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word版习题课无穷级数


第十二章

第十二章
章主要内容小结 一、数项级数的审敛法 1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性; 2、正项级数的审敛法 若 lim u n ? 0 ,则级数
n ??

无穷级数

?u
n ?1

?

n

发散;否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别;

? ? ? 1, 收敛 u n ?1 ? 对一般项出现阶乘、及 n 次幂形式,多用比值法, lim ? ? ? ? ? 1,发散 ; n ?? u n ? ? ? 1,失效 ? ? ? ? 1, 收敛 ? 对一般项出现 n 次幂形式,多用根值法, lim n u n ? ? ? ? ? 1,发散 ; n ?? ? ? ? 1,失效 ? 对一般项可经缩小与放大处理后化成 p 级数或几何级数形式, 则用 p 级数或几何级数作为比较标准,采用
比较法或极限形式,对比值法与根值法中 ? ? 1 的情况,也可用比较法、求部分和法、积分判别法做; 注意:能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛,因为可以证明当 lim

u n ?1 存在时, lim n u n n ?? n ?? u n

也存在,且 lim n u n ? lim
n ??

u n ?1 ,反之不一定成立。 n ?? u n
? ? ? ?

3、任意项级数审敛法

?u
n ?1

?

n

为收敛级数,若

?u
n ?1

n

收敛,则

?u
n ?1

n

绝对收敛;若

?u
n ?1 ? n ?1

n

发散,则

?u
n ?1

n

条件收敛;

莱布尼兹判别法: un ? un?1 ? 0 ,且 lim u n ? 0 则交错级数
n ??

? (?1)

n ?1

u n 收敛,且 rn ? u n?1 。

(二)求幂级数收敛域的方法 1、标准形式的幂级数,先求收敛半径 R ? lim

an ,再讨论 x ? ? R 的敛散性; n ?? a n ?1


2、 非标准形式的幂级数 ?

式 ?通过换元转化为标准形 ?直接用比值法或根值法

(三)幂级数和函数的求法 1、求部分和式的极限; 2、初等变换法:分解、直接套用公式; 3、在收敛区间内,采用逐项求导与逐项积分的方法,套用公式,再对所求的和作逆运算;

-1-

第十二章

4、 数项级数求和 ?

求部分和; ?直接求和:直接变换, 数,再代值; ?间接求和:转化成幂级

(四)函数的幂级数和傅立叶级数展开式 1、函数的幂级数展开 直接展开法:利用泰勒级数; 间接展开法:利用已知展式的函数及幂级数的性质; 2、函数的傅立叶展开式:系数公式、收敛定理、延拓方法。 例 1 若级数

? a n 与 ? bn 都收敛,且 a n ? c n ? b n (n ? 1,2,?) ,证明级数 ? c n 收敛。
n ?1 n ?1
n ?1

?

?

?

证 明 : ? 0 ? c n ? a n ? b n ? a n (n ? 1,2,?) , 则 由 已 知 条 件
?
? ? ?

? (b
n ?1
? n ?1

?

n

? an) 收敛,根据比较判别法有

? (c
n ?1

n

? a n ) 收敛, ? c n ? ? (c n ? an ? an ) ? ? (c n ? an ) ? ? an 收敛。
n ?1 n ?1 n ?1

说明:注意比较判别法只对正项级数成立,对一般级数不可用。 例 2 判别下列级数的敛散性 (1)

2 ? (?1) n ; ? 2n n ?1
?

(2)

? n?
n ?1

?

1
n

n



(3)

(n!) 2 ; ? 2 n ?1 2n

?

(4)

1 1 2 (1 ? ) n ; ? n n n ?1 3

?

(5)

? 1 1 ; ( 6 ) ; ? ? 2 n ln n n?2 n ?1 n(1 ? ln n)

?

解: (1)解法 1: 利用无穷级数收敛的性质:
? ? 2 ? (?1) n 2 (?1) n ? ? n ? ? n 收敛; ? 2n n ?1 n ?1 2 n ?1 2 ?

? (?1) n 2 与 都是几何级数,均收敛,所以 ? ? n n n ?1 2 n ?1 2
?

解法 2:该级数为正项级数,利用比较法,因为

? 2 ? (?1) n 3 3 ? ,而 收敛,所以原级数收敛; ? n n n 2 2 n ?1 2

解法 3:该级数为正项级数,利用根值法,因为 lim n
n??

