一道2012年全国联赛试题的源流

上海 中学数 学 ? ２ ０ １ ３年 第 １ —２期　

一

道２ ０ １ ２年 全 国联 赛试 题 的 源流　
３ １ ２ ４ ０ ０ 　 浙 江省 嵊 州 中 学　 叶 国芳　

原题

（ ２ ０ １ ２年 全 国高 中数 学 联 赛 第 ８题 ） 　

该Ｉ

司越 还 司用 以 Ｆ方 法 解 决 ． 　

某情报站有 Ａ， Ｂ， Ｃ ， Ｄ 四种互不相同的密码 ， 每 　
周使 用其 中 的一种 密 码 ， 且 每 周 都是 从 上 周 未使　 用 的三种 密码 中等 可 能 地 随机 选 用 一 种． 设第 １ 　

解法二： 用ａ 　 表 示 经　 次传 球 仍 回到 Ａ 手　 中 的传 球数 ． 　
于是有 ｎ ” 一 　 ＋ｎ 　 一３ 　 （ ７ ２ ≥２ ） ， 即　
一

周使 用 Ａ 种密 码 ， 那 么第 ７周也 使用 Ａ 种 密码 的　 概 率是　 ． （ 用最 简分 数表示 ） 　
该 问题 与 以下 问题类 同 ： 　

一　

（ 一１ ） 　× ３ —１ ， 同 理 有　

一　

（ 类比 １ ） 用１ ， ２ ， ３ ， ４四个数 字 组成 一个 七 位　
整数 ， 且 相邻 的 两 个 数 字 不 相 同． 则 首 位 和 末 位　 排 １的概率 是
．
— —

＿（ ＿ １ ） ， 　 Ｘ３ ｌ 一。 ． 　

（ 用 最 简分数 表示 ） 　
（ １ 　 ２ 　 一１ 　 １ 　 一（ 一１ ） 。 ×３ 　 ， 又 ｎ １ —０ ， 把 ） 　 （ ） 　 一 　 ’ 　 ¨　
一 　 一

（ 类比 ２ ） 给 如 图 的七 个 方 格 涂 红 ， 黄， 蓝， 绿　
四种颜 色 ， 每个方格涂一种颜色 ， 且 相 邻 的 两 个　

方 格涂 不 同颜 色 ， 则第 １ ， ７两格 涂 红 色 的概 率 是　
．

上述 　 一 １个 式 子 相 加 得 　
——Ｔ　 一 ， 　 ａ ｎ 一 一— 　 —　厂一
， ｅ
＊

一 　
，故　。 ，政　ｓ 一 　

（ 用 最简 分数 表示 ） 　

＊

上述三 个 问题 的本 质 是著 名 的 传球 问题 ： 求　

３ ＋３
．．．．．．．．．．．．．．．．．— — 　

６

Ｔ ３ ６ ＋３ 　
．

四人 互相传 球 ， 从 Ａ 手 中传 出经 ６次 传送 仍 回到　
Ａ 手 中 的概 率． 　

６ ｐ　 ａ

＿

丁４ 一 　

一　
． 　

３。

当传球 次数变 为　 次时 ， 该 问题 的一 般 性 结　
论为 ： 　

解法 一 ：用 Ｐ 　表示第 ｋ周用 Ａ 种 密 码本 的　

概率 ， 则 第 ｋ周 未 用 Ａ 种 密 码 本 的 概 率 为 １ 一　 Ｐ 　 ． 于是 ， 有Ｐ 　 ＋ 　 一÷ （ １ 一Ｐ 　 ） ， 是 ∈Ｎ 　， 即Ｐ 　 ＋ 。 一　

四人 互 相 传 球 ， 由甲 开 始 传球 ， 并 作 为 第 一　 次传 球 ， 经 过　 次 传 球 后 ，球 仍 传 回到 甲手 中 的　

｛ 一 一 专 （ Ｐ 　 一 　 １ ） ， 由 Ｐ 　 一 １ 知 ， ， ｛ Ｐ ｋ － ｛ ｝ 是 　
首项为÷， 公比为一÷的等比数列． 　
所 以 Ｐ 　一 　１ ＝ ＝ ＝ 　
４ 　

概率是 Ｐ 一 　±　
．　

当传 球 次数 变 为　 次 ， 人 数 也 变成 ｍ 人 时 ， 　
得该 问题 的更一 般性 结论 为 ： 　 人互相传球， 由 甲开 始 传 球 ， 并作 为 第 一　

