上海 中学数 学 ? 2 0 1 3年 第 1 —2期
一
道2 0 1 2年 全 国联 赛试 题 的 源流
3 1 2 4 0 0 浙 江省 嵊 州 中 学 叶 国芳
原题
( 2 0 1 2年 全 国高 中数 学 联 赛 第 8题 )
该I 司越 还 司用 以 F方 法 解 决 .
某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码 , 每
周使 用其 中 的一种 密 码 , 且 每 周 都是 从 上 周 未使 用 的三种 密码 中等 可 能 地 随机 选 用 一 种. 设第 1
解法二: 用a 表 示 经 次传 球 仍 回到 A 手 中 的传 球数 .
于是有 n ” 一 +n 一3 ( 7 2 ≥2 ) , 即
一
周使 用 A 种密 码 , 那 么第 7周也 使用 A 种 密码 的 概 率是 . ( 用最 简分 数表示 )
该 问题 与 以下 问题类 同 :
一
( 一1 ) × 3 —1 , 同 理 有
一
( 类比 1 ) 用1 , 2 , 3 , 4四个数 字 组成 一个 七 位
整数 , 且 相邻 的 两 个 数 字 不 相 同. 则 首 位 和 末 位 排 1的概率 是
.
— —
_( _ 1 ) , X3 l 一。 .
( 用 最 简分数 表示 )
( 1 2 一1 1 一( 一1 ) 。 ×3 , 又 n 1 —0 , 把 ) ( ) 一 ’ ¨
一 一
( 类比 2 ) 给 如 图 的七 个 方 格 涂 红 , 黄, 蓝, 绿
四种颜 色 , 每个方格涂一种颜色 , 且 相 邻 的 两 个
方 格涂 不 同颜 色 , 则第 1 , 7两格 涂 红 色 的概 率 是
.
上述 一 1个 式 子 相 加 得
——T 一 , a n 一 一— — 厂一
, e
*
一
,故 。 ,政 s 一
( 用 最简 分数 表示 )
*
上述三 个 问题 的本 质 是著 名 的 传球 问题 : 求
3 +3
.................— —
6
T 3 6 +3
.
四人 互相传 球 , 从 A 手 中传 出经 6次 传送 仍 回到
A 手 中 的概 率.
6 p a
_
丁4 一
一
.
3。
当传球 次数变 为 次时 , 该 问题 的一 般 性 结
论为 :
解法 一 :用 P 表示第 k周用 A 种 密 码本 的
概率 , 则 第 k周 未 用 A 种 密 码 本 的 概 率 为 1 一 P . 于是 , 有P + 一÷ ( 1 一P ) , 是 ∈N , 即P + 。 一
四人 互 相 传 球 , 由甲 开 始 传球 , 并 作 为 第 一 次传 球 , 经 过 次 传 球 后 ,球 仍 传 回到 甲手 中 的
{ 一 一 专 ( P 一 1 ) , 由 P 一 1 知 , , { P k - { } 是
首项为÷, 公比为一÷的等比数列.
所 以 P 一 1 = = =
4
概率是 P 一 ±
.
当传 球 次数 变 为 次 , 人 数 也 变成 m 人 时 ,
得该 问题 的更一 般性 结论 为 : 人互相传球, 由 甲开 始 传 球 , 并作 为 第 一
f 一 寺 ), 即P 一 4
次 传球 , 经过 次传 球 后 , 球 仍 传 回到 甲手 中 的 概 率是 P一
‘ L 一 j
( 一 号 ) 卜 + 如殳 P 7 一 .
2 .纠错 纠错还 是 纠错— ? 错题本 是载体
.