2 ? (?1) n 1 ? ? 1,所以原级数收敛。 2 2n

(2)因为 lim n n ? 1,所以 lim
n ??

1 n?n n

n ??

? ? 1 1 1 ? 1 ,由比较法的极限形式知:级数 ? n 与 ? 具有相 n n ?1 n ? n n ?1 n

同的敛散性,而级数

? n 发散,所以原级数发散。
n ?1

?

1

(3)利用比值法: lim

u n?1 [(n ? 1)!]2 ? lim n?? u n?? 2(n ? 1) 2 n

(n!) 2 ? lim n 2 ? ?? ,所以原级数发散。 2n 2 n??
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第十二章

(4)利用根值法: lim n u n ? lim n
n?? n??

1 1 2 1 1 e (1 ? ) n ? lim (1 ? ) n ? ? 1 ,所以原级数收敛。 n n ? ? n 3 n 3 3

(5)一般项 u n ?

1 ,利用比值法、比较法、根值法都不易判定级数的敛散性,注意到 u n 是单 n(1 ? ln 2 n)

调递减数列,因为积分 数收敛。 (6)因为
n

?

?? 2

? ? d ln x dx ?? ? arctanln x 2 2 1 ? ln 2 x x(1 ? ln x)

?? 2

?

?
2

? arctanln 2 收敛,所以原级

ln n ? n n ,所以 n

1 ln n

?

1
n

n

?? ?n ? ??1 ,即 lim n n ??

1 ln n

? 1 ,所以原级数发散。

例 3 判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)

? (?1)
n ?1 ?

?

n

ln

n ?1 ; n

(2 )

?
n?2
?

?

(?1) n n ? (?1) n
n



(3)

? (?1)
n ?1

n

( n ?1 ? n) ;

n n?1 (4) ? (?1) ; (n ? 1)! n ?1

解: (1)因为 un ? ln

n ?1 1 ? ln (1 ? ) 单调递减,且 lim u n ? 0 ,由莱布尼兹判别法知级数收敛 n ?? n n

s n ? ? ln
k ?1

n

? k ?1 n n ?1 ?? 发散, ? ?[ln(k ? 1) ? ln k ] ? ln(n ? 1) ? ln1 ? ln(n ? 1) ?n ? ?? ?? ,所以 ? ln k n k ?1 n ?1

原级数条件收敛。 (2) lim u n ? lim
n ??

1 n ? (?1) n

n??

? 0 ,但

1 n ? (?1) n

不单调,所以不能用莱布尼兹判别法,

因 为 un ?
?

1 n ? (?1) n ? ?[
n?2 ?

?

? ? 1 n ? (?1) n n (?1) n (?1) n n ,而 ? 收敛, ? 发散,所以 ? ? n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n?2 n ? 1 n?2

?
n?2

(?1) n n ? (?1) n

(?1) n n 1 ? ] 发散。 n ?1 n ?1
1 n ?1 ? n
?

(3)u n ?

n ?1 ? n ?
?

?

1 n ? 2 ? n ?1

? u n?1 ,且 lim u n ? lim
n ??

1 n ?1 ? n

n ??

? 0 ,原

级数收敛,而

?( n ?1 ? n) ? ?
n ?1 n ?1

1 n ?1 ? n

发散,所以原级数条件收敛。

(4) u n ?

u n n ?1 (n ? 1) n?2 , lim n?1 ? lim n?? (n ? 2)! (n ? 1)! n?? u n

n n?1 (n ? 1) 2 1 ? lim (1 ? ) n ? e ? 1, (n ? 1)! n?? (n ? 2)n n

所以原级数发散。
-3-

第十二章

说明:若级数改为

? (?1)
n ?1

?

n

(n ? 1)! ,则级数绝对收敛。 n n ?1

例 4 判别下列级数的敛散性 (1)

1 (a ? 0) ; ? n n ?1 1 ? a

?

(2)

??
n ?1

?

n?
n

(? ? 0) ;

(3)

? (?1)
n ?1

?

n

1 ; np
0 ? a ?1 a ?1 a ?1
,故就 a ? 1, a ? 1,0 ? a ? 1 分别讨论。

解题思路:一般项中含有参数,需注意对参数进行讨论。

?0 ? 解: (1)注意到 lim a ? ?1 n ?? ?? ?
n

1 ? 1 (n ? ?) ,由级数收敛的必要条件知原级数发散; 1? an 1 1 ? (n ? ?) ,由级数收敛的必要条件知原级数发散; 当 a ? 1 时, u n ? n 2 1? a
当 0 ? a ? 1 时, u n ? 当 a ? 1 时, u n ?
? 1 1 1 n 1 ? ? ( ) ,而级数 ( ) n 为公比绝对值小于 1 的几何级数,是收敛的,由 ? n n a 1? a a n ?1 a

比较法原级数收敛。 综上所述:当 a ? 1 时原级数收敛;当 0 ? a ? 1 时,原级数发散。 (2)一般项 u n ?

n?

?
1

n

中含有 n 次幂,用根值法。因为 lim n u n ? lim n
n?? n??

n?

?

n

? lim
n??

n

n?

?

?

1

?



由根值判别法,当 当

?

? 1 时,即 ? ? 1 时级数收敛; 1

1

?

? 1 时,即 0 ? ? ? 1 时级数发散;

?

? 1 时,即 ? ? 1 时根值法失效,此时
?

n ??

lim u n ? lim n ? ?? ? 0 ,由必要条件得级数 ? n 发散。
n ??

n ?1

综上所述:当 0 ? ? ? 1 时原级数发散;当 ? ? 1 时原级数收敛。 (3)这是交错级数,其绝对值级数为 p 级数,需分 p ? 1, 0 ? p ? 1, p ? 0 讨论其绝对收敛与条件收敛。 当 p ? 1 时,其绝对值级数

?n
n ?1

?

1
p

是收敛的,所以原级数绝对收敛;

当 0 ? p ? 1时,其绝对值级数

? 1 1 是发散的,而级数 (?1) n p 是交错级数,由莱布尼兹判别法可知 ? ? p n n ?1 n n ?1

?

其收敛,所以原级数条件收敛。 当 p ? 0 时, lim u n ? lim(?1)
n ?? n ?? n

1 ? 0 ,所以原级数发散。 np
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第十二章

例 5 设正项级数

? un 和 ? v n 都收敛,证明级数 ? (u n ? vn ) 2 也收敛。
n ?1 n ?1 n ?1

?

?

?

分析:因为 u n ? 0 , vn ? 0 ,所以 u n vn ? 0 ,且 (un ? vn ) 2 ? un ? 2un vn ? vn ? 0 。又已知级数
? ? ?

2

2

?u
n ?1

?

n



?v
n ?1

n

收敛,如果级数

?u
n ?1

2 n



?v
n ?1

2 n

收敛,由不等式
?

2 2 2un vn ? un ? vn 与比较判别法即可推得 ? 2u n v n 收敛,从而欲证结论成立。
n ?1

证明: 因为

?u
n ?1

?

n

收敛, 所以 lim u n ? 0 , 由极限定义, 对正数 ? ? 1 , 存在 N , 使当 n ? N 时, 有 0 ? un ? 1 ,
n ??

从而 un ? un ,由比较判别法,级数
?

2

?u
n ?1 2

?

2 n

收敛,同理可证级数

?v
n ?1

?

2 n

收敛。

又因为 2un vn ? un ? vn ,而
? ?

2

2

? (u n ? vn ) 收敛,由比较法知级数 ? 2u n vn 收敛,
2 n ?1 n ?1 2

?

所以

? (un ? vn ) 2 ? ? (un ? 2un vn ? vn ) 收敛。
2 n ?1 n ?1

例 6 求下列幂级数的收敛半径与收敛域 (1)

2 ? (?1) n n x ; ? 2n n ?1
?
?

(2)

?2
n ?1

?

n
n

x 2n ;

3n ? (?2) n (3) ? (x ? 1) n ; n n ?1
解: (1)因为 a n ?

a n ?1 2 ? (?1) n 1 2 ? (?1) n ?1 ( n ? 1 , 2 , ? ) ,而 不存在,用比值法求收敛半 lim ? lim n ?? a n ?? 2 2 ? ( ?1) n 2n n
1 2 ? (?1) n 3 1 1 3 1 ? ? n 。 而 lim n n ? , lim n n ? , 故 n n n ?? n ?? 2 2 2 2 2 2 2

径失效,故用根值法。因为

? ? lim a n ? lim n
n n ?? n ??

2 ? (?1) n 1 ? ? 1 ,所以 R ? 2 。 n 2 2

当 x ? 2 时,原级数为

?[2 ? (?1)
n ?1 ? n ?1

?

n

] ,由 lim[2 ? (?1) n ] ? 0 ,此级数发散;
n ??

同理,当 x ? ?2 时,原级数

?[2 ? (?1)

n

](?1) n 发散;
-5-

第十二章

所以所求收敛域为 (?2,2) 。 (2)因为 u n ( x) ?

n 2n x (n ? 1,2, ?) ,原级数缺少 x 的奇次幂项,故直接用比值法。因为 2n

? ? lim

u n ?1 ( x) (n ? 1)2 n x 2( n ?1) x2 ? lim ? ? 1 ,所以 x ? 2 , R ? 2 , n ?? u ( x ) n ?? 2 2 n ?1 nx2 n n

当 x ? ? 2 时,原级数

? n 发散,所以所求收敛域为 (?
n ?1

?

2, 2 ) 。

(3)因为 u n ( x) ?

? 3 n ? (?2) n 3 n ? (?2) n 3n ? (?2) n n ( x ? 1) n ,令 y ? x ? 1 ,原级数为 ? , y ,取 a n ? n n n n ?1

则 ? ? lim

a n ?1 n ?? a n

2 3 n ?1 [1 ? (? ) n ?1 ]n [3 ? (?2) ]n 1 3 ? lim n ? lim ? 3 ,所以 R ? , n n ?? [3 ? ( ?2) ](n ? 1) n ?? n 2 3 3 [1 ? (? ) n ](n ? 1) 3
n ?1 n ?1

? ? ? 1 3n ? (?2) n 1 n (?1) n 1 2 n 当 y ? ? 时,考察级数 ? 与 ? ( ) 都收敛,所以级数 (? ) , 易 知 级 数 ? 3 n 3 n n ?1 n 3 n ?1 n ?1

3n ? (?2) n 1 n (? ) 收敛; ? n 3 n ?1
?

当y?
?

? ? ? 1 3n ? (?2) n 1 n (?1) n 2 n 1 时,考察级数 ? ( ) ,因为 ? 发散,级数 ? ( ) 收敛,所以级数 3 n 3 n 3 n ?1 n n ?1 n ?1

3n ? (?2) n 1 n ( ) 发散; ? n 3 n ?1
从而幂级数 域为 [?

1 1 1 1 3n ? (?2) n n y 的收敛域为 [? , ) ,由 y ? x ? 1 解不等式 ? ? x ? 1 ? 得原级数的收敛 ? 3 3 3 3 n n ?1
?

4 2 ,? ) 。 3 3

例 7 求幂级数

? n(n ? 1) x
n ?1

?

1

n

的和函数

解:因为 ? ? lim
n ??

1 (n ? 1)(n ? 2)

1 ? 1,且 x ? ?1 时原级数收敛,所以收敛域为 [ ?1,1] 。注意到 n(n ? 1)

? 1 ? ? x n ( x ? (?1,1)) ,需用逐项微分法去掉一般项中分母的系数。 1 ? x n ?0

-6-

第十二章

令 s ( x) ?

? xn 1 n?1 1 ? x ? 0 ,则 ,当 时 s ( 0 ) ? 0 s ( x ) ? x ? 2 ? ? x n ?1 n(n ? 1) n ?1 n ? 1
? x n ?1 1 ? ,则 s ( x ) ? xn ? ? 1 ,所以 ? ? 1 1? x n ?1 n ?1 n ? 1

?

x n?1 , ? n ?1 n ? 1
?

再令 s1 ( x) ?

?

x x 1 ? ( x)dx ? s1 (0) ? ? ( s1 ( x) ? ? s1 ? 1)dx ? ? x ? ln(1 ? x) ( x ? 1) , 0 0 1? x 1 1 ln(1 ? x) ( x ? 0, x ? 1) , 故 s ?( x) ? 2 s1 ( x) ? ? ? x x x2 x x 1 1 s( x) ? ? s ?( x)dx ? s(0) ? ? [? ? 2 ln(1 ? x)]dx 0 0 x x x 1 1 1? x ? lim [? ? 2 ln(1 ? x)]dx ? 1 ? ln(1 ? x) , ? ?? ? ?0 x x x

s(1) ? ?

? 1 1 1 1 1 1 1 1 ] ? 1; ? ?[ ? ] ? lim s n (1) ? lim[1 ? ? ? ? ? ? ? n ?? 2 2 3 n n ?1 n ? 1 n ?? n ?1 n (n ? 1) n ?1 n

?

