当前位置:首页 >> 数学 >>

一元三次方程求根公式


一元三次方程求根公式
目录 盛金公式 盛金判别法 盛金定理 传统解法 方程公式历史 一元三次方程求根公式 1. 卡尔丹公式的推导 2. 卡尔丹公式 3. 卡尔丹判别法 根与系数的关系 一个三次方求根计算方法 一元三次方程置换群解法 盛金公式 三次方程新解法——盛金公式解题法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公 式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。 范盛金推导出一套直接用 a、b、c、d 表达的较简明形式的一元三次方程的 一般式新求根公式,并建立了新判别法。 盛金公式(Shengjin's Formulas) 一元三次方程 aX 3 +bX2 +cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且 a≠0)。 重根判别式:A=b 2 -3ac;B=bc-9ad;C=c2 -3bd, 总判别式:Δ=B2 -4AC。 当 A=B=0 时,盛金公式①: X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。 当 Δ =B2 -4AC>0 时,盛金公式②: X1=(-b-(Y1)1/3 -(Y2) 1/3 )/(3a); X2,X3=(-2b+(Y1) 1/3 +(Y2) 1/3 )/(6a)±3 1/2 ((Y1) 1/3 )-(Y2)1/3 )i/(6a), 其中 Y1,Y2=Ab+3a(-B±(B2 -4AC)1/2 )/2,i 2 =-1。 当 Δ =B2 -4AC=0 时,盛金公式③: X1=-b/a+K;X2=X3=-K/2, 其中 K=B/A,(A≠0)。 当 Δ =B2 -4AC<0 时,盛金公式④:

X1=(-b-2A1/2 cos(θ/3))/(3a); X2,X3=(-b+A1/2 (cos(θ/3)±3 1/2 sin(θ/3)))/(3a), 其中 θ =arccosT,T= (2Ab-3aB)/(2A 3/2 ),(A>0,-1<T<1)。

盛金判别法 盛金判别法(Shengjin's Distinguishing Means) ① 当 A=B=0 时,方程有一个三重实根; ② 当 Δ =B^2-4AC>0 时,方程有一个实根和一对共轭虚根; ③ 当 Δ =B^2-4AC=0 时,方程有三个实根,其中有一个两重根; ④当 Δ =B^2-4AC<0 时,方程有三个不相等的实根。

盛金定理 盛金定理(Shengjin's Theorems) 当 b=0,c=0 时,盛金公式①无意义;当 A=0 时,盛金公式③无意义; 当 A≤0 时,盛金公式④无意义;当 T<-1 或 T>1 时,盛金公式④无意义。 当 b=0,c=0 时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否 存在 A≤0 的值?盛金公式④是否存在 T<-1 或 T>1 的值?盛金定理给出如 下回答: 盛金定理 1:当 A=B=0 时,若 b=0,则必定有 c=d=0(此时,方程有一 个三重实根 0,盛金公式①仍成立)。 盛金定理 2:当 A=B=0 时,若 b≠0,则必定有 c≠0(此时,适用盛金公 式①解题)。 盛金定理 3: A=B=0 时, 当 则必定有 C=0 (此时,适用盛金公式①解题) 。 盛金定理 4:当 A=0 时,若 B≠0,则必定有 Δ >0(此时,适用盛金公 式②解题)。 盛金定理 5:当 A<0 时,则必定有 Δ >0(此时,适用盛金公式②解题)。 盛金定理 6:当 Δ =0 时,若 A=0,则必定有 B=0(此时,适用盛金公式 ①解题)。 盛金定理 7:当 Δ =0 时,若 B≠0,盛金公式③一定不存在 A≤0 的值 (此时,适用盛金公式③解题)。 盛金定理 8:当 Δ <0 时,盛金公式④一定不存在 A≤0 的值。(此时, 适用盛金公式④解题)。 盛金定理 9:当 Δ <0 时,盛金公式④一定不存在 T≤-1 或 T≥1 的值, 即 T 出现的值必定是-1<T<1。 显然,当 A≤0 时,都有相应的盛金公式解题。 注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当 Δ >0 时,不一定有 A<0。

盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方 程都可以运用盛金公式直观求解。 当 Δ =0(d≠0)时,使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式 相比较,盛金公式的表达形式较简明,使用盛金公式解题较直观、效率较 高; 盛金判别法判别方程的解较直观。 重根判别式 A=b^2-3ac; B=bc-9ad; C=c^2-3bd 是最简明的式子,由 A、B、C 构成的总判别式 Δ =B^2-4AC 也 是最简明的式子(是非常美妙的式子),其形状与一元二次方程的根的判 别式相同;盛金公式②中的式子(-B±(B2 -4AC)^(1/2))/2 具有一元二次 方程求根公式的形式,这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简 洁美。 以上结论,发表在《海南师范学院学报(自然科学版)》(第 2 卷, 第 2 期;1989 年 12 月,中国海南。国内统一刊号:CN46-1014),第 91—98 页。范盛金,一元三次方程的新求根公式与新判别法。(NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2; Dec, 1989) A new extracting formula and a new distinguishing , means on the one variable cubic equation., Fan Shengjin. PP·91—98 .

