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高考总复习创新设计数理+高考专题1+高考函数与导数命题动向


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专题一 高考函数与导数命题动向

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高考命题分析 函数是数学永恒的主题,是中学数学最重要的主干知识之一; 导数是研究函数的有力工具,函数与导数不仅是高中数学的核 心内容,还是学习高等数学的基础,而且函数的观点及其思想 方法贯穿于整个高中数学教学的全过程,高考对函数的考查更 多的是与导数的结合,发挥导数的工具性作用,应用导数研究 函数的性质、证明不等式问题等,体现出高考的综合热点.所 以在高考中函数知识占有极其重要的地位,是高考考查数学思 想、数学方法、能力和素质的主要阵地.

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高考命题特点 函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性,既有选择 题、填空题,又有解答题.其命题特点如下: (1)全方位:近年新课标的高考题中,函数的知识点基本都有所 涉及,虽然高考不强调知识点的覆盖率,但函数知识点的覆盖 率依然没有减小.

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(2)多层次:在近年新课标的高考题中,低档、中档、高档难度 的函数题都有,且题型齐全.低档难度题一般仅涉及函数本身 的内容,诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等,且对 能力的要求不高;中、高档难度题多为综合程度较高的试题, 或者函数与其他知识结合,或者是多种方法的渗透. (3)巧综合:为了突出函数在中学数学中的主体地位,近年高考 强化了函数与其他知识的渗透,加大了以函数为载体的多种方 法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息 处理能力)的综合程度.
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(4)变角度:出于“立意”和创设情景的需要,函数试题设置问 题的角度和方式也不断创新,重视函数思想的考查,加大了函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度,从而使函数 考题显得新颖、生动、灵活. (5)重能力:以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、 数列等)交汇命题.利用导数解决相关问题,是命题的热点,而 且不断丰富创新.解决该类问题要注意函数与方程、转化与化 归、分类讨论等数学思想的应用.综合考查学生分析问题、解 决问题的能力和数学素养.
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高考动向透视 函数的概念和性质
函数既是高中数学中极为重要的内容,又是学习高等数学的基 础.函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单 调性、奇偶性、周期性等内容.纵观全国各地的高考试题,可 以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主,难度中等偏 下,在解答题中主要与多个知识点交汇命题,难度中等.

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【示例 1】?(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 解析 法一 B.-1 ). C.1 D.3

∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)

=2x2-x,∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3.故选 A. 法二 设 x>0, 则-x<0, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, x≤0 且

时,f(x)=2x2-x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x) =-f(x),∴f(x)=-2x2 -x,∴f(1)=-2×12 -1=-3,故选 A. 答案 A
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本题考查函数的奇偶性和函数的求值, 解题思路有两 个:一是利用奇函数的性质,直接通过 f(1)=-f(-1)计算;二 是利用奇函数的性质, 先求出 x>0 时 f(x)的解析式, 再计算 f(1).

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指数函数、对数函数、幂函数
指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位,因此高考对指 数函数的考查有升温的趋势,重点是指数函数的图象和性质, 以及函数的应用问题.对于幂函数应重点掌握五种常用幂函数 的图象及性质,此时,幂的运算是解决有关指数问题的基础, 也要引起重视.对数函数在新课标中适当地降低了要求,因此 高考对它的考查也会适当降低难度, 但它仍是高考的热点内容, 重点考查对数函数的图象和性质及其应用.

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【示例 2】?(2011· 天津)已知 a=5 则( ). B.b>a>c
-log30.3

log23.4

,b=5

log43.6

?1? ,c=?5?log30.3, ? ?

A.a>b>c 解析

C.a>c>b

D.c>a>b

因为 c=5



10 , log23.4>log3 3.4>log3 3 > 又

1>log43.6>0,且指数函数 y=5x 是 R 上的增函数,所以 a>c >b.故选 C. 答案 C

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本题主要考查指数函数单调性的应用、 对数式的大小 比较.一般是利用指数函数单调性进行比较.对数式的比较类 似指数式的比较,也可以寻找中间量.

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函数的应用
函数的应用历来是高考重视的考点,新课标高考更是把这个考 点放到了一个重要的位置.相对于大纲的高考,新课标高考无 论在考查内容上还是力度上都有所加强,这主要体现在函数与 方程方面,函数与方程已经成为新课标高考的一个命题热点, 值得考生重视.

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【示例 3】?(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期 函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在 区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 B.7 C.8 ). D.9

解析 由 f(x)=0, x∈[0,2)可得 x=0 或 x=1, 即在一个周期内, 函数的图象与 x 轴有两个交点,在区间[0,6)上共有 6 个交点, 当 x=6 时,也是符合要求的交点,故共有 7 个不同的交点.故 选 B. 答案 B

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本小题考查对周期函数的理解与应用, 考查三次方程 根的求法、转化与化归思想及推理能力,难度较小.求解本题 的关键是将 f(x)=x3-x 进行因式分解,结合周期函数的性质求 出 f(x)=0 在区间[0,6]上的根,然后将方程 f(x)=0 的根转化为 函数图象与 x 轴的交点问题.

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导数的概念及运算
从近两年的高考试题来看,利用导数的几何意义求曲线在某点 处的切线方程是高考的热点问题,解决该类问题必须熟记导数 公式,明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率,切点 既在切线上又在曲线上.

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【示例 4】 ?已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上, 曲线在点 P 处的切 线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为________. 解析 由题意知,函数 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线的斜率等于
3 3, f′(x0)=4x0-1=3, 0=1, 即 ∴x 将其代入 f(x)中可得 P(1,0).

答案 (1,0) 本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能 力.

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利用导数求函数的单调区间、极值、最值

从近两年的高考试题来看,利用导数研究函数的单调性和极、 最值问题已成为高考考查的热点.解决该类问题要明确:导数 为零的点不一定是极值点,导函数的变号零点才是函数的极值 点;求单调区间时一定要注意函数的定义域;求最值时需要把 极值和端点值逐一求出,比较即可.

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【示例 5】?已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x =1 处的切线 l 不过第四象限且斜率为 3,又坐标原点到切线 l 10 2 的距离为 ,若 x= 时,y=f(x)有极值. 10 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

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(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得

f′(x)=3x2+2ax+b. 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0.
? 2? 2 当 x=3时,y=f(x)有极值,则 f′?3?=0,可得 ? ?



4a+3b+4=0. 由①②解得 a=2,b=-4. 设切线 l 的方程为 y=3x+m



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10 由原点到切线 l 的距离为 , 10 |m| 10 则 2 = 10 ,解得 m=± 1. 3 +1 ∵切线 l 不过第四象限∴m=1, 由于切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4, ∴1+a+b+c=4 ∴c=5.

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(2)由(1)可得 f(x)=x3+2x2-4x+5, 2 ∴f′(x)=3x +4x-4.令 f′(x)=0,得 x=-2,x=3.
2

f(x)和 f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) [-3,-2) + ? -2 0 极大值
? 2? ?-2, ? 3? ?

2 3 0 极小值

?2 ? ? ,1? ?3 ?

- ?

+ ?

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∴f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=13,
?2? 95 2 在 x= 处取得极小值 f?3?= . 3 ? ? 27

又 f(-3)=8,f(1)=4, 95 ∴f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27

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在解决类似的问题时, 首先要注意区分函数最值与极 值的区别.求解函数的最值时,要先求函数 y=f(x)在[a,b]内 所有使 f′(x)=0 的点, 再计算函数 y=f(x)在区间内所有使 f′(x) =0 的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.

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突出以函数与导数为主的综合应用

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高考命题强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问 题入手,把握数学学科的整体意义,加强对知识的综合性和应 用性的考查.中学数学的内容可以聚合为数和形两条主线,其 中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识,我们可 以把方程看作函数为零,不等式看成两个函数值的大小比较、 数列、三角则是特殊的一类函数.所以,高考试题中涉及函数 的考题面很广.新课标高考对有关函数的综合题的考查,重在 对函数与导数知识理解的准确性、深刻性,重在与方程、不等 式、数列、解析几何等相关知识的相互联系,要求考生具备较 高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力, 体现了以函数为载体,多种能力同时考查的命题思想.
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【示例 6】?(2011· 福建)已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x) =-ax+b+axln x,f(e)=2(e=2.718 28?是自然对数的底数). (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一 个 t∈[m, M], 直线 y=t 与曲线
? ?1 ?? y=f(x)?x∈? e,e??都有公共点? ? ? ??

若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不存在,说明 理由.

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解 (1)由 f(e)=2 得 b=2. (2)由(1)可得 f(x)=-ax+2+axln x. 从而 f′(x)=aln x.因为 a≠0,故 ①当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x>1,由 f′(x)<0 得 0<x<1; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0 得 0<x<1,由 f′(x)<0 得 x>1. 综上,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调 递减区间为(0,1); a<0 时, 当 函数 f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1,+∞).

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(3)当 a=1 时,f(x)=-x+2+xln x,f′(x)=ln x. 由(2)可得,当 x 如下表: x f′(x) f(x) 1 e
?1 ? ? ,1? ?e ? ?1 ? 在区间? e,e?内变化时,f′(x),f(x)的变化情况 ? ?

1 0

(1,e) +

e



2 2- 单调递减 极小值 1 单调递增 2 e

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? ?1 ?? 2 又 2- <2,所以函数 f(x)?x∈?e,e??的值域为[1,2].据此可得, e ? ? ?? ?m=1, ? 若? ?M=2. ?

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则对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=

? ?1 ?? f(x)?x∈?e,e??都有公共点; ? ? ??

并且对每一个 t∈(-∞,m)∪(M,+∞),直线 y=t 与曲线 y
? ?1 ?? =f(x)?x∈?e,e??都没有公共点. ? ? ??

综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1,最大的实数 M=2, 使得对每一个 t∈[m, M], 直线 y=t 与曲线 有公共点.
? ?1 ?? y=f(x)?x∈? e,e??都 ? ? ??

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本题主要考查函数、 导数等基础知识. 考查推理论证 能力、抽象概括能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.

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