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江苏省常州市武进区2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)


江苏省常州市武进区20162017学年高一下学期期末数学试卷

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相 应的位置上) 1.(5分)不等式x2﹣2x﹣3<0的解集是.

2.(5分)过两点A(﹣2,1),B(m,3)的直线倾斜角是45°,则m的值是.

3.(5分)在等差数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,则a5+a6=.

4.(5分)已知a>0,b>0,a+4b=ab,则a+b的最小值是.

5.(5分)在△ABC中,B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为.

6.(5分)圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为.

7.(5分)设a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,给出以 下四个命题:①若a∥b,a⊥α,则b⊥α;②若a⊥b,a⊥α,则b∥α;③若a ⊥α,a⊥β,则α∥β;④若a⊥β,α⊥β,则a∥α.其中所有正确命题的 序号是 ?.

8.(5分)已知等比数列的前n项和为Sn,若S3:S2=3:2,则公比q=.

1

9.(5分)若变量x,y满足

,则2x+y的最大值为,

的取值范围



10.(5分)将一张坐标纸折叠一次,使点(0,2)与点(4,0)重合,且点( 7,3)与点(m,n)重合,则m+n的值是.

11.(5分)如图所示,ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是四边上的点,并 且AC∥面EFGH,BD∥面EFGH,AC=2,BD=4,当EFGH是菱形时, 的值是.

12.(5分)若关于x的不等式ax2﹣|x|+2a<0的解集为?,则实数a的取值范围 为.

13.(5分)在平面直角坐标系xoy中,已知圆C:x2+y2﹣(6﹣2m)x﹣4my+5m2 ﹣6m=0,直线l经过点(﹣1,1),若对任意的实数m,直线l被圆C截得的弦长 都是定值,则直线l的方程为.

14.(5分)记数列{an}的前n项和为Sn,若不等式an2+ 列{an}及任意正整数n都成立,则实数m的最大值为.

≥ma12对任意等差数

2

二、解答题(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosB﹣(2c﹣b )cosA=0. (1)求角A的大小; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值.

16.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面A BCD,若点E,F分别是PC,BD的中点. (1)求证:EF∥平面PAD; (2)求证:平面PAD⊥平面PCD.

17.(14分)已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x ﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0.求: (1)顶点C的坐标; (2)直线BC的方程.

18.(16分)某工厂年初用49万元购买一台新设备,第一年设备维修及原料消 耗的总费用6万元,以后每年都增加2万元,新设备每年可给工厂创造收益25万 元. (1)工厂第几年开始获利? (2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:①年平均收益最大时,以14 万元出售该设备;②总收益最大时,以9万元出售该设备.问出售该设备后,哪 种方案年平均收益较大? 3

19.(16分)已知圆O:x2+y2=4,直线l:y=kx﹣4. (1)若直线l与圆O交于不同的两点A、B,当∠AOB= 时,求k的值.

(2)若k=1,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D, 问:直线CD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由. (3)若EF、GH为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1, 边形EGFH的面积的最大值. ),求四

20.(16分)已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N?) ,数列{bn}满足:b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R),数列{bn}的前n项和为Sn . (Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等 比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当n=3时,Sn取得最小值,求b1的取值范围.

江苏省常州市武进区2016-2017学年高一下学期期末数学试卷 参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相 应的位置上) 1.(5分)不等式x2﹣2x﹣3<0的解集是(﹣ 1,3).

考点:一元二次不等式的解法. 专题:计算题. 4

分析: 将不等式左边的多项式分解因式,根据异号两数相乘积为负数转化为两个 一元一次不等式组,求出不等式的解集即可得到原不等式的解集. 解答: 解:不等式x2﹣2x﹣3<0,

因式分解得:(x﹣3)(x+1)<0, 可得: 或 ,

解得:﹣1<x<3, 则原不等式的解集为(﹣1,3). 故答案为:(﹣1,3) 点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,利用了转化的思想,是一道基本题型 .

2.(5分)过两点A(﹣2,1),B(m,3)的直线倾斜角是45°,则m的值是0 .

考点:直线的倾斜角;直线的斜率. 专题:直线与圆. 分析:利用直线的斜率关系求解即可. 解答: 可得 故答案为:0. 点评: 本题考查直线方程的应用,直线的斜率与倾斜角的关系,基本知识的考查 . 解:两点A(﹣2,1),B(m,3)的直线倾斜角是45°, ,解得m=0,

5

3.(5分)在等差数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,则a5+a6=17.

