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2011年高考专题复习 常见弹簧类问题分析


2011 年高考专题复习:常见弹簧类问题分析
高考要求 轻弹簧是一种理想化的物理模型,以轻质弹簧为载体,设置复杂的物理情

景,考查力的概念,物体的平衡,牛顿定律的应用及能的转化与守恒,是高考命题的重点, 此类命题几乎每年高考卷面均有所见.应引起足够重视. 弹簧类命题突破要点 1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时,要注意

弹力 的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手,先确定 弹簧原长位置,现长位置,找出形变量 x 与物体空间位置变化的几何关系,分析形变所对应 的弹力大小、方向,以此来分析计算物体运动状态的可能变化. 2.因弹簧(尤其是软质弹簧)其形变发生改变过程需要一段时间,在瞬间内形变量可以 认为不变.因此,在分析瞬时变化时,可以认为弹力大小不变,即弹簧的弹力不突变. 3.在求弹簧的弹力做功时,因该变力为线性变化,可以先求平均力,再用功的定义 进行计算,也可据动能定理和功能关系:能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的 特点:Wk=-(

1 2 1 2 1 2 kx2 - kx1 ) ,弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式 Ep= kx , 2 2 2

高考不作定量要求,可作定性讨论.因此,在求弹力的功或弹性势能的改变时,一般以能量 的转化与守恒的角度来求解. 下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进行分析。

一、与物体平衡相关的弹簧问题 1.(1999 年,全国)如图示,两木块的质量分别为 m1 和 m2,两轻质 弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2,上面木块压在上面的弹簧上(但不拴 接),整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离 开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为( A.m1g/k1 B.m2g/k2 C.m1g/k2 D.m2g/k2 )

此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题. 题中空间距离的变化, 要通过弹簧 形变量的计算求出.注意缓慢上提,说明整个系统处于一动态平衡过程,直至 m1 离开上面 的弹簧.开始时,下面的弹簧被压缩,比原长短(m1 + m2)g/k2,而 ml 刚离开上面的弹簧, 下面的弹簧仍被压缩,比原长短 m2g/k2,因而 m2 移动△x=(m1 + m2)·g/k2 - m2g/k2=mlg
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/k2. 此题若求 ml 移动的距离又当如何求解? 参考答案:C

2.S1 和 S2 表示劲度系数分别为 k1,和 k2 两根轻质弹簧,k1>k2;A 和 B 表示质量分别为 mA 和 mB 的两个小物块,mA>mB,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来.现要求两根 簧的总长度最大则应使( A.S1 在上,A 在上 B.S1 在上,B 在上 C.S2 在上,A 在上 D.S2 在上,B 在上 参考答案:D ). 弹

3.一根大弹簧内套一根小弹簧,大弹簧比小弹簧长 0.2m,它们的一端固定,另一端自 由,如图所示,求这两根弹簧的劲度系数 k1(大弹簧)和 k2(小 弹簧)分别为多少? (参考答案 k1=100N/m k2=200N/m)

4.(2001 年上海高考)如图所示,一质量为 m 的物体系于长度分别为 L1、L2 的两根细线 上,L1 的一端悬挂在天花板上,与竖直方向夹角为θ ,L2 水平拉直,物体处于平衡状态.现 将 L2 线剪断,求剪断瞬时物体的加速度. (1)下面是某同学对该题的一种解法: 解 设 L1 线上拉力为 Tl,L2 线上拉力为 T2,重力为 mg,物 体在三力作用下保持平衡 Tlcosθ =mg,Tlsinθ =T2,T2=mgtanθ , 剪断线的瞬间,T2 突然消失,物体即在 T2 反方向获得加速度. 因为 mgtanθ =ma, 所以加速度 a=g tanθ , 方向在 T2 反方向. 你认为这个结果正确吗?
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清对该解法作出评价并说明理由.

