? ? 1 , 3 2 a b a b 2( ? ) 3( ? ) b a 25 2 3 2 3 b a 13 ?2 ? ? ∴ ? ? 3 2 ? 3 2 ? ? ? ? ? , a b 6 a b a b 3 2 a b 6
?b a ?a ? b 6 25 ? 当且仅当 ? ,即 a ? b ? 时,等号成立,∴ x ? y 取得最小值 . 5 6 ?a ? b ?1 ?3 2 ?

2

6. (2012 烟台质检) 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台, 每批都购入 x 台 x ( 是正整数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不 含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用 于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f ( x) ; (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 【解析】 (1)设题中比例系数为 k ,若每批购入 x 台,

36 批,每批价值为 20 x 元, x 36 由题意 f ( x) ? ? 4 ? k ? 20 x . x 16 1 由 x ? 4 , y ? 52 , 得 k ? ? . 80 5 144 ? f ( x) ? ? 4 x(0 ? x ? 36, x ? N * ) . x 144 (2)∵ f ( x) ? ? 4 x(0 ? x ? 36, x ? N * ) , x
则共需分

? f ( x) ? 2
当且仅当

144 ? 4 x ? 48 (元), x

144 ? 4x ,即 x ? 6 时,上式等号成立. x

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用.

3


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