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高中数学竞赛讲义9


高中数学竞赛讲义(九)
──不等式

一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b (3)a>b a-b>0; ac<bc; (2)a>b, b>c a>c; ac>bc; ac>bd; ; a+c>b+c; (4)a>b, c>0

(5)a>b,

c<0

(6)a>b>0, c>d>0

(7)a>b>0, n∈ + N (9)a>0, |x|<a

an>bn; -a<x<a, |x|>a

(8)a>b>0, n∈ + N x>a 或 x<-a;

(10)a, b∈ R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈ R,则(a-b)2≥0 (12)x, y, z∈ +,则 x+y≥2 R a2+b2≥2ab; , x+y+z

前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。 (6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重复利用性质(6) ,可得性 质(7) ;再证性质(8) ,用反证法,若 与 a>b 矛盾,所以假设不成立,所以 ,由性质(7)得 ,即 a≤b,

;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|,

-|b|≤b≤|b| , 所 以 -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| , 所 以 |a+b|≤|a|+|b| ; 下 面 再 证 ( 10 ) 的 左 边 , 因 为 |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立; (11)显然成立;下证(12) ,因为 x+y-2 等 式 , 令 ≥0,所以 x+y≥ ,当且仅当 x=y 时,等号成立,再证另一不

, 因 为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0, 所以 a3+b3+c3≥3abc, x+y+z≥ 即 时成立。 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 , 等号当且仅当 x=y=z

(1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与0比较大小,或把 比较大小,最后得出结论。 例 1 设 a, b, c∈ + , 试 证 : 对 任 意 实 数 R

(A,B>0)与1

x,

y,

z,



x2+y2+z2

【证明】 左边-右边= x2+y2+z2

所以左边≥右边,不等式成立。 例2 若 a<x<1,比较大小:|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.

【 解 】

因 为 1-x

1 , 所 以

loga(1-x)

0,

=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 0<1-x<1). 所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|.

>log(1-x)(1-x)=1(因为0<1-x2<1,所以

>1-x>0,

(2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止, 叙述方式为:要证??,只需证??。 例3 已知 a, b, c∈ +,求证:a+b+c-3 R 【证明】 要证 a+b+c 因为 ≥a+b ≥a+b 只需证 , ,所以原不等式成立。

例4 已知实数 a, b, c 满足0<a≤b≤c≤

,求证:

【证明】 因为0<a≤b≤c≤

,由二次函数性质可证 a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c),

所以



所以



所以只需证明



也就是证



只需证 b(a-b) ≤a(a-b),即(a-b)2≥0,显然成立。所以命题成立。 (3)数学归纳法。 例5 对任意正整数 n(≥3),求证:nn+1>(n+1)n. 【证明】 1)当 n=3时,因为34=81>64=43,所以命题成立。

2)设 n=k 时有 kk+1>(k+1)k,当 n=k+1时,只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1,即

>1. 因



,所以只需证 所以由数学归纳法,命题成立。 (4)反证法。

,即证 (k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1 ,只需证

(k+1)2>k(k+2),即证 k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。

例6 设实数 a0, a1,?,an 满足 a0=an=0,且 a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0,求 证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数,不妨设 ar 是 a1, a2,?, an-1中第一 个出现的正数,则 a1≤0, a2≤0,?, ar-1≤0, ar>0. 于是 ar-ar-1>0,依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, ?, n-1)。 所以从 k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2≥?≥ar-ar-1>0. 因为 an≥ak-1≥?≥ar+1≥ar>0与 an=0矛盾。故命题获证。 (5)分类讨论法。

例7 已知 x, y, z∈ +,求证: R 【证明】 不妨设 x≥y, x≥z.

ⅰ)x≥y≥z,则

,x2≥y2≥z2,由排序原理可得

,原不等式成立。

ⅱ)x≥z≥y,则

,x2≥z2≥y2,由排序原理可得

,原不等式成立。 (6)放缩法,即要证 A>B,可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈ +). N

例8 求证:

【证明】

,得证。

例9 已知 a, b, c 是△ABC 的三条边长,m>0,求证:

【证明】

(因为 a+b>c) ,得证。 (7)引入参变量法。

例10 已知 x, y∈ +, l, a, b 为待定正数,求 f(x, y)= R

的最小值。

【解】 设

,则

,f(x,y)=

(a3+b3+3a2b+3ab2)=

,等号当且仅当

时成立。所以 f(x, y)min=

例11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1,求证:(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.

【证明】

设 x1=k(x2+x3+x4) , 依 题 设 有

≤k≤1, x3x4≥4 , 原 不 等 式 等 价 于

(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4),即

(x2+x3+x4) ≤x2x3x4,因为 f(k)=k+



上递减,

所以

(x2+x3+x4)=

(x2+x3+x4)



·3x2=4x2≤x2x3x4.

所以原不等式成立。 (8)局部不等式。

例12 已知 x, y, z∈ +,且 x2+y2+z2=1,求证: R

【证明】 先证

因为 x(1-x2)=

,

所以

同理





所以

例13 已知0≤a, b, c≤1,求证:

≤2。

【证明】 先证 即 a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为0≤a, b, c≤1,所以①式成立。



同理 三个不等式相加即得原不等式成立。 (9)利用函数的思想。

例14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1, f(a, b, c)= 求 值。

的最小

【解】 当 a, b, c 中有一个为0, 另两个为1时,f(a, b, c)=

,以下证明 f(a, b, c) ≥

. 不

妨设 a≥b≥c,则0≤c≤

, f(a, b, c)=

因为1=(a+b)c+ab≤

+(a+b)c, -c).

解关于 a+b 的不等式得 a+b≥2(

考虑函数 g(t)=

, g(t)在[

)上单调递增。

又因为0≤c≤

,所以3c2≤1. 所以 c2+a≥4c2. 所以2



所以 f(a, b, c)=



=

=



下证

0 ①

c2+6c+9≥9c2+9

≥0

因为

,所以①式成立。

所以 f(a, b, c) ≥

,所以 f(a, b, c)min=

2.几个常用的不等式。

(1)柯西不等式:若 ai∈ bi∈ i=1, 2, ?, n,则 R, R, 等号当且仅当存在 λ∈ R,使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi,

变式1:若 ai∈ bi∈ i=1, 2, ?, n,则 R, R, 等号成立条件为 ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。

变式2:设 ai, bi 同号且不为0(i=1, 2, ?, n),则 等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn.

(2)平均值不等式:设 a1, a2,?,an∈ +,记 Hn= R

, Gn=

,

An= 均≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an.

,则 Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平

【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn,再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn,以下仅证 Gn≤An. 1)当 n=2时,显然成立; 2)设 n=k 时有 Gk≤Ak,当 n=k+1时,记 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ ≥ 所以由数学归纳法,结论成立。 (3)排序不等式:若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn,则对于 b1, b2, ?, bn 的任意 2kGk+1, =Gk+1.

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1,即 Ak+1≥Gk+1.

排列

,有 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤

≤a1b1+a2b2+?+anbn.

【证明】

引理:记 A0=0,Ak=

,则

=

(阿贝尔求和法) 。 证法一:因为 b1≤b2≤?≤bn,所以 记 sk= ≥b1+b2+?+bk.

-( b1+b2+?+bk),则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。





-(a1b1+a2b2+?+anbn)=

+snan≤0. 最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。 证法二: (调整法)考察 若 因为 ≥0, 所 调整后,和是不减的,接下来若 得左边不等式。 ,则继续同样的调整。至多经 n-1次调整 (j≤n-1),则将 与 互换。 ,若 ,则存在。

就可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理可

例15 已知 a1, a2,?,an∈ +,求证; R

a1+a2+?+an.

【证明】 证法一: 因为 ≥2an.

, ?,

上述不等式相加即得

≥a1+a2+?+an.

证法二:由柯西不等式

(a1+a2+?+an)≥(a1+a2+?+an)2,

因为 a1+a2+?+an >0,所以 证法三: 设 a1, a2,?,an 从小到大排列为

≥a1+a2+?+an. ,则 ,

,由排序原理可得

=a1+a2+?+an≥

,得证。

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题

1.已知0<x<1,a, b∈ +,则 R

的最小值是____________.

2.已知 x∈ +,则 R

的最小值是____________.

