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竞赛高二数学2


高二 数 学 竞 赛 试 卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 一.选择题(本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 A (1, ? 2 ,1) ,B ( 4 , 2 ,3 ) ,C ( 6 , ? 1, 4 ) ,则△ABC 的形状是( A.不等边锐角三角形 2. “
2

直线与 C 相交于 A、B 两点

,若 AF ? 3 FB ,则 k = A.1 9. 已知双曲线 x 2
a
2

( D. 2



B.
? y b
2 2

2

C.

3

) D.等边三角形 )

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左顶点、右焦点分别为

A、F,点 B(0,b) , ) D. 2

B.直角三角形
x

C.钝角三角形
2

若 BA ? BF ? BA ? BF ,则该双曲线离心率 e 的值为( A.
2

c A ?B
2

是 ? a ” “ Ax ? By ? C ? 0 与

?

y

2

的 ? 1 ( a ? b ? 0) 有公共点” (

a

b

3 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1 2

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 不充分也不必要 3. 右图给出的是计算
1 2 ? 1 4 ? 1 6 ? ... ? 1 20
S ?BCF

的值的一个流程图,

10.设 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线交于 A,B 两点,与

其中判断框内应填入的条件是(

).

抛物线的准线相交于 C, A.
1 2

BF

=2,则 ?
2 3

BCF

与?

ACF

的面积之比 S ? A C F =(
4 7


4 5

A. i ? 21 B. i ? 11 C. i ? 21 D. i ? 11 4. 某住宅小区有居民 2 万户,从中随机抽取 200 户,调 查是否安装电话,调查的结果如表所示,则该小区已 安装电话的户数估计有( A. 6500 B. 300 C. 19000 ) D. 9500 电话 已安装 未安装 ) 动迁户 65 40 原住户 30 65

B.
x
2

C.

D.

11. 已知 ? ABC 是椭圆

?

y

2

? 1 的内接三角形, F 是椭圆的右焦点,且 ? ABC 的重

25

9

心在原点 O ,则 A 、 B 、 C 三点到 F 的距离之和为( A.9 B. 15 C. 12 12 在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2AD,

) D.8
?
2 )

5.两人相约 7 点到 8 点在某地会面,先到者等 候另一人 20 分钟,过时离去.则两人会面的概率为( A. B. C.

? D A B ? ? , ? ? (0,

,以 A,B 为焦点且 )

过点 D 的双曲线离心率为 e1 , C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e 2 , ( 以 则 D. ) 6. 和 b 都不是偶数”的否定形式是 “a ( A.a 和 b 至少有一个是偶数 B.a 和 b 至多有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数 D.a 和 b 都是偶数

A. 随着 ? 角的增大, e1 减小, e1 e 2 为定值 B. 随着 ? 角的增大, e1 增大, e1 e 2 为定值 C. 随着 ? 角的增大, e1 减小, e1 e 2 也减小 D.随着 ? 角的增大, e1 增大, e1 e 2 也增大 二.填空题(本题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案写在答题卡上) 13.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3, 20,且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是 14.进行 n 次试验,得到样本观测值为 x1,x2,?,xn,设 c 为任意常数,d 为任意正数,

7.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16, 14,12.设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( A.a>b>c 8. 已知椭圆 C :
x a
2 2

) D.c>b>a

B.b>c>a
? y b
2 2

C.c>a>b
3 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

, 过右焦点 F 且斜率为 k ( k ? 0 ) 的

得变量 yi=

xi ? c d

(i=1,2,?,n),则 y =_____________.

(2)

为锐角三角形的概率.

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,
? BAD ? 60 , Q 为 A D 的中点。
?

15. y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,准线为 l ,A、B 是抛物线上的两个动点,且满 足∠AFB=
?
3

.设 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则

MN AB

的最大值是
a
2

.
l 交 OA 延长线

(1)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 P A D ; ( 2 ) 点 M 在 线 段 PC 上 , PM ? tPC , 试 确 定 t 的

16. 如图,椭圆 C 的中心为 O,A 为顶点,F 为焦点, l :

x ? ?

c



值,使 PA // 平面 M Q B ; (3)在(2)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD,且 PA ? PD ? AD ? 2 ,求 二面角 M ? BQ ? C 的大小。 20. (12 分)已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 ? ? 3 , 0 ? ,一条渐近线的 方程是 5 x ? 2 y ? 0 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)若以 k ? k ? 0 ? 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
81 2

于 B 点,P、Q 在椭圆 C 上,且 PD⊥ l 于 D,QF⊥AO,给出如下式 子: ①
| PF | | PD |

;



| QF | | BF |

;



| AO | | BO |

; ④

| AF | | BA |

; ⑤

| FO | | AO |

.其中为椭

圆离心率的是____. (填写所有正确的序号) 三.解答题(本大题有 6 小题, 共 70 分,请将解答过程写在答题卡上) 17. (10 分) 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成 绩,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90, 95),第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (图在答题卡上) (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; (Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第 3, 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二 4, 轮面试,求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面 试,求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率. 18. (12 分) (1)从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中,任取 2 张,试求: 这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率。 (2)如图, 试求:(1) , , ,在线段 上任取一点 ,

,求 k 的取值范围.

21. (12分)M是抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的准线上任意点,过M作抛物线的切线 l1 , l 2 , 切点分别为A、B(A在x轴上方)。 (1 )证明:直线AB过定点; (2)设AB的中点为P,求|MP|的最小值。 22. (12 分)已知点 P 在椭圆 E :
x a
2 2

?

y

2

b2

? 1( a ? b ? 0 ) 上 , F1 , F 2 分别为椭圆 E 的左、

右焦点,满足 PF 1 ? PF 2 ? 1, | PF 1 |? 2 | PF 2 | . (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率; (Ⅱ)若椭圆 E 的长轴长为 6,过点 Q(m,0) (-3<m<3,且 m≠0)的直线 l 与 椭圆 E 相交于两个不同点 M、N,且 M Q ? ? QN ( ? ? R , 且 ? ? 0 ) .在 x 轴上 是否存在定点 G,使得 F1 F 2 ? ( GM ? ? GN ) .若存在,求所有满足这种条件 的点 G 的坐标;若不存在,说明理由.

为钝角三角形的概率;


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