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3.2


第三章

不等式

3.2

一元二次根的分布

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布
例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(1) 两个正根

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 3 ? m ? 0 ? ?m 0 ? m ? 1? ?x ? x ? m ? 0 ?1 2
2

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(2)有两个负根

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? m ? x1 ? x2 ? 3 ? m ? 0 ? ? m ? 9? ?x ? x ? m ? 0 ?1 2
2

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(3) 一个正根,一个负根且正根绝对值较大

?? ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 0 ? ?x ? x ? 0 ? 1 2

?m m ? 0?

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(4) 两个根都小于1

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? ? b 3? m ? ?1 ? ?? 2 ? 2a ? f (1) ? 2m ? 2 ? 0 ?
2

?m m ? 9?

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
1 (5) 两个根都大于 2 ? ? ? ? ( m ? 3) 2 ? 4m ? 0 ? b 3? m 1 ? ? ? ? ? ??m ? 2 2 ? 2a ? 1 6m ? 5 ? ?0 ? f ( 2) ? ? 4

5 ? ? m ? 1? 6 ?

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(6) 一个根大于1,一个根小于1

f(1)=2m-2 <0

?

?m m ? 1?

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(7) 两个根都在(0 , 2)内

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? 3? m ? 0? ?2 ? ? 2 ? ? f (0) ? m ? 0 ? ? f (2) ? 3m ? 2 ? 0 ?
2

? 2 ? ?m ? m ? 1? ? 3 ?

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(8) 两个根有且仅有一个在(0 , 2)内

? f(0)f(2)=m(3m-2) <0 ?m 0 ? m ? ? ?

2? ? 3?

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(9)一个根小于2,一个根大于4

? f (2) ? 3m ? 2 ? 0 ? ? ? f (4) ? 5m ? 4 ? 0

4? ? ?m m ? ? ? 5? ?

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(10)一个根在(-2 ,0)内,另一个根在(0, 4)内

? f ( ?2) ? ? m ? 10 ? 0 ? 4 ? ? ? ?m ? ? m ? 0? ? f (0) ? m ? 0 5 ? ? ? f (4) ? 5m ? 4 ? 0 ?

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(11) 一个根在(-2 ,0)内,另一个根在(1 , 3)内

? f (?2) ? ? m ? 10 ? 0 ? f (0) ? m ? 0 ? ? m ?? ? ? f (1) ? 2m ? 2 ? 0 ? f (3) ? 4m ? 0 ?

课堂小结
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布
两个正根 两个负根 一正根 一负根
? ?? ? 0 ? b ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 ? a ? c ? x1x 2 ? ? 0 ? a ?

一根 一正一负,且 为零 负的绝对值大
? ?? ? 0 ? b ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 ? a ? c ? x1x 2 ? ? 0 ? a ?

? ?? ? 0 ? b ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 ? a ? c ? x1x 2 ? ? 0 ? a ?

?? ? 0 ? ? c x 1 x 2 ? ? 0 C=0 ? a ?

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布
两个根都小于k 两个根都大于k
y y 一个根小于k,一个根 大于k y

k
o

k

x

k o

x

o

x

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f (k ) ? 0 ?

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f (k ) ? 0 ?

f(k)<0

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布
两个根都在(k1 内 y

, k2 )

两个根有且仅有一个 在(k1 y

, k2 )内
k2
x

x1<k1 < k2 <x2 y o k1 k2 x

k1 o

k2

x

k1 o

?? ? 0 ? b ?k1 ? ? ? k2 ? 2a ? ? f (k1 ) ? 0 ? ? f (k 2 ) ? 0 ?

f (k1 ) f (k2 ) ? 0 ? f (k1 ) ? 0 或? ? f ( k2 ) ? 0 ? f ( k2 ) ? 0 或? ? f (k1 ) ? 0

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f (k 2 ) ? 0

练习

4.已知集合A={x|x2-7x+10≤0}, B={x|x2-(2-m)x+5-m≤0}, 且B ? A,求实数m的取值范围.

练习作业

1、已知曲线 (a>0)与连接 A(-1,1),B(2,3)的线段AB没有交点, 求实数a的取值范围。

2、若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实数根, 求实数a的取值范围。
3、关于x的方程x2+ax+2=0至少有一个小于 -1的根,求实数a的取值范围。

作业
1、方程5x2-ax-1=0(a∈R)的一个根在区间(-1,0) 上,另一个在区间(1,2)上 ,求a的取值范围。 2、已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x的交点 至少有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围。
3.已知集合A={x|x2-7x+10≤0}, B={x|x2-(2-m)x+5-m≤0}, 且B ? A,求实数m的取值范围.


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