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梅县东山中学2010-2011学年高一下学期期中考试(数学)


梅县东山中学高一级第二学期期中考试
数学试题(2011,4)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. sin105? cos105? 的值为 ( ) A.

1 4

B.-
2

1 4

C.

3 4

D.-

/>
3 4

2.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n -2n+3,则此数列的前 3 项依次为( ) A.-1,1,3 B.2,3,6 C.6,1,3 3.在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2: 3 , 则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 B. 3: 2 :1 )

D.2,1,3

C. 1: 3 : 2 )

D. 2 : 3 :1

4.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, c ? 3 ,则最大角的余弦是( A. ?

1 5

B. ?

1 6

C. ?

1 7

D. ?

1 8

5.已知 ? 和 ? 都是锐角,且 sin ? ? A.

33 65

B.

16 65

5 4 , cos ?? ? ? ? ? ? ,则 sin ? 的值是( ) 13 5 56 63 C. D. 65 65
) D.不能确定

6.△ABC 中,∠A=60°, a ? A.无解 7.已知 x ? (? A.
7 24

6 , b ? 4 , 那么满足条件的△ABC(
B.有一个解 C.有两个解 )
24 7

?
2

, 0) , cos x ?
B. ?

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
7 24

C.

D. ?

24 7

8.设 a 、 b 是夹角为

的单位向量,则 2a ? b 和 3a ? 2b 的夹角为(



A.

B.

C.

D. )

9.设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 B. ?1

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
C. 2

A. 1

D.

1 2


10.记等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , | a3 |?| a11 | , 若 且公差 d ? 0 , 则当 S n 取最大值时, ? n (

1

A.4 或 5

B.5 或 6

C.6 或 7

D.7 或 8

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 1,

2 , 3

1 , 2

2 ,? 的一个通项公式是 5



12.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶4h 后,船 到达 C 处,看到这个灯塔 B 在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 km. 13. 已知| a |=3,| b |=2, a 与 b 夹角为 60 ,如果(3 a +5 b )⊥(m a – b ) ,则 m 值为_____。 14.将正整数排成下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 。。 。。 。。 。 。 。 则数表中的 2011 出现在第 _______ 行. 三.解答题(6 小题,共 80 分) 15. (12 分) 在△ABC 中,已知边 c=10, 又知
0

9 14

15

16

cos A b 4 (12 分) ? ? , 求边 a、b 的长。 cos B a 3

16. (12 分) 在等差数列{an}中,a1=-60, a17=-12. (1)求通项 an; (2)求此数列前 30 项的绝对值的和. 17.(14 分) 在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足: sinAsinB-cosAcosB-
2

1 =0,求:边 c 的长度及△ABC 的面积。 2

18. (14 分) 已知:函数 f ( x) ?

2(sin x ? cos x) .

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和当 x ? ? ? (2)若函数 f ( x) 的图象过点 (? , ) ,

? ? ? , ? ? 时的值域; ? 12 ?

6 5

?
4

?? ?

3? ? .求 f ( ? ? ) 的值. 4 4

19(14 分)

2

已知向量 a ? ? cos

?

? ?

3x 3x ? ? ? x x? ? ?? ,sin ? , b ? ? cos , ? sin ? ,且 x ? ?0, ? . 2 2 ? 2 2? ? ? 2?
? ?

若 f ? x ? ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值是 ? 20. (14 分)

? ?

3 ,求 ? 的值. 2

b 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q (n ? N , p ? 0) . 数列 {bn } 定义如下: 对于正整数 m, m
是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项的和; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果 不存在,请说明理由.
?

3

数学试题答案
一.选择题:BDCCC ADBAC 二.填空题: 11. an ? 三.解答题: 15. 解:由

2 ; n ?1

12.

30 2

13. m ?

29 ; 42

14. 45

cos A b cos A sin B ,---------------------------2 分 ? 及正弦定理可得: ? cos B a cos B sin A
---------------------------4 分 ---------------------------6 分 --------------------8 分 ---------------------------10 分 ---------------------------12 分

∴sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π -2B,

? ? . ∴△ABC 为直角三角形,C= . 2 2 b 4 2 2 2 ∴a +b =10 又∵ ? , a 3
∴A+B= ∴解得 a=6, b=8。

16.解:(1) ∵a17=a1+16d,即-12=-60+16d,∴d=3. ---------------------------2 分 ∴an=-60+3(n-1)=3n-63. ---------------------------4 分 (2)由 an≤0,则 3n-63≤0 n≤21. ---------------------------5 分 ∴|a1|+|a2|+…+|a30| =-(a1+a2+…+a21)+(a22+a23+…+a30) ------------------------7 分 = (a1 ? a2 ? ??? ? a30 ) ? 2(a1 ? a2 ? ???a21 ) ------------------------9 分

? 30a1 ?
=765.

