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扬州市2013-2014学年高二上学期期末调研考试数学试题


江苏省扬州市 2013-2014 学年高二第一学期期末调研考试 数学试卷
2014.1 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项:试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 参考公式:柱体的体积公式: V柱体 =Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 是高; 球的体积公式: V球 = ? R 3 ,球的表面积公式: S球 =4? R ,其中 R 是球

的半
2

4 3

径;
1 n 1 n ( xi ? x)2 ,其中 x = ? xi . ? n i ?1 n i ?1 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上)

样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ?

1.命题“ ?x ? 0, x ? x ? 0 ”的否定是
2





Read x If x ? 0 Then f ( x) ? 2 x
2.右图给出的是一个算法的伪代码,若输入值为 3 ,

Else f ( x) ? log 2 ( x ? 1) End If Print f ( x)

则输出值 f ( x) = ▲ .

x 3.函数 f ( x) ? e sin x 的导数 f ?( x) ?





4.先后抛掷一枚质地均匀的骰子(各面上分别标有点数 1, 2,3, 4,5,6 )两次,骰子朝上的 面的 点数依次记为 a 和 b ,则双曲线 5.右边程序输出的结果是 ▲

x2 y2 ? ? 1 为等轴双曲线的概率为 ▲ . a 2 b2


S ?1 For I From 1 To 5 Step 2 S ?S?I End For Print S

6.恒大足球队主力阵容、替补阵容各有 4 名编号为 1, 2,3, 4 的

球员进行足球点球练习,每人点球 5 次,射中的次数如下表: 队员\编号 1号 2号 3号 4号

1

主力 替补

4 5

5 4

3 2

4 5

则以上两组数据的方差中较小的方差 S ?
2





7.下列有关命题的说法中,错误 的是 ..
2



(填所有错误答案的序号).
2

①命题 “若 x ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ? 1” 的逆否命题为 “若 x ? 1 , 则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” ; ②“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件; ③若 p且q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. 8.已知抛物线 y ? 8 x 的焦点是双曲线
2

2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的右焦点, a2 3
. ▲

则双曲线的渐近线方程为



9.底面边长为 2m ,高为 1m 的正三棱锥的全面积为
3 2

m2 .
▲ .

10.奇函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在 x ? ?1 处有极值,则 3a ? b ? c 的值为 11.若 l , m, n 是三条互不相同的空间直线, ? , ? 是两个不重合的平面, 则下列命题中为真命题的是 ▲ (填所有正确答案的序号). ②若 ? ? ? , l ? ? , 则 l ? ? ; ④若 l ? ? , l // ? , 则 ? ? ? .

①若 ? // ? , l ? ? , n ? ? , 则 l // n ; ③若 l ? n, m ? n, 则 l // m ;

12.设集合 P ? {x,1}, Q ? { y,1, 2}, x, y ?{1, 2,3, 4,5,6,7} ,且 P ? Q ,在直角坐标平面内, 从所有 满 足 这 些 条 件 的 有 序 实 数 对 ( x , y )所 表 示 的 点 中 任 取 一 个 , 若 该 点 落 在 圆

x2 ? y 2 ? R 2 (R 2 ?Z)
内的概率为

2 2 ,则满足要求的 R 的最小值为 5





13.如图平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 的离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

3 , A1 , A2 分别是椭圆的左、右两个顶点, 2
2

圆 A1 的半径为 a ,过点 A2 作圆 A1 的切线,切点为 P , 在 x 轴的上方交椭圆于点 Q .则

PQ ? QA 2





14 .设奇函数 f ( x) 定义在 (?? ,0) U (0, ? ) 上 , 其导函数为 f ?( x) , 且 f ( ) ? 0 , 当

?

0 ? x ? ? 时,

2

f ?( x)sin x ? f ( x) cos x ? 0 , 则 关 于 x 的 不 等 式 f ( x)? 2 f ( 6
▲ .

?

的解集为 ) s ix n

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题满分 14 分) 根据我国发布的《环境空气质量指数 AQI 技术规定》 (试行) , AQI 共分为六级:[0,50) 为优,[50,100) 为良, 为 [100,150) 为 轻 度 污 染 , [ 1 5 0 , 2 0 0中 ) 度污染,

[200, 250),[250,300) 均为重度污染,300 及以上为严重污
染. 某市 2013 年 11 月份 30 天的 AQI 的频率分布直方图如 图所示: ⑴该市 11 月份环境空气质量优或良的共有多少天? ⑵若采用分层抽样方法从 30 天中抽取 10 天进行市民户外晨练人数调查, 则中度污染被抽 到的天数共有多少天? ⑶空气质量指数低于 150 时市民适宜户外晨练,若市民王先生决定某天早晨进行户外晨 练,则他当天适宜户外晨练的概率是多少?

16. (本小题满分 14 分) 已知命题 p :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 表示椭圆. ? ? 1 表示双曲线,命题 q : m?2 4?m m ?1 m ? 4

⑴若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围. ⑵判断命题 p 为真命题是命题 q 为真命题的什么条件(请用简要过程说明是“充分不必 要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个) .

