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数学-如东县掘港高级中学2012-2013学年高一下学期第一次调研测试数学试题


如东县掘港高级中学高一第二学期第一次调研考试 数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分)
o 1. sin 2205 =

2013.3.29

.

2.函数 y=

sin x sin x

?

cos

x cos x

?

2 sin x cos x sin x cos x

的值域为

.

??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ???? ? 3 . 化 简 以 下 各 式 : ① AB ? BC ? CA ; ② AB ? AC ? BD ? CD ; ③OA ? OD ? AD ;

???? ??? ???? ???? ? ? ④ ? QP ? MN ? MP .其结果为 0 的个数是 NQ

. .

4.若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是

5. 已知 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos( ? x ? ? ) ? 4 ( a, b, ? , ? 为非零实数) ,f(2012)=5 , 则f(2013)= 6.函数 y ? 3sin( ?2 x ? 7.已知 sin(? ? ? ) ? 8. 方程 sin ? x ? .

?
6

) ( x ? [0, ? ]) 的单调递增区间是

. .

3 且 ? 是第三象限的角,则 cos(? ? 2? ) = 5
.

1 x 的解的个数是 4

9.已知向量 e1 ? 0, e2 ? 0, ? ? R. 向量a ? e1 ? ? e2 , b ? 2 e2 , 若a与b共线,则下列关系中 一定成立的是 .

① ? ? 0 ;② e2 ? 0 ;③ e1 // e2 ;④ e1 // e2 或 ? ? 0 10.函数 y=lgsin2x+ 9 ? x 2 的定义域为 11.函数 y=2 sin ?x 在区间 ?? .

? ? ?? , ? 上是递增的,则实数 ? 的取值范围为 ? 3 4?
3? 的函数, 2
.

12.设 f ( x ) 是定义域为 R,最小正周期为

? ? 15? ?cos x, (? ? x ? 0) )? 若 f ( x)= ? ,则 f (? 2 4 ?sin x, (0 ? x ? ? ) ?

13. 在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 中 , R ,则 + = _________.

=

+

,其

1

14.给出下列命题: ① 存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ? 1 ; ②函数 y ? sin( ? ? x ) 是偶函数 ③ x?

?
8

3 2

是函数 y ? sin( 2 x ?

5 ? ) 的一条对称轴方程;④若 ?、? 是第一象限的角, 4

且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ;其中正确命题的序号是_______________ 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15. (本题 14 分)已知 tan ? ? 2, ? ? (? ,

sin ?? ? ? ? ? 2sin(
求: (1)

3? ??) 2 ; cos ? 3? ? ? ? ? 1

3? ), 2
(2) sin ? cos ?

16. (本题 14 分) 已知向量 a

? 2 e ? 3 e , b ? 2 e ? 3 e , 其中 e , 为不共线向量。 e
1 2 1 2
1 2

(1)用向量 a, b 表示 e1, ;(2)向量 a, b 是否共线?请说明理由。 e2

17. (本题 14 分)函数 y ? 2 sin( 2 x ? ? ) ( 0 ? ? ? (1)求 ? ; (2)求该函数对称中心、单调区间; (3)在图上画出函数 y ? 2 sin( 2 x ? ? ) 在 [ ?

?
2

) 的一条对称轴为直线 x ?

?
12



? 5?
6 , 6

] 上的简图.

2

18. (本题 16 分)已知某海滨浴场的海浪高度 y ?m ? 是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函 数,记作 y ? f ?t ? .下表是某日各时的浪高数据:

t
y

0
1 .5

3 1 .0

6
0 .5

9 1 .0

12

15 1 .0

18 0 .5

21

24

1 .5

0.99

1 .5

经长期观察, y ? f ?t ? 的曲线可近似地看成是函数 y ? A sin ? ?t ? (1)根据以上数据,求出函数 y ? A sin ? ?t ?

? ?

??

? ? b 的图象. 2?

? ?

??

? ? b 的最小正周期 T ,振幅 A 及函数表 2?

达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判 断一天内的上午 8 : 00 到晚上 20 : 00 之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?

19.(本题 16 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?
2

?? sin sin ? 0, ? (I)若 cos cos, ? ? 4 4

?

