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一道2012年全国联赛试题的源流


上海 中学数 学 ? 2 0 1 3年 第 1 —2期 



道2 0 1 2年 全 国联 赛试 题 的 源流 
3 1 2 4 0 0   浙 江省 嵊 州 中 学  叶 国芳 

原题

( 2 0 1 2年 全 国高 中数 学 联 赛 第 8题 )  

该I

司越 还 司用 以 F方 法 解 决 .  

某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码 , 每  
周使 用其 中 的一种 密 码 , 且 每 周 都是 从 上 周 未使  用 的三种 密码 中等 可 能 地 随机 选 用 一 种. 设第 1  

解法二: 用a   表 示 经  次传 球 仍 回到 A 手  中 的传 球数 .  
于是有 n ” 一   +n   一3   ( 7 2 ≥2 ) , 即 


周使 用 A 种密 码 , 那 么第 7周也 使用 A 种 密码 的  概 率是  . ( 用最 简分 数表示 )  
该 问题 与 以下 问题类 同 :  

一 

( 一1 )  × 3 —1 , 同 理 有 

一 

( 类比 1 ) 用1 , 2 , 3 , 4四个数 字 组成 一个 七 位 
整数 , 且 相邻 的 两 个 数 字 不 相 同. 则 首 位 和 末 位  排 1的概率 是

— —

_( _ 1 ) ,   X3 l 一。 .  

( 用 最 简分数 表示 )  
( 1   2   一1   1   一( 一1 ) 。 ×3   , 又 n 1 —0 , 把 )   ( )   一   ’   ¨ 
一   一

( 类比 2 ) 给 如 图 的七 个 方 格 涂 红 , 黄, 蓝, 绿 
四种颜 色 , 每个方格涂一种颜色 , 且 相 邻 的 两 个 

方 格涂 不 同颜 色 , 则第 1 , 7两格 涂 红 色 的概 率 是 


上述   一 1个 式 子 相 加 得  
——T  一 ,   a n 一 一—   — 厂一
, e


一  
,故 。 ,政 s 一  

( 用 最简 分数 表示 )  



上述三 个 问题 的本 质 是著 名 的 传球 问题 : 求 

3 +3
.................— —  



T 3 6 +3  


四人 互相传 球 , 从 A 手 中传 出经 6次 传送 仍 回到 
A 手 中 的概 率.  

6 p  a

_

丁4 一  

一 
.  

3。

当传球 次数变 为  次时 , 该 问题 的一 般 性 结 
论为 :  

解法 一 :用 P  表示第 k周用 A 种 密 码本 的 

概率 , 则 第 k周 未 用 A 种 密 码 本 的 概 率 为 1 一  P   . 于是 , 有P   +   一÷ ( 1 一P   ) , 是 ∈N  , 即P   + 。 一 

四人 互 相 传 球 , 由甲 开 始 传球 , 并 作 为 第 一  次传 球 , 经 过  次 传 球 后 ,球 仍 传 回到 甲手 中 的 

{ 一 一 专 ( P   一   1 ) , 由 P   一 1 知 , , { P k - { } 是  
首项为÷, 公比为一÷的等比数列.  
所 以 P  一  1 = = =  
4  

概率是 P 一  ± 
. 

当传 球 次数 变 为  次 , 人 数 也 变成 m 人 时 ,  
得该 问题 的更一 般性 结论 为 :   人互相传球, 由 甲开 始 传 球 , 并作 为 第 一 

f 一 寺 ), 即P   一   4  

次 传球 , 经过  次传 球 后 , 球 仍 传 回到 甲手 中 的  概 率是 P一 
‘ L   一 j  

( 一 号 ) 卜   + 如殳 P 7 一  .  
2 .纠错 纠错还 是 纠错— ? 错题本 是载体 

.  