3

17. (本小题满分 15 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 D 是 BC 上一点. ⑴若点 D 是 BC 的中点,求证 A1C // 平面 AB1 D ; ⑵若平面 AB1 D ? 平面 BCC1 B1 ,求证 AD ? BC .

18. (本小题满分 15 分) 如图,储油灌的表面积 S 为定值,它的上部是半球,下部是圆柱,半球的半径 等于圆柱底面半径. ⑴试用半径 r 表示出储油灌的容积 V ,并写出 r 的范围. ⑵当圆柱高 h 与半径 r 的比为多少时,储油灌的容积 V 最大?

19. (本小题满分 16 分) 如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 中心在原点,焦点均在 x 轴上,且离心率相同.椭圆 C1 的长 轴长为 2 2 ,且椭圆 C1 的左准线 l : x ? ?2 被椭圆 C2 截得 的线段 ST 长为 2 3 ,已知点 P 是椭圆 C2 上的一个动点. ⑴求椭圆 C1 与椭圆 C2 的方程; ⑵设点 A1 为椭圆 C1 的左顶点,点 B1 为椭圆 C1 的下顶点, 若直线 OP 刚好平分 A1 B1 ,求点 P 的坐标; ⑶若点 M , N 在椭圆 C1 上,点 P, M , N 满足 OP ? OM ? 2ON ,则直线 OM 与直线 ON 的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

??? ?

???? ?

????

4

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx, g ( x) ? ln x .
2

⑴当 a ? 0 时,①若 f ( x) 的图象与 g ( x) 的图象相切于点 P( x0 , y0 ) ,求 x0 及 b 的值; ② f ( x) ? g ( x) 在 [1, m] 上有解,求 b 的范围; ⑵当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? g ( x) 在 [ , n] 上恒成立,求 a 的取值范围.

1 e

2013—2014 学年度第一学期高二数学期末试卷 参 考 答 案
2014.1 一、填空题 1. ?x ? 0, x ? x ? 0
2

2. 2 6.

3. e sin x ? e cos x
x x

4.

1 6

5. 10 9. 3 3 13.

1 2

7.③ 11.④

8. y ? ? 3x 12. 30

10. 0 14. (?

3 4

?

, 0) ? ( , ? ) 6 6

?

二、解答题 15⑴由题意知该市 11 月份环境空气质量优或良的共有

(0.002 ? 0.002 ) ? 50 ? 30 ? 6
天; ??4 分 ⑵ 中 度 污 染 被 抽 到 的 天 数 共 有 天; ??9 分 ⑶设“市民王先生当天适宜户外晨练”为事件 A , 则

0.006 ? 50 ?10 ? 3

P( A) ? (0.002 ? 0.002 ? 0.008) ? 50 ? 0.6 .


??14

5

16 ⑴ ? 命 题

p:

x2 y2 ? ?1 表 示 双 曲 线 为 真 命 题 , 则 m ?1 m ? 4
??3 分

(m ? 1)(m ? 4) ? 0 ,


1? m ? 4 ;
分 ⑵

??5

?





x2 y2 q: ? ?1 m?2 4?m



















?m ? 2 ? 0 ? ? ?4 ? m ? 0 , ?m ? 2 ? 4 ? m ?


??8 分

2?m?3
??10 分



3 ? m ? 4,

? {m |1 ? m ? 4} ? {m | 2 ? m ? 3 或 3 ? m ? 4}
∴ 件.

p



q







不 ??14 分







17⑴连接 A1 B ,设 AB1 ? A1 B ? E ,则 E 为 A1 B 的中点, 连接 DE ,由 D 是 BC 的中点,得 DE / / A1C , 又 DE ? 面AB1 D ,且 A1C ? 面AB1 D , 所以 A1C // 平面 AB1 D

??2 分 ??4 分

F

E

??7 分

⑵在平面 BCC1 B1 中过 B 作 BF ? B1 D ,因平面 AB1 D ? 平面 BCC1 B1 , 又 平 面

A 1 B ? D平



B C C ?1 1

B

1,

B 所 D以

BF ?





A 1B,D
所以 BF ? AD ,

??10 分

BB1 ? 平面 ABC , 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 所以 BB1 ? AD ,
12 分
6

??



BB1 ? BF ? B







AD ?





BCC1 B1







AD ? BC .
18 ⑴

??15 分

? S ? 2? r 2 ? 2? rh ? ? r 2 ? 3? r 2 ? 2? rh
??3 分



?h ?

S ? 3? r 2 , 2? r

2 ?V ? ? r 3 ? ? r 2 h 3
??7 分 ⑵?V ? ?

?

rS 5 3 3? S ? ? r (0 ? r ? ) 2 6 3?



5? S S 5 2 ,列表 ? ? r ,令 V ? ? 0 ,得 r ? 5? 2 2 5? S ) 5? 5? S 5? 5? S 3? S , ) 5? 3?
?
↘ ??11 分

r
V ?(r ) V (r )

(0,

(

?