求 ? 的值; (Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x )

的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m , 3

使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

3

20、 (本题 16 分)设关于 x 的函数 y ? 2cos2 x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 的最小值为 f ( a ) , 试确定满足 f (a ) ?

1 的 a 的值,并对此时的 a 值求 y 的最大值。 2

如东县掘港高级中学高一第二学期第一次质量调研答题纸
一填空题: 1. 6. 11. 2. 7. 12. 3. 8. 13. 4. 9. 14. 5. 10.

15 题:

学号

4



16 题

17 题:

5

y
3 2 1

?

?
6

O ?
-1 12 -2 -3

? 3

7? 12

5? 6

x

6

18 题:

7

19 题

20 题:

8

如东县掘港高级中学高一数学试卷调研考试答案
一、填空题 1.

2 ; 2. {0,2,-4}; 3.4 ; 4.4;5. 5 2

? 2? 4 ; 6. [ , ] ;7. ? ; 8. 7 ; 6 3 5

4 2 ? 3? ?? ? ?? ? 9. ④;10. ?? 3,? ? ? ? 0, ? 2 ? 2 2 ;11. ? 0, ? ;12. ;13. ;14. ②③ 2? ? 2? ? 2 ? 2? 3

9

16.(1) e1

1 1 ? (a ? b); e ? ? (a ? b) ;6 分(2)不共线,理由略。 4 6
2

14 分

17. 解: (1) ? ?

?
3

;4 分; ( (2)

k? ? 5? ?? ? ? ,0) ;增区间 ?k? ? , k? ? ?; 减区间 2 6 12 12? ?
(3)如下图 列表、描点、连线。14 分

? 7? ? ? ?k? ? 12 , k? ? 12 ? ;8 分 ? ?

y
3 2 1

?
?
1

?
6

O -1 -2 -3

? 12

? 3

7? 12

5? x 6
?
1

? 6

? 6

2? 2? ? ? ? .2 分 T 12 6 由 t ? 0, y ? 1.5 ,得 A ? b ? 1.5 ——①,由 t ? 3, y ? 1.0 ,得 b ? 1.0 ——②,由①②联立 1 1 1 ?? ?? 解得 A ? , b ? 1 ,∴振幅为 ,函数表达式为 y ? sin ? t ? ? ? 1. 6分 2 2 2 ?6 2?
18. 解:(1)由表中数据,知周期 T ? 12 ,∴ ? ? (2)由题意知, y ? 1 时才可对冲浪者开放, 当 由 ∴ 2k? ?

1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? 1 ? 1 ,得 cos ? t ? ? 0 , 2 ?6 2? ?6 ?

?
2

?

?
6

t ? 2k? ?

?
2

,即 12k ? 3 ? t ? 12k ? 3?k ? Z ? ——③,∵ 0 ? t ? 24 ,∴

可令③中 k 分别为 0,1,2 ,得 0 ? t ? 3 或 9 ? t ? 15 或 21 ? t ? 24 .∴在规定时间上午 8 : 00 到晚上 20 : 00 之间,有 6 个小时可供冲浪者运动,即上午 9 : 00 到下午 15 : 00 . 16 分 19.解: (Ⅰ)tan ? =1, | ? |?

?
2

,?? ?

?
4 ) ,依题意, T ? ? 2 3

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 又T ?

?
4

2?

?

, 故函数 f ( x) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

? ? ?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ? ? k? ? (k ? Z ) 4 2 4? ?

10

即m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ?

? 12

(第一问 6 分,第二问 10 分)

20.解:令 cos x ? t , t ?[?1,1] ,则 y ? 2t 2 ? 2at ? (2a ? 1) ,对称轴 t ? 当

a , 2

a 1 ? ?1 ,即 a ? ?2 时, [?1,1] 是函数 y 的递增区间, ymin ? 1 ? ; 2 2 a 1 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, [?1,1] 是函数 y 的递减区间, ymin ? ?4a ? 1 ? , 2 2 1 得 a ? ,与 a ? 2 矛盾; 8
当 ?1 ?

a a2 1 ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymin ? ? ? 2a ? 1 ? , a 2 ? 4a ? 3 ? 0 2 2 2

得 a ? ?1, 或 a ? ?3 ,? a ? ?1 ,此时 ymax ? ?4a ? 1 ? 5 。

11


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