传统解法

一元 三次 ax^3 +bx^2+cx+d=0 可用求根公式 x= 求解,它是由方程系数 直接把根表示出来的公式。 这个公式早在公元 9 世纪由中亚细亚的阿尔·花 木子米给出。 南宋数学家秦九韶至晚在 1247 年就已经发现一元三次方程的 求根公式,欧洲人在 400 多年后才发现,但在中国的课本上这个公式仍是 以那个欧洲人的名字来命名的。 (《数学九章》等)

一元三次方程求根公式
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方 程的求根公式的配方法只能将型如 ax^3+bx^2+cx+d=0 的标准型一元三次方程形式化 为 x^3+px+q=0 的特殊型。

卡尔丹公式的推导
第一步: ax^3+bx^2+cx+d=0 为了方便,约去 a 得到 x^3+kx^2+mx+n=0 令 x=y-k/3 , 代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ,

(y-k/3)^3 中的 y^2 项系数是-k , k(y-k/3)^2 中的 y^2 项系数是 k , 所以相加后 y^2 抵消 , 得到 y^3+py+q=0, 其中 p=(-k^2/3)+m , q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。 第二步: 方程 x^3+px+q=0 的三个根为: x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3); x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3); x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3), 其中 w=(-1+i√3)/2。 ×推导过程: 1、方程 x^3=1 的解为 x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ; 2、方程 x^3=A 的解为 x1=A^(1/3),x2=A^(1/3)ω,x3=A^(1/3)ω^2 , 3 、 一 般 三 次 方 程 ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0), 两 边 同 时 除 以 a, 可 变 成 x^3+sx^2+tx+u=0 的形式。 再令 x=y-s/3,代入可消去次高项,变成 x^3+px+q=0 的形式。 设 x=u+v 是方程 x^3+px+q=0 的解,代入整理得: (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①, 如果 u 和 v 满足 uv=-p/3,u^3+v^3=-q 则①成立, 由一元二次方程韦达定理 u^3 和 V^3 是方程 y^2+qy-(p/3)^3=0 的两个根。 解之得,y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2), 不妨设 A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2), 则 u^3=A;v^3=B , u= A^(1/3)或者 A^(1/3)ω 或者 A^(1/3)ω^2 ; v= B^(1/3)或者 B^(1/3)ω 或者 B^(1/3)ω^2 , 但是考虑到 uv=-p/3,所以 u、v 只有三组解: u1= A^(1/3),v1= B^(1/3); u2=A^(1/3)ω,v2=B^(1/3)ω^2; u3=A^(1/3)ω^2,v3=B^(1/3)ω, 最后: 方程 x^3+px+q=0 的三个根也出来了,即

x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3); x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2; x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

卡尔丹公式
方程 x^3+px+q=0, (p,q∈R) 判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。 x1=A^(1/3)+B^(1/3); x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2; x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 这就是著名的卡尔丹公式。

卡尔丹判别法
当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0 时,有一个实根和一对个共轭虚根; 当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0 时,有三个实根,其中两个相等; 当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0 时,有三个不相等的实根。

根与系数的关系 设 ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)的三根为 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=-b/a; x1x2+x2x3+x1x3=c/a; x1x2x3=-d/a。

一个三次方求根计算方法 下面介绍一个三次方求根计算方法: X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3 n,n+1 是下角标,A 被开方数。 例如,A=5,5 介于 1 的 3 次方至 2 的 3 次方之间。X0 可以取 1.1;1.2; 1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0 我们可以随意代入一个数,例 如 2,那么: 第一步,2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1; 第二步,1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2; 第三步,1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3;

每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。

一元三次方程置换群解法 一元三次方程 系数和根的关系如下:

求出 X,Y,后有

这是个线性方程,其中

为原方程的三个根!
词条图片(共 7 张图片)
返回词条 返回所有图册


相关文章:
一元三次方程求根问题
目前, 我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程,下面,我就尝试将 这个问题解决。 显然,所有的一元三次方程都可以转化为 x3+bx2+cx+d=0 的形式, 先从...
一元三次方程求根公式
浅谈一元三次方程求根公式—《数学文化》的读书报告 邹琼 机械设计制造及其自动化 2009-4 班,学号:2009302216 摘要:使方程两边左右相等的未知数叫做方程的解.一元...
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式_数学_高中教育_教育专区。一元三次方程求根公式 编辑词条 B 添加义项 ? 三次方程是未知项总次数最高为 3 的整式方程, 一元三次方程一...
一元三次方程求根公式
卡尔丹公式 3. 卡尔丹判别法 根与系数的关系 一个三次方求根计算方法 一元三次方程置换群解法 盛金公式 三次方程新解法——盛金公式解题法 三次方程应用广泛。...
浅谈一元三次方程解法
试根法和倒数法可以快速巧妙解决 一元三次方程根的问题,规避运用繁琐的公式解...(x+1)后,该方程仍是一个倒数方程,这就是此类方程的求根方法,可以达到 降次...
一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型
一元三次方程求根公式用通常的演 绎 思维是作不出 来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能 将 型如 ax^3+bx^2+cx+d+0 的标准型一元三次...
一元三次方程的解法
求根公式如下: , 综上所述,实系数一元三次方程 令,, 1)当 ,时,方程有一个实根和两个共轭虚根, 2)当 时,方程有三个实根,其中至少有两个相等的实...
一元三次方程的解法
公式"沿用至今.以下介绍的解法,就是上文中提到的解 法. 一元三次方程的解法 一元三次方程求根公式用通常的演绎思维是作不出来的, 用类似解一元二 次方程...
一元三次方程的盛金公式解题法
盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义.任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金 ... ... 公式直观求解. ... 2 当 = 0(d ≠ 0 ) 时,使用卡尔丹公式解...
一元三次方程
一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程一元三次方程求根公式: 以下是传统解法 一元二次 ax^2 +bx+c=0 可用求根公式 x= 求解,它是由方程系数直接...
更多相关标签: