高中数学竞赛讲义9

高中数学竞赛讲义（九）
──不等式

一、基础知识 不等式的基本性质： （1）a>b （3）a>b a-b>0； ac<bc; （2）a>b, b>c a>c； ac>bc； ac>bd; ; a+c>b+c； （4）a>b, c>0

（5）a>b,

c<0

（6）a>b>0, c>d>0

（7）a>b>0, n∈ + N （9）a>0, |x|<a

an>bn; -a<x<a, |x|>a

（8）a>b>0, n∈ + N x>a 或 x<-a;

（10）a, b∈ R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b∈ R，则(a-b)2≥0 （12）x, y, z∈ +，则 x+y≥2 R a2+b2≥2ab; , x+y+z

前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。 （6）因为 a>b>0, c>d>0，所以 ac>bc, bc>bd，所以 ac>bd；重复利用性质（6） ，可得性 质（7） ；再证性质（8） ，用反证法，若 与 a>b 矛盾，所以假设不成立，所以 ，由性质（7）得 ，即 a≤b，

；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,

-|b|≤b≤|b| ， 所 以 -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| ， 所 以 |a+b|≤|a|+|b| ； 下 面 再 证 （ 10 ） 的 左 边 ， 因 为 |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立； （11）显然成立；下证（12） ，因为 x+y-2 等 式 ， 令 ≥0，所以 x+y≥ ，当且仅当 x=y 时，等号成立，再证另一不

， 因 为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0， 所以 a3+b3+c3≥3abc， x+y+z≥ 即 时成立。 二、方法与例题 1．不等式证明的基本方法。 ， 等号当且仅当 x=y=z

（1）比较法，在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与0比较大小，或把 比较大小，最后得出结论。 例 1 设 a, b, c∈ + ， 试 证 ： 对 任 意 实 数 R

（A，B>0）与1

x,

y,

z,

有

x2+y2+z2

【证明】 左边-右边= x2+y2+z2

所以左边≥右边，不等式成立。 例2 若 a<x<1，比较大小：|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.

【 解 】

因 为 1-x

1 ， 所 以

loga(1-x)

0,

=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 0<1-x<1）. 所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|.

>log(1-x)(1-x)=1（因为0<1-x2<1，所以

>1-x>0,

（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止， 叙述方式为：要证??，只需证??。 例3 已知 a, b, c∈ +，求证：a+b+c-3 R 【证明】 要证 a+b+c 因为 ≥a+b ≥a+b 只需证 ， ，所以原不等式成立。

例4 已知实数 a, b, c 满足0<a≤b≤c≤

，求证：

【证明】 因为0<a≤b≤c≤

，由二次函数性质可证 a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，

所以

，

所以

，

所以只需证明

，

也就是证

，

只需证 b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。所以命题成立。 （3）数学归纳法。 例5 对任意正整数 n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n. 【证明】 1）当 n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。

2）设 n=k 时有 kk+1>(k+1)k，当 n=k+1时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即

>1. 因

为

，所以只需证 所以由数学归纳法，命题成立。 （4）反证法。

，即证 (k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1 ，只需证

(k+1)2>k(k+2)，即证 k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。

例6 设实数 a0, a1,?,an 满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0，求 证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数，不妨设 ar 是 a1, a2,?, an-1中第一 个出现的正数，则 a1≤0, a2≤0,?, ar-1≤0, ar>0. 于是 ar-ar-1>0，依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, ?, n-1)。 所以从 k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2≥?≥ar-ar-1>0. 因为 an≥ak-1≥?≥ar+1≥ar>0与 an=0矛盾。故命题获证。 （5）分类讨论法。

例7 已知 x, y, z∈ +，求证： R 【证明】 不妨设 x≥y, x≥z.

ⅰ）x≥y≥z，则

，x2≥y2≥z2，由排序原理可得

，原不等式成立。

ⅱ）x≥z≥y，则

，x2≥z2≥y2，由排序原理可得

，原不等式成立。 （6）放缩法，即要证 A>B，可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈ +). N

例8 求证：

【证明】

，得证。

例9 已知 a, b, c 是△ABC 的三条边长，m>0，求证：

【证明】

（因为 a+b>c） ，得证。 （7）引入参变量法。

例10 已知 x, y∈ +, l, a, b 为待定正数，求 f(x, y)= R

的最小值。

【解】 设

，则

，f(x,y)=

(a3+b3+3a2b+3ab2)=

，等号当且仅当

时成立。所以 f(x, y)min=

例11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.