3.已知 a, b, c∈ R,且 a2+b2+c2=1, ab+bc+ca 的最大值为 M,最小值为 N,则 MN=___________.

4. 若不等式 5.若不等式

对所有实数 x 成立, a 的取值范围是____________. 则 x+a 的解是 x>m,则 m 的最小值是____________.

6.“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件.

7.若 a, b∈ +,则 a+b=1,以下结论成立是__________.① a4+b4≥ R

;②

≤a3+b3<1;



;④

;⑤

;⑥

8.已知0< <

,若

,则 =____________.

9 . 已 知 q=(x1-a)2+(x2-a)2+?+(xn-a)2, 若 10.已知 a>0, b>0且 a

, p=(x1-

)2+(x2-

)2+?+(xn-

)2,

,则比较大小:p___________q.

b, m=aabb, n=abba, 则比较大小:m_________n.

11.已知 n∈ +,求证: N

12.已知0<a<1,x2+y=0,求证:loga(ax+ay) ≤loga2+

.

13.已知 x∈ R, 四、高考水平训练题

,求证:

1. 已知 A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈ 设 m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2, R), 则下列结论成立的有]__________. 1) ( m≥n, p≥q; 2) ( m≤n, p≤q; m+p≥n+q; m+q≥n+p. (3) (4) 2.已知 a, b, c, d∈ R,M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比 较大小:M________N.

3.若 ________.

R+ ,且



,将

从小到大排列为

4.已知△ABC 的三边长 a, b, c 满足 b+c≤2a, a+c≤2b,则

的取值范围是________.

5.若实数 x, y 满足|x|+|y|≤1,则 z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________. 6.设函数 f(x)= (x∈ [-4,2]),则 f(x)的值域是________.

7 . 对 x1>x2>0, 1>a>0 , 记 x1x2________y1y2.

,比较大小:

8.已知函数

的值域是

,则实数 a 的值为________.

9.设 a≤b<c 是直角△ABC 的三边长,若不等式 最大值为________.

恒成立,则 M

10.实系数方程 x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1,另一个根大于1且小于2,则 的取值范围是________. 11.已知 a, b, c∈ + 且满足 a+b+c≥abc,求证:下列三个式子中至少有两个成立: R

12.已知 a, b∈ +且 R

,求证:对一切 n∈ +,(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. N

13.已知 a, b, c ∈ +,求证: R

14.设 x, y, z 是3个不全为零的实数,求 五、联赛一试水平训练题 1.已知 a1, a2, b1, b2, c1, c∈ R,a1c1小:P_______Q. 2.已知 x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________. =a2c2

的最大值。

>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2,比较大

3.二次函数 f(x)=x2+ax+b,记 M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|},则 M 的最小值为__________. 4.设实数 a, b, c, d 满足 a≤b≤c≤d 或者 a≥b≥c≥d,比较大小: 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).

5.已知 xi∈ +, i=1, 2, ?,n 且 R n>1).

,则 x1x2?xn 的最小值为__________(这里

6.已知 x, y∈ f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________. R,

7.已知0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n),记 a2n+1=a1, a2n+2=a2,则 __________.

的最大值为

8.已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1,则

的最大值为__________.

9.已知

≤x≤5,求证:

10.对于不全相等的正整数 a, b, c,求证:

11.已知 ai>0(i=1, 2, ?, n),且

=1。又0<λ1≤λ2≤?≤λn,求证:

≤ 六、联赛二试水平训练题

1.设正实数 x, y, z 满足 x+y+z=1,求证: 2 . 设 整 数 x1, x2, ?,xn 与 y1, y2, ?, yn 满 足 1<x1<x2<?<xn<y1<y2<?<ym, x1+x2+?+xn>y1+y2+?+ym,求证:x1x2xn>y1y2?ym. 3.设 f(x)=x2+a,记 f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, ?),M={a∈ R|对所有正整数 n,

|fn(0)| ≤2},求证:



4. 给定正数 λ 和正整数 n(n≥2), 求最小的正数 M (λ) 使得对于所有非负数 x1, x2,?,xn , ,

有 M(λ)

5.已知 x, y, z∈ +,求证:(xy+yz+zx) R 6.已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证:2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c), 并求出等号成立的条件。


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