要 一个 字一个 字 理解 并 根据 情 境 加 以记 忆 , 要 准 确掌握 基本 概念 的 内涵 外 延. 只有 思 维钻 进 去 才
不纠 错 一巩 固错 误 . 改 正 一 个 小 错误 , 成 就
一
个 大成 功 , 巩 固一个知识 点 , 激 活一个知识 网络 . 3 .回归 书本—— 基 本概 念是 根本 笔者参 加 了 2 0 1 0年 浙 江 高 考 理 科 数 学 阅
能 了解 内涵 , 思 维 要 发 散 才 能 了解 外 延. 只 有 概 念过 关 , 做题才能又快又准. 当 然 后 阶 段 要 注 重 通性 通法 , 注重解 题 规 范 , 独立 解 题 等训 练 , 注 重
平面 几何小 、 活、 巧 的结论运 用 .
卷, 从高 考 阅卷 中 发 现 考 生存 在 以 下 问题 : 概 念
不清; 推理过程混乱 , 不规范 ; 计算能力较差 ; 平 面几何 知识较 薄 弱等 ; 所 以 在后 阶段 做好 回归 书 本与反 思. 因为 基 本 概 念 深 人 考 , 所 以 基 本 概 念
最后 , 学生在考场上一定做 到: 稳拿 中、 低, 见机 攀高 ; 审题要慢 , 解题要快 , 一旦思路形成 ,
尽 量快 速完成 .
上海 中学 数学 ? 2 0 1 3年 第 1 —2期
解 题 教 学 中教 “ 想’ ’ 法 比“ 解’ ’ 法 更 重 要
2 3 6 4 0 0 安 徽 省 临泉 县 第 一 中学 王 峰
为 了突 出“ 向量” 的 工 具性 的作 用 , 同时 也 为 了加 强 知识 间 的纵 横联 系 , 新 课 程 标 准 课 程 是用 析 问题 的 “ 元认 知” , 学 生 悟 不 出 解 题 思 路 的 成
因, 产 生不 出解 题 欲 望 . 但 是 教 师 如 果 将 解 法 的 成 因作 一 剖 析 , 学 生 就 知道 了 怎 么 回事 , 但 很 多 教 师 由于没 有细 心 揣摩 过 解 法 的来 由 , 一 时 也 难
以说 清楚 , 一 旦学 生 问 到“ 老师, 你 是 怎 么 想 到 这 样解 法 的” 之类 的话 题 , 教师“ 心 虚” , 没 有 心 理 准 备, 就敷 衍 了 事 地 搪 塞 学 生 了事 , 结 果 学 生 仍 然 不知 所 云 , 只好 闷在 心里 , 觉得 教 师 讲 得 不 到位 , 没有 真正 发挥 教师 的 主导作 用.
说实在的, 就 教 材 的 上述 解 法 过 程 , 就 是 教
“ 向量法 ” 证 明余 弦定 理. 北 师 大版 必 修 5关 于余 弦定 理 的推 导 如 下 : 如图 1 , 根 据 向量 的数 量 积 ,
可 以得 到 口 。 一
一
?
一(
z 一 2
C
).(
?
一
) 一
+ 。 =a - -  ̄ 2 —2 { I
l c o s A + 2一 b 2一
.
f
2 b c c o s A+ c , 即 口 : b +c 一
2 丙 c C Os A.