要 一个 字一个 字 理解 并 根据 情 境 加 以记 忆 , 要 准  确掌握 基本 概念 的 内涵 外 延. 只有 思 维钻 进 去 才 

不纠 错 一巩 固错 误 . 改 正 一 个 小 错误 , 成 就 


个 大成 功 , 巩 固一个知识 点 , 激 活一个知识 网络 .   3 .回归 书本—— 基 本概 念是 根本  笔者参 加 了 2 0 1 0年 浙 江 高 考 理 科 数 学 阅 

能 了解 内涵 , 思 维 要 发 散 才 能 了解 外 延. 只 有 概  念过 关 , 做题才能又快又准. 当 然 后 阶 段 要 注 重  通性 通法 , 注重解 题 规 范 , 独立 解 题 等训 练 , 注 重 
平面 几何小 、 活、 巧 的结论运 用 .  

卷, 从高 考 阅卷 中 发 现 考 生存 在 以 下 问题 : 概 念 
不清; 推理过程混乱 , 不规范 ; 计算能力较差 ; 平  面几何 知识较 薄 弱等 ; 所 以 在后 阶段 做好 回归 书  本与反 思. 因为 基 本 概 念 深 人 考 , 所 以 基 本 概 念 

最后 , 学生在考场上一定做 到: 稳拿 中、 低,   见机 攀高 ; 审题要慢 , 解题要快 , 一旦思路形成 ,  
尽 量快 速完成 .  

上海 中学 数学 ? 2 0 1 3年 第 1 —2期 

解 题 教 学 中教 “ 想’ ’ 法 比“ 解’ ’ 法 更 重 要 
2 3 6 4 0 0   安 徽 省 临泉 县 第 一 中学  王  峰 
为 了突 出“ 向量” 的 工 具性 的作 用 , 同时 也 为  了加 强 知识 间 的纵 横联 系 , 新 课 程 标 准 课 程 是用  析 问题 的 “ 元认 知” , 学 生 悟 不 出 解 题 思 路 的 成 

因, 产 生不 出解 题 欲 望 . 但 是 教 师 如 果 将 解 法 的  成 因作 一 剖 析 , 学 生 就 知道 了 怎 么 回事 , 但 很 多  教 师 由于没 有细 心 揣摩 过 解 法 的来 由 , 一 时 也 难 
以说 清楚 , 一 旦学 生 问 到“ 老师, 你 是 怎 么 想 到 这  样解 法 的” 之类 的话 题 , 教师“ 心 虚” , 没 有 心 理 准  备, 就敷 衍 了 事 地 搪 塞 学 生 了事 , 结 果 学 生 仍 然  不知 所 云 , 只好 闷在 心里 , 觉得 教 师 讲 得 不 到位 ,   没有 真正 发挥 教师 的 主导作 用.  
说实在的, 就 教 材 的 上述 解 法 过 程 , 就 是 教 

“ 向量法 ” 证 明余 弦定 理. 北 师 大版 必 修 5关 于余  弦定 理 的推 导 如 下 : 如图 1 , 根 据 向量 的数 量 积 ,  
可 以得 到 口 。 一 
一  

?  

一(  
z 一 2  
C 

).(  
? 

一 

) 一 

+  。 =a - -  ̄ 2 —2 {   I  
l   c o s A +  2一 b 2一 



f  

2 b c c o s A+ c   , 即 口  : b   +c  一 
2 丙 c C Os A.  

上述 证 法 , 简 洁 而 明快 . 学 生 在 教 师 的 思 路 

师不 讲 , 学 生也 能 看得 懂 , 可是 教 师 却 大讲 特 讲 ,   真正 学生 需 要 的解 法 成 因 却 一 字 不 提 , 真是 “ 该 

引导 下 , 也 听得 明 明 白 白 , 但 善于思考 的学生 自  
然 会 心存 疑虑 , 会提 出一下 两 个 问题 : ( 1 ) 从 口   一  B  ? B  切 人是 如何 想 到 的? ( 2 ) 一般 来 说 , 在 证 

讲 的不讲 , 不该 讲 的讲 ” , 这 样 的教 师 教 学 理所 当 
然 是 不会 受 学 生 欢 迎 的 , 教 学 效 果 可 想 而 知 了.   事实上, 每一种解 法都不是空穴来风 , 仔 细 分 析 