ｆ 一 寺 ）， 即Ｐ 　 一 　 ４ 　

次 传球 ， 经过　 次传 球 后 ， 球 仍 传 回到 甲手 中 的　 概 率是 Ｐ一　
‘ Ｌ 　 一 ｊ 　

（ 一 号 ） 卜 　 ＋ 如殳 Ｐ ７ 一 　． 　
２ ．纠错 纠错还 是 纠错— ? 错题本 是载体　

． 　

要 一个 字一个 字 理解 并 根据 情 境 加 以记 忆 ， 要 准　 确掌握 基本 概念 的 内涵 外 延． 只有 思 维钻 进 去 才　

不纠 错 一巩 固错 误 ． 改 正 一 个 小 错误 ， 成 就　
一

个 大成 功 ， 巩 固一个知识 点 ， 激 活一个知识 网络 ． 　 ３ ．回归 书本—— 基 本概 念是 根本　 笔者参 加 了 ２ ０ １ ０年 浙 江 高 考 理 科 数 学 阅　

能 了解 内涵 ， 思 维 要 发 散 才 能 了解 外 延． 只 有 概　 念过 关 ， 做题才能又快又准． 当 然 后 阶 段 要 注 重　 通性 通法 ， 注重解 题 规 范 ， 独立 解 题 等训 练 ， 注 重　
平面 几何小 、 活、 巧 的结论运 用 ． 　

卷， 从高 考 阅卷 中 发 现 考 生存 在 以 下 问题 ： 概 念　
不清； 推理过程混乱 ， 不规范 ； 计算能力较差 ； 平　 面几何 知识较 薄 弱等 ； 所 以 在后 阶段 做好 回归 书　 本与反 思． 因为 基 本 概 念 深 人 考 ， 所 以 基 本 概 念　

最后 ， 学生在考场上一定做 到： 稳拿 中、 低， 　 见机 攀高 ； 审题要慢 ， 解题要快 ， 一旦思路形成 ， 　
尽 量快 速完成 ． 　

上海 中学 数学 ? ２ ０ １ ３年 第 １ —２期　

解 题 教 学 中教 “ 想’ ’ 法 比“ 解’ ’ 法 更 重 要　
２ ３ ６ ４ ０ ０ 　 安 徽 省 临泉 县 第 一 中学　 王　 峰　
为 了突 出“ 向量” 的 工 具性 的作 用 ， 同时 也 为　 了加 强 知识 间 的纵 横联 系 ， 新 课 程 标 准 课 程 是用　 析 问题 的 “ 元认 知” ， 学 生 悟 不 出 解 题 思 路 的 成　

因， 产 生不 出解 题 欲 望 ． 但 是 教 师 如 果 将 解 法 的　 成 因作 一 剖 析 ， 学 生 就 知道 了 怎 么 回事 ， 但 很 多　 教 师 由于没 有细 心 揣摩 过 解 法 的来 由 ， 一 时 也 难　
以说 清楚 ， 一 旦学 生 问 到“ 老师， 你 是 怎 么 想 到 这　 样解 法 的” 之类 的话 题 ， 教师“ 心 虚” ， 没 有 心 理 准　 备， 就敷 衍 了 事 地 搪 塞 学 生 了事 ， 结 果 学 生 仍 然　 不知 所 云 ， 只好 闷在 心里 ， 觉得 教 师 讲 得 不 到位 ， 　 没有 真正 发挥 教师 的 主导作 用． 　
说实在的， 就 教 材 的 上述 解 法 过 程 ， 就 是 教　

“ 向量法 ” 证 明余 弦定 理． 北 师 大版 必 修 ５关 于余　 弦定 理 的推 导 如 下 ： 如图 １ ， 根 据 向量 的数 量 积 ， 　
可 以得 到 口 。 一　
一 　

? 　

一（ 　
ｚ 一 ２ 　
Ｃ　

）．（ 　
?　

一　

） 一　

＋　 。 ＝ａ － － ￣ ２ —２ ｛ 　 Ｉ 　
ｌ 　 ｃ ｏ ｓ Ａ ＋　 ２一 ｂ ２一　

．

ｆ 　

２ ｂ ｃ ｃ ｏ ｓ Ａ＋ ｃ 　 ， 即 口 　： ｂ 　 ＋ｃ 　一　
２ 丙 ｃ Ｃ Ｏｓ Ａ． 　

上述 证 法 ， 简 洁 而 明快 ． 学 生 在 教 师 的 思 路　

师不 讲 ， 学 生也 能 看得 懂 ， 可是 教 师 却 大讲 特 讲 ， 　 真正 学生 需 要 的解 法 成 因 却 一 字 不 提 ， 真是 “ 该　

引导 下 ， 也 听得 明 明 白 白 ， 但 善于思考 的学生 自 　
然 会 心存 疑虑 ， 会提 出一下 两 个 问题 ： （ １ ） 从 口 　 一　 Ｂ 　? Ｂ 　切 人是 如何 想 到 的？ （ ２ ） 一般 来 说 ， 在 证　

