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新课标选修4-4椭圆的参数方程1


x ? 100t 1 2 (t为参数,表示时间 1、 { ) y ? h ? gt 2

2、设经过时间t,动点的位置是 ( x, y ), 则 M x ? 2 ? 3t , y ? 1 ? 4t , 于是点M的轨迹的参数方程为 x ? 2 ? 3t { (以时间t为参数) y ? 1 ? 4t

y

B

>
O

A

x

C

3、解:不妨设?ABC的外接圆的半径为,建立 1 如图的平面直角坐标系 ,时点B, C关于x轴对称 x ? cos? 那么外接圆的参数方程 { 是 (?为参数) y ? sin ? 1 3 1 3 A, B, C的坐标分别为1,0), (? , ), (? ,? ( ) 2 2 2 2 设点M (cos? , sin ? )则 MA ? MB ? MC ? [(cos? ? 1) 2 ? sin 2 ? ] ?
2 2 2

1 2 3 2 1 2 [(cos? ? ) ? (sin ? ? ) ] ? [(cos? ? ) ? 2 2 2 3 2 (sin ? ? ) ]?6 2

4、解; (1)2 x ? y ? 7 ? 0, 直线; (2)y ? 2 x , x ? [?1,1],以(?1,2), (1,2)为端点的
2

一段抛物线; (3)x ? y ? 4, 双曲线;
2 2

x ? t ? 3t ? 1 5、 ){ (1 (t为参数) y ? t ?1
2

x ? a cos ? (2){ (?为参数) 4 y ? a sin ?
4

二、圆锥曲线的参数方程

1、椭圆的参数方程

x y 由例4我们得到了椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的 a b x ? a cos? 一个参数方程为 { (?为参数) y ? b sin ? 这是中心在原点 ,焦点在x轴上的椭圆的 O 参数方程。

2

2

思考: 类比圆的参数方程中参 数的意义,椭圆的参数 方程中参数?的意义是什么?

y A M

B

?
x

o

设以ox为始边,OA为终边的角?,点M的坐标 是( x, y ),那么点A的横坐标为x, 点B的纵坐标为 y,由点A, B均在角?的终边上,由三角函数 的 定义有 x ? OA cos? ? a cos? y ? OB sin ? ? b sin ?

当半径OA绕点O旋转一周时,就得到了 M 点 的轨迹,它的参数方程 是 x ? a cos? { (?为参数) y ? b sin ? 这是中心在原点 ,焦点在x轴上的椭圆。 O

在椭圆的参数方程中, 通常规定参数 的 ? 范围是? ?[0,2? )

思考: 椭圆的参数方程中参数 的意义与圆的参数方 ? x ? r cos? 程{ (?为参数)中参数?的意义类似吗? y ? r sin ?

由图可以看出,参数 是点M所对应的圆的半 ? 径OA(或OB)的旋转角 称为点M的离心角,不 ( ) 是OM的旋转角,参数 是半径OM的旋转角。 ?

椭圆参数方程的推导 从几何变换的角度看, 通过伸缩变换 1 x? ? x 2 2 a 则椭圆的方程 x ? y ? 1可以变成 { 1 a 2 b2 y? ? y b 2 2 x? +y? ? 1.利用圆的参数方程 x? ? cos? { (?为参数)可以得到椭圆的参数 y? ? sin ? 方程为 { x ? a cos? y ? b sin ?

y M

?
o B x

A

1、当参数?变化时,动点 (3 cos? ,2 sin ? )所 P 确定的曲线必过 ( A、点(2,3), B、点(3,0) C、点(1,3), D、点(0, ) 2
它的焦距是多少? B
)

?

2 5

2、已知圆的方程为 2 ? y 2 ? 4 x cos? ? 2 y sin ? ? x 3 cos2 ? ? 0, (?为参数),那么圆心的轨迹的普 通 方程为__________ __________ ?

解:方程x 2 ? y 2 ? 4 x cos? ? 2 y sin ? ? 3 cos2 ? ? 0 可以化为( x ? 2 cos? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1
2 2

所以圆心的参数方程为 {

x ? 2 cos? y ? sin ?

(?为参数)

x2 2 化为普通方程是 ? y ? 1 4

x ? 3 ? 17 cos? 3、椭圆 { (?为参数)的中心坐标 y ? 8 sin ? ? 2 为 __________ , 准线方程为__________ ____.

(3,?2)

289 x ? 3? 15

小节:
椭圆的参数方程的形式

椭圆参数方程中参数的意义


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