解答:错.因为 L2 被剪断的瞬间,L1 上的张力大小发生了变化.此瞬间 T2=mgcosθ , a=gsinθ

(2)若将图中的细线 Ll 改为长度相同、 质量不计的轻弹簧, 其 他条件不变,求解的步骤和结果与(1)完全相同,即 a=gtanθ ,你 认为这个结果正确吗?请说明理由.

解答:对,因为 L2 被剪断的瞬间,弹簧 L1 的长度未及发生变化,T1 大小和方向都 不变.

二、与动力学相关的弹簧问题

5.如图所示,在重力场中,将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上, 下端连接一个质量为 M 的木板,木板下面再挂一个质量为 m 的物体.当 剪掉 m 后发现:当木板的速率再次为零时,弹簧恰好能恢复到原长,(不 考虑剪断后 m、M 间的相互作用)则 M 与 m 之间的关系必定为 A.M>m B.M=m C.M<m D.不能确定 ( )

参考答案:B 6.如图所示,轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板,在薄板上放重物,用手将重物向 下压缩到一定程度后,突然将手撤去,则重物将被弹簧弹射出去,则在 过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是 答案:C A.一直加速运动 B.匀加速运动 ( ) 弹射 参考

C.先加速运动后减速运动 D.先减速运动后加速运动

[解析]

物体的运动状态的改变取决于所受合外力.所以,对物体进行准确的受力

分析是解决此题的关键,物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用.刚放手时,弹
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力大于重力,合力向上,物体向上加速运动,但随着物体上移,弹簧形变量变小,弹力随之 变小,合力减小,加速度减小;当弹力减至与重力相等的瞬间,合力为零,加速度为零,此 时物体的速度最大;此后,弹力继续减小,物体受到的合力向下,物体做减速运动,当弹簧 恢复原长时,二者分离. 7.如图所示,一轻质弹簧竖直放在水平地面上,小球 A 由弹簧正上方某高度自由落下, 与弹簧接触后,开始压缩弹簧,设此过程中弹簧始终服从胡克定律,那么 球 压 缩弹 簧的 过 程中 , 以下 说法 中 正确 的 是 ( 答案:C A.小球加速度方向始终向上 B.小球加速度方向始终向下 C.小球加速度方向先向下后向上 D.小球加速度方向先向上后向下 (试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系) ) 在小 参考

8.如图所示,一轻质弹簧一端系在墙上的 O 点,自由伸长到 B 点.今用一小物体 m 把弹 簧压缩到 A 点, 然后释放, 小物体能运动到 C 点静止, 物体与水平地面间的动摩擦因数恒定, 试判断下列说法正确的是 ( )

A.物体从 A 到 B 速度越来越大,从 B 到 C 速度越来越小 B.物体从 A 到 B 速度越来越小,从 B 到 C 加速度不变 C.物体从 A 到 B 先加速后减速,从 B 一直减速运动 D.物体在 B 点受到的合外力为零 参考答案:C 9.如图所示,一轻质弹簧一端与墙相连,另一端与一物体接触,当弹簧在 O 点位置时弹 簧没有形变,现用力将物体压缩至 A 点,然后放手。物体向右运动至 C 点而静止,AC 距离 为 L。第二次将物体与弹簧相连,仍将它压缩至 A 点,则第二次物体在停止运动前经过的总 路程 s 可能为:
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A.s=L C.s<L

B.s>L D.条件不足,无法判断 参考答案:AC

(建议从能量的角度、物块运动的情况考虑)