30 ? 29 21? 20 d ? 2(21a1 ? d ) -----------------------10 分 2 2
---------------------------12 分

17.解:由 sinAsinB-cosAcosB- ∵△ABC 为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°,
2

1 1 =0 得 cos(A+B)= - , ---------------------------2 分 2 2
---------------------------4 分

又∵a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 ,ab=2, -----------------6 分 2 2 2 2 ∴c =a +b -2a·bcosC=(a+b) -3ab=12-6=6, ---------------------------8 分 ∴c= 6 , ∴ S? ABC ? 1 3 3 1 = 。 ab sin C = ×2× 2 2 2 2 ---------------------------10 分 ---------------------------12 分

18. 解: (1) f ( x) ?

2(sin x ? cos x) ? 2(sin x ?

2 2 ? ? cos x ? ) ? 2sin( x ? ) ---2 分 2 2 4
-------------3分

∴函数的最小正周期为 2? ,

4

∵ x ?? ?

? ? ? ,? ? ? 12 ?

?x ?

?

? y ? ? 3, 2 ? ?
--------------------------------------------------- 7 分 (2)依题意得: 2sin(? ? ∵ ∴

?

? ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? ? , ? ? ? sin( x ? ) ? ? ? ,1? 4 ? 3 4 ? 4 ? 2 ? ?

------------------

5 分

?

?
4

?? ?

3? . 4

6 ? 3 ) ? , sin(? ? ) ? , 4 5 4 5

∴0 ?? ?

?

4

?

?

2

, cos(? ? ) 4

?



? 3 4 1 ? sin 2 (? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? -----------------------------------------9 分 4 5 5
f ( ? ? ) = 2sin[(? ? ) ? ] 4 4 4
分 ∵ sin[(? ?

?

?

?

--------------------------10

?

2 3 4 7 2 ? ? ? ? ? ( ? )? ) ? ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? )sin = 2 5 5 10 …13 分 4 4 4 4 4 4
7 2 5

∴ f(

?
4

??) =

--------------------------------------------------14 分 19.解:a · b ? cos

3 1 3 1 x cos x ? sin x sin x ? cos 2x ……………………2 分 2 2 2 2 3 1 3 1 | a+b | ? (cos x ? cos x) 2 ? (sin x ? sin x) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 | cos x | 2 2 2 2 ? …4 分 ? x ?[0 , ] ∴cos x≥0,因此| a+b |=2 cos x 2 ∴f (x)=a · b-2 ? |a+b|即 f ( x) ? 2(cos x ? ? )2 ? 1 ? 2?2 …………6 分 ? ………………7 分 ? x ?[0 , ] ∴0≤cos x≤1 2 ①若 ? <0,则当且仅当 cos x=0 时,f (x)取得最小值-1,这与已知矛盾;…9 分 ②若 0≤ ? ≤1,则当且仅当 cos x= ? 时,f (x)取得最小值 ? 1 ? 2?2 , 3 1 由已知得 ? 1 ? 2?2 ? ? ,解得: ? ? ………………11 分 2 2 ③若 ? >1,则当且仅当 cos x=1 时,f (x)取得最小值 1? 4? ,

5

由已知得 1 ? 4? ? ? 综上所述, ? ?

3 5 ,解得: ? ? ,这与 ? ? 1相矛盾. 2 8

………………13 分 ………………14 分

1 为所求. 2

20.解(1)由题意,得 an ? ∴

1 1 1 1 20 . n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? 3 2 3 2 3

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 .…………4 分 2 3

(2)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知 当 m ? 2k ?1 时, bm ? k k ? N

m ?1 . 2

………………5 分

?

*

? ;当 m ? 2k 时, b

m

? k ? 1? k ? N * ? .………6 分

∴ b1 ? b2 ? ? ? b2 m ? ? b1 ? b3 ? ? ? b2 m?1 ? ? ? b2 ? b4 ? ? ? b2 m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?

m ? m ? 1? 2

?

m ? m ? 3? 2

? m2 ? 2m .………………8 分 m?q . p

(3)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?
?

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 , p

………………9 分

即 ?2 p ? q ? ? 3 p ? 1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立.(﹡) ………………10 分 当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与(﹡)结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1
…………11 分

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? .……13 分 3 3 3 3 3
?

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 ,? ? q ? ? . 3 3 3

…………14

6


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