讲 的不讲 ， 不该 讲 的讲 ” ， 这 样 的教 师 教 学 理所 当　
然 是 不会 受 学 生 欢 迎 的 ， 教 学 效 果 可 想 而 知 了． 　 事实上， 每一种解 法都不是空穴来风 ， 仔 细 分 析　

明恒等 式 时 ， 一 般 都 是从 较 复 杂 式 子 人 手 ， 而 此　 解 法从 较简 单 式子 人 手 的 ， 能 否从 较 复 杂 式 子 人　
手 ？如 果教 师对 这 两个 问题 搞 不 清 楚 ， 只会 照 本　

起来， 都有 其 产 生 的 缘 由． 例 如， 对 于上 述 解 法 ， 　 教 师 可做 如 下 分 析 ： 前 面 刚 学 过 平 面 向量 ， 大 家　
知道 ， 学 习平 面 向量 的 意 义 就 是 用 它 来 解 决 问　

宣科 ， 学 生 只能 知其 然 ， 而不 知 所 以然 ， 学 生 就 没　
有 真正 弄 明 白此 解 法 如 何“ 想” 到的 ， 只能 处 于懵　 懂状 态 ， 这样 一来 以后 欲 利 用“ 向量 ” 工 具 处 理非　 向量 问题 就 会不 知 所措 ． 这 一现 象 说 明教 师 在 教　

题， 这个 等式 能 否用 向量 法 证 明？ 有 的学 生 可 能　 会说 ， 这 个 题 目条 件 中却 没 有 向 量 ， 怎 么用 向 量　
法 处理 ？这 个学 生说 得 好 ， 没 有 向量 怎 么利 用 向 　

学 中只介 绍 “ 解法” 而不讲“ 想法” 的教 学 意义 不　 大学 生“ 懂而 不会 ” 的 现 象普 遍 发 生 ， 很 大 程度 上　 与教 师 的这 种 教 学 不 深 人 有 关 ． 这 出 现 这 种 现　
象， 一 些教 师 往 往 将 责 任 归 结 为 是 学 生 造 成 的 ， 　

量 工具 解答 ， 此时 ， 教师引导学生思考 ： “ 能 否 将　
三 角形 的边 向量 化 ？ ” 学 生 立 刻 就会 想 到 Ｉ 　 ｎ 　 Ｉ 。 一　
口。

说得好， 此结论正是“ 向量 ” 与 长度 “ 数量” 互　 相转 化 的桥梁 ， 作 用非 凡 ， 至此 ， 教 师 在 介 绍 上述　
，

上课 讲得 清 清 楚 楚 ， 怎 么 还 不 会 呢 ？事 实 上 ， 教　 师果 真讲 清楚 了吗 ？仅 就 例题 教 学 而言 ， 如 果 不　
能很 好地 发挥 例题 的榜 样 及 培养 能 力 的功 能 ， 很　 多 教 师 只注 意娴熟 地 解 题 ， 没 有 充 分暴 露 自己分　

解答 过程 ， 就 显 得 自然 而 清 楚 ． 当 学 生 有 了 由数　 量 向 向量 转化 的“ 想法” 和“ 途径 ” 之后 ， 由ｂ 　 ＋ｃ 　
一

２ ￣ｃ ｏ ｓ Ａ 出发进 行 推证 ， 也 水 到渠 成 ， 即ｂ 。 ＋Ｃ 　

一

２ ６ ㈣ｓ Ａ—Ｉ 　 『 ｚ ＋Ｉ 　 Ｉ 　 ｚ 一２ 　 ｌ Ｉ 田

Ｉ 　 ｃ ｏ ｓ Ａ 　

把该问题进一步引 申， 得另外 的一般性结论　
为： 　

的传 球 数 为 （ 　 一１ ） 　 ． 因 而传 到 甲 以外 的另 一 人　

手 中 的 传 球 数 为　
—— ———　■— 一

一　 １ 　 ［ （ 　 一 １ ） ”一　
Ｊ ： ＝ — —■　 ～
（ ｍ－１ ） 　一 （ 一１ ） 　

ｍ人互相 传球， 由 甲 开始 传 球 ， 并 作 为第 一　 次 传球 ， 经 过　 次 传 球 后 ， 球 传 回到 甲 以 外 的 另　
一

（ ｍ－ １ ） ” ＋（ 一１ ） 　 ?（ ｍ－ １ ） 　

? 　

人 手 中 的 概 率 是 Ｐ ＝ 　 艺 ｉ 与 　
简 析 ：由前 面 的解 法 二 知 ， 传 到 甲手 中 的 传　

故 球传 到 甲 以外 的 另 一 人 手 中 的 概 率 是 Ｐ 　
ｂ 　 （ 　 一１ ） ” 　 （ 　 一１ ） 　一 （ 一１ ） ” 　 ｍ ?（ 　一１ ） 　

球数为 ｎ 　 一 　

± 　二 　

，

由于 总