上述 证 法 , 简 洁 而 明快 . 学 生 在 教 师 的 思 路
师不 讲 , 学 生也 能 看得 懂 , 可是 教 师 却 大讲 特 讲 , 真正 学生 需 要 的解 法 成 因 却 一 字 不 提 , 真是 “ 该
引导 下 , 也 听得 明 明 白 白 , 但 善于思考 的学生 自
然 会 心存 疑虑 , 会提 出一下 两 个 问题 : ( 1 ) 从 口 一 B ? B 切 人是 如何 想 到 的? ( 2 ) 一般 来 说 , 在 证
讲 的不讲 , 不该 讲 的讲 ” , 这 样 的教 师 教 学 理所 当
然 是 不会 受 学 生 欢 迎 的 , 教 学 效 果 可 想 而 知 了. 事实上, 每一种解 法都不是空穴来风 , 仔 细 分 析
明恒等 式 时 , 一 般 都 是从 较 复 杂 式 子 人 手 , 而 此 解 法从 较简 单 式子 人 手 的 , 能 否从 较 复 杂 式 子 人
手 ?如 果教 师对 这 两个 问题 搞 不 清 楚 , 只会 照 本
起来, 都有 其 产 生 的 缘 由. 例 如, 对 于上 述 解 法 , 教 师 可做 如 下 分 析 : 前 面 刚 学 过 平 面 向量 , 大 家
知道 , 学 习平 面 向量 的 意 义 就 是 用 它 来 解 决 问
宣科 , 学 生 只能 知其 然 , 而不 知 所 以然 , 学 生 就 没
有 真正 弄 明 白此 解 法 如 何“ 想” 到的 , 只能 处 于懵 懂状 态 , 这样 一来 以后 欲 利 用“ 向量 ” 工 具 处 理非 向量 问题 就 会不 知 所措 . 这 一现 象 说 明教 师 在 教
题, 这个 等式 能 否用 向量 法 证 明? 有 的学 生 可 能 会说 , 这 个 题 目条 件 中却 没 有 向 量 , 怎 么用 向 量
法 处理 ?这 个学 生说 得 好 , 没 有 向量 怎 么利 用 向
学 中只介 绍 “ 解法” 而不讲“ 想法” 的教 学 意义 不 大学 生“ 懂而 不会 ” 的 现 象普 遍 发 生 , 很 大 程度 上 与教 师 的这 种 教 学 不 深 人 有 关 . 这 出 现 这 种 现
象, 一 些教 师 往 往 将 责 任 归 结 为 是 学 生 造 成 的 ,
量 工具 解答 , 此时 , 教师引导学生思考 : “ 能 否 将
三 角形 的边 向量 化 ? ” 学 生 立 刻 就会 想 到 I n I 。 一
口。
说得好, 此结论正是“ 向量 ” 与 长度 “ 数量” 互 相转 化 的桥梁 , 作 用非 凡 , 至此 , 教 师 在 介 绍 上述
,
上课 讲得 清 清 楚 楚 , 怎 么 还 不 会 呢 ?事 实 上 , 教 师果 真讲 清楚 了吗 ?仅 就 例题 教 学 而言 , 如 果 不
能很 好地 发挥 例题 的榜 样 及 培养 能 力 的功 能 , 很 多 教 师 只注 意娴熟 地 解 题 , 没 有 充 分暴 露 自己分
解答 过程 , 就 显 得 自然 而 清 楚 . 当 学 生 有 了 由数 量 向 向量 转化 的“ 想法” 和“ 途径 ” 之后 , 由b +c
一
2  ̄c o s A 出发进 行 推证 , 也 水 到渠 成 , 即b 。 +C
一
2 6 ㈣s A—I 『 z +I I z 一2 l I 田
I c o s A
把该问题进一步引 申, 得另外 的一般性结论
为:
的传 球 数 为 ( 一1 ) . 因 而传 到 甲 以外 的另 一 人
手 中 的 传 球 数 为
—— ——— ■— 一
一 1 [ ( 一 1 ) ”一
J : = — —■ ~
( m-1 ) 一 ( 一1 )
m人互相 传球, 由 甲 开始 传 球 , 并 作 为第 一 次 传球 , 经 过 次 传 球 后 , 球 传 回到 甲 以 外 的 另
一
( m- 1 ) ” +( 一1 ) ?( m- 1 )
?
人 手 中 的 概 率 是 P = 艺 i 与
简 析 :由前 面 的解 法 二 知 , 传 到 甲手 中 的 传
故 球传 到 甲 以外 的 另 一 人 手 中 的 概 率 是 P
b ( 一1 ) ” ( 一1 ) 一 ( 一1 ) ” m ?( 一1 )
球数为 n 一
± 二
,
由于 总