10. A、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上,如图所示,已知木块 A、B 质量分别为 0.42 kg 和 0.40 kg,弹簧的劲度系数 k=100 N/m ,若在木块 A 上作用一个竖直向上的力 F,使 A 由 静止开始以 0.5 m/s 的加速度竖直向上做匀加速运动(g=10 m/s ). (1)使木块 A 竖直做匀加速运动的过程中,力 F 的最大值; (2)若木块由静止开始做匀加速运动,直到 A、B 分离的过 程中,弹簧的弹性势能减少了 0.248 J,求这一过程 F 对 木块做的功. 分析: 此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后, 确定两物体分离的临界 点,即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0 时 ,恰好分离. 解: 当 F=0(即不加竖直向上 F 力时),设 A、B 叠放在弹簧上处 于平衡时弹簧的压缩量为 x,有
2 2

kx=(mA+mB)g x=(mA+mB)g/k
对 A 施加 F 力,分析 A、B 受力如图 对A 对B ①

F+N-mAg=mAa kx′-N-mBg=mBa′

② ③

可知,当 N≠0 时,AB 有共同加速度 a=a′,由②式知欲使 A 匀加速运动,随 N 减小 F 增大.当 N=0 时,F 取得了最大值 Fm, 即 Fm=mA(g+a)=4.41 N 又当 N=0 时,A、B 开始分离,由③式知, 此时,弹簧压缩量 kx′=mB(a+g)

x′=mB(a+g)/k
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5

AB 共同速度 v2=2a(x-x′)
由题知,此过程弹性势能减少了 WP=EP=0.248 J 设 F 力功 WF,对这一过程应用动能定理或功能原理



1 WF+EP-(mA+mB)g(x-x′)= (mA+mB)v2 2
联立①④⑤⑥,且注意到 EP=0.248 J 可知,WF=9.64×10
-2



J

三、与能量相关的弹簧问题 11.(全国.1997)质量为 m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接, 弹簧下端固 定在地上.平衡时弹簧的压缩量为 x0, 如图所示.一物块从钢板正上方距离为 3x0 的 A 处自由落下,打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连. 它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为 m 时,它们恰能回到 O 点. 若物块质量为 2m,仍从 A 处自由落下,则物块与钢板回到 O 点时,还具有向上的速度.求物 块向上运动到达的最高点与 O 点的距离.

分析:本题的解题关键是要求对物理过程做出仔细分析,且在每一过程中运用动量守 恒定律,机械能守恒定律解决实际问题,本题的难点是对弹性势能的理解,并不要求写出弹 性势能的具体表达式,可用 Ep 表示,但要求理解弹性势能的大小与伸长有关,弹簧伸长为 零时,弹性势能为零,弹簧的伸长不变时,弹性势能不变.答案: 1 x 0
2

12.如图所示,A、B、C 三物块质量均为 m,置于光滑水平台面上.B、C 间夹有原已完全 压紧不能再压缩的弹簧,两物块用细绳相连,使弹簧不能伸展.物块 A 以初速度 v0 沿 B、C 连线方向向 B 运动,相碰后,A 与 B、C 粘合在一起,然后连接 B、C 的细绳因受扰动而突然 断开,弹簧伸展,从而使 C 与 A、B 分离,脱离弹簧后 C 的速度为 v0. (1)求弹簧所释放的势能Δ E. (2)若更换 B、C 间的弹簧,当物块 A 以初速 v 向 B 运动,物块 C 在脱离弹簧后的速度 为 2v0,则弹簧所释放的势能Δ E′是多少? (3)若情况(2)中的弹簧与情况(1)中的弹簧相同,为使物块 C 在脱离弹簧后的速 度仍为 2v0,A 的初速度 v 应为多大?

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(1)

1 2 mv0 3

(2)

1 m(v-6v0)2 12

(3)4v0

13..某宇航员在太空站内做丁如下实验:选取两 个质量分别为 mA=0.1kg、mB=0.20kg 的小球 A、B 和一 根轻质短弹簧,弹簧的一端与小球 A 粘连,另一端与小球 B 接触而不粘连.现使小球 A 和 B 之间夹着被压缩的轻质弹簧,处于锁定状态,一起以速度 v0=0.10m/s 做匀速直线运动,如 图所示.过一段时间,突然解除锁定(解除锁定没有机械能损失),两球仍沿原直线运动.从 弹簧与小球 B 刚刚分离开始计时,经时间 t=3.0s 两球之间的距离增加了 s=2.7m,求弹簧 被锁定时的弹性势能 E0? 取 A、B 为系统,由动量守恒得: ( m A+m B)v0=m AvA+mBv ;VA t+VB t=s
1 1 1 2 2 2 E P ? (m A ? mB)V0 ? m A v B ? mB v B 2 2 2

又 A、B 和弹簧构成系统,又动量守恒 解得: E p ? 0.0275J 14.如下图所示,一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上,弹簧的上端 与盒子 A 连接在一起,下端固定在地面上.盒子内装一个光滑小球,盒子 内腔为正方体,一直径略小于此正方体边长的金属圆球 B 恰好能放在盒 内,已知弹簧的劲度系数为 k=400N/m,A 和 B 的质量均为 2kg 将 A 向上 提高,使弹簧从自由长度伸长 10cm 后,从静止释放,不计阻力,A 和 B 一起做竖直方向的简谐振动,g 取 10m/s 已知弹簧处在弹性限度内,对于同一弹簧,其弹性 势能只决定于其形变的大小.试求: (1)盒子 A 的振幅; (2)盒子 A 运动到最高点时,A 对 B 的作用力方向; (3)小球 B 的最大速度
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15.如图所示,一弹簧振子.物块质量为 m,它与水平桌面动摩擦因数为μ ,开始用手 按住物块,弹簧处于伸状态,然后放手,当弹簧回到原长时物块速度为 v1,当弹簧再次回到 原长时物块速度为 v2,求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能.

16.如图,水平弹簧一端固定,另一端系一质量为 m 的小球,弹簧的劲度系数为 k,小 球与水平面之间的摩擦系数为μ , 当弹簧为原长时小球位于 O 点, 开始时小球位于 O 点右方 的 A 点,O 与 A 之间的距离为 l0,从静止释放小球。 1.为使小球能通过 O 点,而且只能通过 O 点一次,试问μ 值应在什么范围? 2.在上述条件下,小球在 O 点左方的停住点 B 点与 O 点的最大距离 l1 是多少?

分析 1、 小球开始时在 A 点静止, 初始动能为零; 弹簧拉长 lo, 具有初始弹性势能 kl0 /2 释放后, 小球在弹性力作用下向左运动,克服摩擦力作 功,总机械能减小.为使小球能通过 O 点,要求初始弹性势能应大于克服摩擦力作的 功μ mgl0,于是可得出μ 值的上限.当小球越过 O 点向左运动,又从左方最远点 B 往 回(即向右)运动时, 为使小球不再越过 O 点, 要求初始弹性势能 kl0 /2 小于克服摩擦 力作的功μ mg(l0+2l1),其中 l1 是 B 点与 O 点的距离,于是可得出μ 值的下限 即 满足 1 的范围
kl0 kl0 ??? 4mg 2mg
2 2

.

2.设 B 点为小球向左运动的最远点,且小球在 B 点能够停住,则小球克服力作的功应 等于弹性势能的减少.此外,小球在 B 点所受静摩擦力必须小于最大静摩擦力,由此 可得出停住点 B 点与 O 点之间的最大距离.
l1 ? l0 . 3
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17.图中,轻弹簧的一端固定,另一端与滑块 B 相连,B 静止在水平直导轨上,弹簧处 在原长状态.另一质量与 B 相同的滑块 A,从导轨上的 P 点以某一初速度向 B 滑行.当 A 滑 过距离 L1 时,与 B 相碰,碰撞时间极短,碰后 A、B 紧贴在一起运动,但互不粘连.已知最 后 A 恰好返回到出发点 P 并停止. 滑块 A 和 B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ , 运动过程中弹 簧最大形变量为 L2,重力加速度为 g。求 A 从 P 点出发时的初速度 v0.

四、振动类问题 18.如图所示,在光滑的水平面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为 k,开始时,振子 被拉到平衡位置 O 的右侧某处,此时拉力为 F,然后轻轻释放振子,振子从初速度为零的状 态开始向左运动,经过时间 t 后到达平衡位置 O 处,此时振子的速度为 v,则在这过程中, 振子的平均速度为( A. v/2 C. v )

B. F/(2kt) D. F/(kt)

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19.在光滑水平面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为 k,振子质量为 M,振动的量大速 度为 v0.如图所示,当振子在最大位移为 A 的时刻把质量为 m 的物体轻放在其上,则(1)要 保持物体和振子一起振动, 二者间动摩擦因数至少多大?(2) 一起振动时,二者经过平衡位置的速度多大?二者的振幅又 是多大?(已知弹簧弹形势能 EP=kx ,x 为弹簧相对原长伸长 量)
2

五、应用型问题 20..惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中,这个系统的重要元件之一是加速 度计, 加速度计的构造原理示意图如下图所示。 沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质 量为 m 的滑块,滑块两侧分别与劲度系数为 K 的弹簧相连,弹簧处于自然长度,滑块位于中 间,指针指示 0 刻度,试说明该装置是怎样测出物体的加速度的?

[分析]

当加速度计固定在待测物体上,具有一定

的加速度时,例如向右的加速度 a,滑块将会相对于滑杆 向左滑动一定的距离 x 而相对静止, 也具有相同的加速度 a,由牛顿第二定律可知:a∝F 而 F∝x,所以 a∝x。因 此在标尺相应地标出加速度的大小, 而 0 点两侧就表示了加速度的方向, 这样它就可以测出 物体的加速度了。

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21.“加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器,已被广泛地应用于飞机,潜艇、航 天器等装置的制导系统中,如图所示是“应变式加速度计”的原理图,支架 A、B 固定在待 测系统上,滑块穿在 A、B 间的水平光滑杆上,并用轻弹簧固定于支架 A 上,随着系统沿水 平方向做变速运动, 滑块相对于支架发生位移, 滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地 自由滑动,并通过电路转换为电信号从 1,2 两接线柱输出. 巳知:滑块质量为 m,弹簧劲度系数为 k,电源电动势为 E,内阻为 r、滑动变阻器 的电阻随长度均匀变化,其总电 阻 R=4r,有效总长度 L,当待测系统静止时,1、2 两接线 柱输出的电压 U0=0.4 E,取 A 到 B 的方向为正方向, (1)确定“加速度计”的测量范围. (2)设在 1、2 两接线柱间接入内阻很大的电压表,其读数为 u,导出加速度的计算式。 (3)试在 1、2 两接线柱间接入内阻不计的电流表,其读数为 I,导出加速度的计算式。 解:(1)当待测系统静上时,1、2 接线柱输出的电压 u0=E·R12/(R+r) 由已知条件 U0=0.4E 可推知,R12=2r,此时滑片 P 位于变阻器中点,待测系统沿水 平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况,弹簧最大压缩与最大伸长时刻,P 点 只能滑至变阻器的最左端和最右端,故有: a1=kL/2m, a2=-kL/2m 所以“加速度计”的测量范围为 [-k·L/2m,·L/2m],

(2)当 1、2 两接线柱接电压表时,设 P 由中点向左偏移 x,则与电压表并联部分 的电阻 R1=(L/2-x)·4r/L I=E/(R+r) U=I·R1 k·x=m·a a=kL/2m - 5kLU/(4·E·m),

由闭合电路欧姆定律得: 故电压表的读数为: 根据牛顿第二定律得: 建立以上四式得:

(3)当 1、2 两接线柱接电流表时,滑线变阻器接在 1,2 间的电阻被短路.设 P 由中 点向左偏 x,变阻器接入电路的电阻为: R2=(L/2+x)·4r/L 由闭合电路欧姆定律得: E=I(R2+r)
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根据牛顿第二定律得: 联立上述三式得:

k·x=m·a a=k·L(E-3I·r)/(4I·m·r)

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