0
极大值即最大值

∴当 r ? 13 分

5? S 5? S 时, 体积 V 取得最大值, 此时 h ? , ? h : r ? 1:1. 5? 5?

??

答:储油灌容积 V ? 15 分

rS 5 3 3? S ? ? r (0 ? r ? ) ,当 h : r ? 1:1 时容积 V 取得最大值. ? 2 6 3?
x2 y 2 x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) , C ,椭圆 方程为 1 1 2 2 a12 b12 a2 b2

19⑴设椭圆 C1 方程为

a12 则 2a1 ? 2 2 ,∴ a1 ? 2 ,又其左准线 x ? ?2 ? ? ,∴ c1 ? 1 ,则 b1 ? 1 c1
∴ 椭 圆

C1







x2 ? y2 ? 1 2
??3 分













e1 ?

2 , 2

7

∴ 椭 圆 C2 中 a2 ? 2b2 , 由 线 段 的 ST 长 为 2 3 , 得 S (? 2 ,
2 2

3 ,)代 入 椭 圆

C2

4 3 ? 2 ?1, 2 2b2 b2
得 b2 ? 5 , ∴ a2 ? 10 , 椭圆 C2 方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1; 10 5

??

6分 ⑵ A1 (? 2, 0), B1 (0, ?1) , 则 A1 B1 中点为 ( ? 7分

2 1 2 ,? ) , x, ∴直线 OP 为 y ? 2 2 2

??

? x2 ? ? ?10 由? ? y? ? ?


y2 ?1 5

? x? 5 ? x?? 5 ? ? ,得 ? 10 或 ? 10 , 2 y? y?? ? ? x ? 2 ? 2 2


P





标 ??10 分



( 5,

10 10 ), (? 5, ? ); 2 2
2 2 2

⑶设 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x0 ? 2 y0 ? 10 , x1 ? 2 y1 ? 2, x2 ? 2 y2 ? 2 ,
2 2 2







( x0 , y0 ) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 )
x2 y2
??12 分
2 2 2 2





? x0 ? ? ? y0 ?

?2 ?2
2 2

x1 y1
2

∴ x0 ? 2 y0 ? ( x1 ? 2 x2 ) ? 2( y1 ? 2 y2 ) ? x1 ? 4 x1 x2 ? 4 x2 ? 2 y1 ? 8 y1 y2 ? 8 y2

2

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 6( x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 10 ? 6( x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 10

??14 分 ∴ x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 ,∴ ∴ 直 线 OM

y1 y2 1 1 ? ? ,即 kOM ? kON ? ? , x1 x2 2 2

与 直 线 ON 的 斜 率 之 积 为 定 值 , 且 定 值 为 ??16 分

1 ? . 2
20⑴? a ? 0 ? f ( x) ? bx ①

8

1 ? 1 1 ?b ? x0 , ? x0 ? e, ? b ? , f ?( x) ? b, g ?( x) ? ? ? e x ? ?bx0 ? ln x0
分 ②? f ( x) ? g ( x) ? bx ? ln x( x ? 0) ? b ? 点?4 分

??3

ln x ln x 即 y ? b 与 h( x ) ? 在 [1, m] 上有交 x x

? h' ( x) ?

1 ? ln x ln m ,? m ? e 时 h( x ) 在 [1, m] 上递增, h( x) ? [0, ]; 2 x m

m ? e 时 h( x) 在 [1, e] 上 递 增 , 在 [e, m] 上 递 减 且 h( x) ? 0 ,
1 h( x) ? [0, ] ??7 分 e

?m ? e
1 b ? [0, ] e





b ? [0,

ln m ] m



m?e





??8 分
2

⑵? b ? ?1? f ( x) ? ax ? x ? f ( x) ? g ( x) 即 ax ? x ? ln x ,
2

即 立, 令 r ( x) ?

a?

x ? ln x x2



1 [ , n] e
??9 分







x ? ln x 1 ? x ? 2 ln x ,? r ' ( x) ? 2 x x3
??

令 s( x) ? 1 ? x ? 2ln x , 则 s ( x ) 为单调减函数, 且 s (1) ? 0 , 12 分 ∴当 x ? (0,1) 时, r '( x) ? 0 , r ( x ) 单调递增, 当 x ? (1, ??) 时,r '( x) ? 0 ,r ( x ) 单调递减, 13 分 若 n ? 1,则 r ( x ) 在 [ , n] 上单调递增, ∴ rmax ( x) ? r (n) ?

??

1 e

n ? ln n n ? ln n ,∴ a ? ; 2 n n2

若 n ? 1 ,则 r ( x ) 在 [ ,1] 上单调递增, [1, n] 单调递减, ∴

1 e

rmax ( x) ? r (1) ? 1
??15 分





a ?1
∴ n ? 1时,a ?

n ? ln n ;n ? 1 时,a ? 1 . n2
9

??

16 分

10


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