? ?0 ? 所以 s ( x) ? ?1 ? 1? x ?1 ? ln(1 ? x) x ?
例 8 求级数

x?0 x ?1 x ? 0, x ? 1

n2 的和。 ? n ?1 n!
n 2 n?1 x ,易知收敛域为 (??,??) ,由 ? n ?1 n!
?

?

解法 1: 考察幂级数

s ( x) ? ? ? ?[?
n ?1 ? x

n 2 n ?1 ? n x ?? x n ?1 n ?1 n! n ?1 ( n ? 1)!

?

? ? nxn ?1 xn xn dx]? ? [? ]? ? [ x? ]? ? ( xe x )? ? xe x ? e x 0 ( n ? 1)! n ?1 ( n ? 1)! n ? 0 n!

得 s (1) ? 2e ,从而
?

n2 ? 2e 。 ? n ?1 n!

?

解法 2:
?

? ? n2 n n ?1?1 ?? ?? ? n ?1 n! n ?1 (n ? 1)! n ?1 (n ? 1)!

??
例9

? ? 1 1 1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? e ? e ? 2e 。 n ? 2 (n ? 2)! n ?1 (n ? 1)! n ?0 n! n ?0 n!

将下列函数展开成 x 的幂级数

-7-

第十二章

x2 (1) f ( x) ? 2 ; x ? 3x ? 2

(2) f ( x) ? ln(x ? 1 ? x 2 ) ;

解: (1) f ( x) 是有理函数,应将其化为幂函数与部分分式乘积的形式,再利用相应公式展开。

x2 1 1 ? x2[ ? ] 2 x ?1 x ? 2 x ? 3x ? 2 ? 1 1 1 ? x ? x2[ ? ] ? x 2 [? (?1) n x n ? ? (?1) n ( ) n ] x 1? x 2 n ?0 2 n ?0 2(1 ? ) 2 ? ? 1 1 ? x 2 ? (?1) n [1 ? n ?1 ]x n ? ? (?1) n [1 ? n ?1 ]x n ? 2 2 2 n ?0 n ?0 f ( x) ?
易知收敛域为 x ? (?1,1) 。 (2)先对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? [ln(x ? 1 ? x ]? ?
2

1 1? x
2

,利用 (1 ? x) m 的展开式展开

1 1? x2

,再

对展开式逐项积分求解。因为

1 1? x
2 ?

? (1 ? x )
2

?

1 2

? 1?

1 2 1? 3 4 (2n ? 1)!! 2 n x ? x ? ? ? (?1) n x ?? 2 2?4 (2n)!!

? 1 ? ? (?1) n
n ?1

(2n ? 1)!! 2 n x , x ? [?1,1] (2n)!!
2

所以 ln(x ? 1 ? x ) ?
?

?

x 0

dx 1? x
n ?1

2

? x ? ? (?1) n
n ?1

?

(2n ? 1)!! x 2n?1 , x ? [?1,1] 。 (2n)!!(2n ? 1)

例10

求幂级数

? (?1)
n ?1

(1 ?
?

1 。 ) x 2 n 的收敛域与和函数 f ( x) (05 年考研题) n(2n ? 1)

解:因为
?

? (?1) n?1 x 2n ? x 2 ? (? x 2 ) n?1 ?
n ?1 n ?1

?

x2 (?1 ? x ? 1) 1? x2

? (?1) n?1
n ?1

2 n ?1 2 n ?1 ? x x x ? x x ? x 1 x 2 n ? 2? (?1) n?1 ? dx ? 2? ? dx ? 2? [? ? x 2 n?2 dx]dx 0 2n ? 1 0 0 0 n(2n ? 1) n ?1 n ?1 2n ? 1 n ?1

? 2? [ ?
0

x

x ? 0

?x
n ?1

2 n?2

dx]dx] ? 2? [ ?
0

x

x x xdx dx ]dx] ? 2? arctanxdx ? 2 x arctanx ? 2? 2 01? x 0 0 1? x2 x

? 2 x arctanx ? ln(1 ? x 2 )(?1 ? x ? 1)
x2 ? 2 x arctanx ? ln(1 ? x 2) 。 所以幂级数的收敛域是 (?1,1) , f ( x) ? 2 1? x
例 11 设 f ( x) ? 2 ? x(0 ? x ? 2) ,而 s( x) ?