【证明】

设 x1=k(x2+x3+x4) ， 依 题 设 有

≤k≤1, x3x4≥4 ， 原 不 等 式 等 价 于

(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即

(x2+x3+x4) ≤x2x3x4，因为 f(k)=k+

在

上递减，

所以

(x2+x3+x4)=

(x2+x3+x4)

≤

·3x2=4x2≤x2x3x4.

所以原不等式成立。 （8）局部不等式。

例12 已知 x, y, z∈ +，且 x2+y2+z2=1，求证： R

【证明】 先证

因为 x(1-x2)=

,

所以

同理

，

，

所以

例13 已知0≤a, b, c≤1，求证：

≤2。

【证明】 先证 即 a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为0≤a, b, c≤1，所以①式成立。

①

同理 三个不等式相加即得原不等式成立。 （9）利用函数的思想。

例14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1， f(a, b, c)= 求 值。

的最小

【解】 当 a, b, c 中有一个为0， 另两个为1时，f(a, b, c)=

，以下证明 f(a, b, c) ≥

. 不

妨设 a≥b≥c，则0≤c≤

, f(a, b, c)=

因为1=(a+b)c+ab≤

+(a+b)c， -c).

解关于 a+b 的不等式得 a+b≥2(

考虑函数 g(t)=

, g(t)在[

）上单调递增。

又因为0≤c≤

，所以3c2≤1. 所以 c2+a≥4c2. 所以2

≥

所以 f(a, b, c)=

≥

=

=

≥

下证

0 ①

c2+6c+9≥9c2+9

≥0

因为

，所以①式成立。

所以 f(a, b, c) ≥

，所以 f(a, b, c)min=

2．几个常用的不等式。

（1）柯西不等式：若 ai∈ bi∈ i=1, 2, ?, n，则 R, R, 等号当且仅当存在 λ∈ R，使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi,

变式1：若 ai∈ bi∈ i=1, 2, ?, n，则 R, R, 等号成立条件为 ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。

变式2：设 ai, bi 同号且不为0(i=1, 2, ?, n)，则 等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn.

（2）平均值不等式：设 a1, a2,?,an∈ +，记 Hn= R

, Gn=

,

An= 均≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an.

，则 Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平

【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn，再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn，以下仅证 Gn≤An. 1）当 n=2时，显然成立； 2）设 n=k 时有 Gk≤Ak，当 n=k+1时，记 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ ≥ 所以由数学归纳法，结论成立。 （3）排序不等式：若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn，则对于 b1, b2, ?, bn 的任意 2kGk+1, =Gk+1.

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1，即 Ak+1≥Gk+1.

排列

，有 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤

≤a1b1+a2b2+?+anbn.

【证明】

引理：记 A0=0，Ak=

，则

=

（阿贝尔求和法） 。 证法一：因为 b1≤b2≤?≤bn，所以 记 sk= ≥b1+b2+?+bk.

-( b1+b2+?+bk)，则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。

所

以

-(a1b1+a2b2+?+anbn)=

+snan≤0. 最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。 证法二： （调整法）考察 若 因为 ≥0， 所 调整后，和是不减的，接下来若 得左边不等式。 ，则继续同样的调整。至多经 n-1次调整 (j≤n-1)，则将 与 互换。 ，若 ，则存在。

就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可

例15 已知 a1, a2,?,an∈ +，求证； R

a1+a2+?+an.

【证明】 证法一： 因为 ≥2an.

， ?，

上述不等式相加即得

≥a1+a2+?+an.

证法二：由柯西不等式

(a1+a2+?+an)≥(a1+a2+?+an)2，

因为 a1+a2+?+an >0，所以 证法三： 设 a1, a2,?,an 从小到大排列为

≥a1+a2+?+an. ，则 ，

，由排序原理可得

=a1+a2+?+an≥

，得证。

注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题

1．已知0<x<1，a, b∈ +，则 R

的最小值是____________.