明恒等 式 时 , 一 般 都 是从 较 复 杂 式 子 人 手 , 而 此  解 法从 较简 单 式子 人 手 的 , 能 否从 较 复 杂 式 子 人 
手 ?如 果教 师对 这 两个 问题 搞 不 清 楚 , 只会 照 本 

起来, 都有 其 产 生 的 缘 由. 例 如, 对 于上 述 解 法 ,   教 师 可做 如 下 分 析 : 前 面 刚 学 过 平 面 向量 , 大 家 
知道 , 学 习平 面 向量 的 意 义 就 是 用 它 来 解 决 问 

宣科 , 学 生 只能 知其 然 , 而不 知 所 以然 , 学 生 就 没 
有 真正 弄 明 白此 解 法 如 何“ 想” 到的 , 只能 处 于懵  懂状 态 , 这样 一来 以后 欲 利 用“ 向量 ” 工 具 处 理非  向量 问题 就 会不 知 所措 . 这 一现 象 说 明教 师 在 教 

题, 这个 等式 能 否用 向量 法 证 明? 有 的学 生 可 能  会说 , 这 个 题 目条 件 中却 没 有 向 量 , 怎 么用 向 量 
法 处理 ?这 个学 生说 得 好 , 没 有 向量 怎 么利 用 向  

学 中只介 绍 “ 解法” 而不讲“ 想法” 的教 学 意义 不  大学 生“ 懂而 不会 ” 的 现 象普 遍 发 生 , 很 大 程度 上  与教 师 的这 种 教 学 不 深 人 有 关 . 这 出 现 这 种 现 
象, 一 些教 师 往 往 将 责 任 归 结 为 是 学 生 造 成 的 ,  

量 工具 解答 , 此时 , 教师引导学生思考 : “ 能 否 将 
三 角形 的边 向量 化 ? ” 学 生 立 刻 就会 想 到 I   n   I 。 一 
口。

说得好, 此结论正是“ 向量 ” 与 长度 “ 数量” 互  相转 化 的桥梁 , 作 用非 凡 , 至此 , 教 师 在 介 绍 上述 


上课 讲得 清 清 楚 楚 , 怎 么 还 不 会 呢 ?事 实 上 , 教  师果 真讲 清楚 了吗 ?仅 就 例题 教 学 而言 , 如 果 不 
能很 好地 发挥 例题 的榜 样 及 培养 能 力 的功 能 , 很  多 教 师 只注 意娴熟 地 解 题 , 没 有 充 分暴 露 自己分 

解答 过程 , 就 显 得 自然 而 清 楚 . 当 学 生 有 了 由数  量 向 向量 转化 的“ 想法” 和“ 途径 ” 之后 , 由b   +c  


2  ̄c o s A 出发进 行 推证 , 也 水 到渠 成 , 即b 。 +C  



2 6 ㈣s A—I   『 z +I   I   z 一2   l I 田

I   c o s A  

把该问题进一步引 申, 得另外 的一般性结论 
为:  

的传 球 数 为 (   一1 )   . 因 而传 到 甲 以外 的另 一 人 

手 中 的 传 球 数 为 
—— ——— ■— 一

一  1   [ (   一 1 ) ”一 
J : = — —■  ~
( m-1 )  一 ( 一1 )  

m人互相 传球, 由 甲 开始 传 球 , 并 作 为第 一  次 传球 , 经 过  次 传 球 后 , 球 传 回到 甲 以 外 的 另 


( m- 1 ) ” +( 一1 )   ?( m- 1 )  

?  

人 手 中 的 概 率 是 P =   艺 i 与  
简 析 :由前 面 的解 法 二 知 , 传 到 甲手 中 的 传 

故 球传 到 甲 以外 的 另 一 人 手 中 的 概 率 是 P  
b   (   一1 ) ”   (   一1 )  一 ( 一1 ) ”   m ?(  一1 )  

球数为 n   一  

±  二  



由于 总 


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