?b
n ?1

?

n

sin

n?x (?? ? x ? ??) ,其中 2

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第十二章

bn ? ? f ( x) sin
0

2

n?x dx (n ? 1,2,?) ,求 s ( ?1) 和 s(0) 。 2

分析:此题不需要进行傅立叶展开,而是应用狄利克雷定理判别当 x ? 0 和 x ? ?1 时,级数收敛于何值。 解:由已知 s( x) 是 f ( x) 在 [0,2] 上的正弦级数,也是奇函数 F ( x) ? ?

?? 2 ? x ? 2? x

?2? x ?0 在 [?2,2] 上 0? x?2

的傅立叶(正弦)级数。由狄利克雷定理,在 F ( x) 的连续点 x ? ?1 处, s(?1) ? F (?1) ? ?1 ;在 F ( x) 的 间断点 x ? 0 处, s (0) ?

1 1 [ F (0 ? 0) ? F (0 ? 0)] ? (?2 ? 2) ? 0 。 2 2

例 12 将 f ( x) ? sin x (?? ? x ? ? ) 展成傅立叶级数。 分析:由 f ( x) ? sin x ? ?

?sin x ?? sin x

0 ? x ?? ,易知函数 f ( x) 在 [ ?? , ? ] 上连续,且有 3 个极值点, ?? ? x ? 0

满足狄利克雷收敛定理条件,将 f ( x) 以 2? 为周期做周期延拓后,直接求傅立叶系数。 解:将 f ( x) 以 2? 为周期做周期延拓,由 f ( x) 为偶函数,得 bn ? 0 (n ? 1,2,?) ,

an ?

??

2

?
0

f ( x) cos nxdx ?

??

2

?
0

sin x cos nxdx ?

??

1

?
0

[sin(n ? 1) x ? sin(1 ? n) x]dx

1 cos(n ? 1) x cos(1 ? n) x ? ?? [ ? ]0 ? n ?1 1? n 1 1 1 1 ? [(?1) n ?1 ? 1][ ? ]? [(?1) n ?1 ? 1] ? n ? 1 n ? 1 ? (n 2 ? 1) n ? 2k ? 1 ?0 ? ?? (n ? 0,1) 4 n ? 2k ?? ? (4k 2 ? 1) ? 2 ? 4 2 ? a 0 ? ? sin xdx ? , a1 ? ? sin x cos xdxdx ? 0 , ? 0 ? ? 0
因为 f ( x) 在 [ ?? , ? ] 上连续且仅有三个极值点,所以由收敛性定理

sin x ?

2

?

?

? 4k ?

4

cos 2kx 2 ?1 k ?1

?

(?? ? x ? ? ) 。

例 13 设 f ( x) 在 [ ?? , ? ] 上可积,且 ak , bk 是 f ( x) 的傅立叶系数,试证对任意自然数 n ,成立不等式
n a0 1 ? 2 2 ? ? (ak ? bk ) ? ? f 2 ( x)dx 。 2 ? ?? k ?1 2

分析: 左边涉及到傅立叶级数前 n 项的系数平方和, 右边是 f ( x) 的积分, 故考察 证明:令 s n ( x) ?
n a0 ? ? [a k cos kx ? bk sin kx] ,其中 2 k ?1

2

? ? [ f ( x) ? s
?

?

n

( x)]2 dx 。

-9-

第十二章

ak ?

f ( x) cos kxdx (k ? 0,1, ?, n) , b ???
?

1

?

k

?

f ( x) sin kxdx (k ? 1,2, ?, n) , ???
?

1

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则0 ?

? ? [ f ( x) ? s
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n

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n

( x)]2 dx ? ? [ f ( x)]2 dx ? 2?
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f ( x)sn ( x)dx ? ? [sn ( x)]2 dx ,
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2

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利用三角函数系的正交性有

? ? f ( x) s
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( x)dx ? ?
2

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n n a a 2 2 f ( x)[ 0 ? ? (ak coskx ? bk sin kx)]dx ? 0 ? ? ? ? (ak ? bk ), 2 k ?1 2 k ?1 2

n n a0 a0 2 2 2 [ s ( x )] dx ? [ ? ( a cos kx ? b sin kx )] dx ? ? ? ? (ak ? bk ) , ? ? k ??? n ??? 2 k ?1 k 2 k ?1

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故0 ?
2

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f 2 ( x)dx ? ? [

n a0 2 2 ? ? (ak ? bk )] ,即 2 k ?1

2

n a0 1 ? 2 2 ? ? (ak ? bk ) ? ? f 2 ( x)dx 。 2 ? ?? k ?1

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