2．已知 x∈ +，则 R

的最小值是____________.

3．已知 a, b, c∈ R，且 a2+b2+c2=1, ab+bc+ca 的最大值为 M，最小值为 N，则 MN=___________.

4． 若不等式 5．若不等式

对所有实数 x 成立， a 的取值范围是____________. 则 x+a 的解是 x>m，则 m 的最小值是____________.

6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件.

7．若 a, b∈ +，则 a+b=1，以下结论成立是__________.① a4+b4≥ R

；②

≤a3+b3<1；

③

；④

；⑤

；⑥

8．已知0< <

，若

，则 =____________.

9 ． 已 知 q=(x1-a)2+(x2-a)2+?+(xn-a)2, 若 10．已知 a>0, b>0且 a

， p=(x1-

)2+(x2-

)2+?+(xn-

)2,

，则比较大小：p___________q.

b, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_________n.

11．已知 n∈ +，求证： N

12．已知0<a<1，x2+y=0，求证：loga(ax+ay) ≤loga2+

.

13．已知 x∈ R， 四、高考水平训练题

，求证：

1． 已知 A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈ 设 m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2， R)， 则下列结论成立的有]__________. 1） （ m≥n, p≥q; 2） （ m≤n, p≤q； m+p≥n+q； m+q≥n+p. （3） （4） 2．已知 a, b, c, d∈ R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比 较大小：M________N.

3．若 ________.

R+ ，且

，

，将

从小到大排列为

4．已知△ABC 的三边长 a, b, c 满足 b+c≤2a, a+c≤2b，则

的取值范围是________.

5．若实数 x, y 满足|x|+|y|≤1，则 z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________. 6．设函数 f(x)= (x∈ [-4,2])，则 f(x)的值域是________.

7 ． 对 x1>x2>0, 1>a>0 ， 记 x1x2________y1y2.

，比较大小：

8．已知函数

的值域是

，则实数 a 的值为________.

9．设 a≤b<c 是直角△ABC 的三边长，若不等式 最大值为________.

恒成立，则 M

10．实系数方程 x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则 的取值范围是________. 11．已知 a, b, c∈ + 且满足 a+b+c≥abc，求证：下列三个式子中至少有两个成立： R

12．已知 a, b∈ +且 R

，求证：对一切 n∈ +，(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. N

13．已知 a, b, c ∈ +，求证： R

14．设 x, y, z 是3个不全为零的实数，求 五、联赛一试水平训练题 1．已知 a1, a2, b1, b2, c1, c∈ R，a1c1小：P_______Q. 2．已知 x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________. =a2c2

的最大值。

>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大

3．二次函数 f(x)=x2+ax+b，记 M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，则 M 的最小值为__________. 4．设实数 a, b, c, d 满足 a≤b≤c≤d 或者 a≥b≥c≥d，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).

5．已知 xi∈ +, i=1, 2, ?,n 且 R n>1）.

，则 x1x2?xn 的最小值为__________（这里

6．已知 x, y∈ f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________. R,

7．已知0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n)，记 a2n+1=a1, a2n+2=a2，则 __________.

的最大值为

8．已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，则

的最大值为__________.

9．已知

≤x≤5，求证：

10．对于不全相等的正整数 a, b, c，求证：

11．已知 ai>0(i=1, 2, ?, n)，且

=1。又0<λ1≤λ2≤?≤λn，求证：

≤ 六、联赛二试水平训练题

1．设正实数 x, y, z 满足 x+y+z=1，求证： 2 ． 设 整 数 x1, x2, ?,xn 与 y1, y2, ?, yn 满 足 1<x1<x2<?<xn<y1<y2<?<ym, x1+x2+?+xn>y1+y2+?+ym，求证：x1x2xn>y1y2?ym. 3．设 f(x)=x2+a，记 f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, ?)，M={a∈ R|对所有正整数 n,

|fn(0)| ≤2}，求证：

。

4． 给定正数 λ 和正整数 n(n≥2)， 求最小的正数 M （λ） 使得对于所有非负数 x1, x2,?,xn ， ，

有 M(λ)

5．已知 x, y, z∈ +，求证：(xy+yz+zx) R 6．已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1，求证：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)， 并求出等号成立的条件。