考点:等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据所给的等差数列的前两项之和,和S4﹣S2,根据三项成等差数列,根 据等差数列的性质做出结果. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,

∴S2=1,S4﹣S2=9, ∴S6﹣S4=2×9﹣1=17. 故答案为:17. 点评: 本题考查等差数列的性质,在等差数列中Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n三项成等差 数列,这是常用的等差数列的性质.

4.(5分)已知a>0,b>0,a+4b=ab,则a+b的最小值是9.

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 + =1,可得a+b=(a+b)( + )=5+ + 最值可得. 解答: ∴ 解:∵a>0,b>0,a+4b=ab, =1,即 + =1, ,由基本不等式求

∴a+b=(a+b)( + ) 6

=5+ +

≥5+2

=9

当且仅当 = 故答案为:9

即a=6且b=3时取等号,

点评:本题考查基本不等式求最值,适当变形是解决问题的关键,属基础题.

5.(5分)在△ABC中,B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 .

考点:正弦定理. 专题:计算题. 分析: 首先根据最大角分析出最大边,然后根据内角和定理求出另外一个角,最 后用正弦定理求出最大边. 解答: 解:因为B=135°为最大角,所以最大边为b,

根据三角形内角和定理:A=180°﹣(B+C)=30° 在△ABC中有正弦定理有:

故答案为: 点评:



本题主要考查了正弦定理应用,在已知两角一边求另外边时采用正弦定理 .

6.(5分) 圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为4.

7

考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题;数形结合. 分析: 圆心(0,0)到直线3x+4y﹣25=0的距离d= 3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r,从而可求 解答: 解:∵圆心(0,0)到直线3x+4y﹣25=0的距离d= ,圆x2+y2=1上的点到直线

∴圆x2+y2=1上的 点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣1=4 故答案为:4

点评: 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,解题的关键是把所求的距离 转化为求圆心到直线的距离,要注意本题中的BC是满足圆上的点到直线的距离 的最大值

7.(5分)设a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,给出以 下 四个命题:①若a∥b,a⊥α,则b⊥α;②若a⊥b,a⊥α,则b∥α;③若 a⊥α,a⊥β,则α∥β;④若a⊥β,α⊥β,则a∥α.其中所有正确命题

8

的序号是 ?①③.

考点:平面与平面平行的判定. 专题:阅读型. 分析: 根据线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、以及性质进行逐一进行 判定,不正确的举反例即可. 解答: 解::①若a∥b,a⊥α,根据两平行线中一条垂直与平面,则另一条也 垂直与平面,所以b⊥α,故正确; ②若a⊥b,a⊥α,则b∥α或b?α,故不正确; ③若a⊥α,a⊥β,则α∥β,根据垂直与同一直线的两平面平行可知,正确 ; ④若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a?α,故不正确; 故答案为:①③ 点评: 本题考查平面与平面平行的判定,以及线面垂直的判定定理等有关知识, 考查空间想象能力,是基础题.

8.(5分)已知等比数列的前n项和为Sn,若S3:S2=3:2,则公比q=



考点:等比数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: 验证q=1是否满足题意,q≠1时,代入求和公式可得关于q的方程,解方程 可得. 9

解答:

解:若q=1,必有S3:S2=3a1:2a1=3:2,满足题意; : =3:

故q≠1,由等比数列的求和公式可得S3:S2= 2, 化简可得2q2﹣q﹣1=0,解得q=﹣ ,

综上,q=



故答案为:



点评:本题考查等比数列的前n项和公式,涉及分类讨论的思想,属中档题.

9.(5分)若变量x,y满足

,则2x+y的最大值为8,

的取值范





考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合 即可得到结论. 解答: 设z=x+y, 由z=x+y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z, 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时, 直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大. 10 解:作出不等式组对应的平面区域如图,





解得

,即A(1,2),

代入目标函数z=x+y=1+2=3. 此时2x+y的最大值为23=8. 设k= ,

则k的几何意义为区域内的点到定点D(2,﹣1)的斜率, 由图象知,AD的斜率最小为k= =﹣3,

OD的斜率最大为k=

=



故﹣3



故答案为:8,



点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合 的数学思想是解决此类问题的基本方法. 11

10.(5分)将一张坐标纸折叠一次,使点(0,2)与点(4,0)重合,且点( 7,3)与点(m,n)重合,则m+n的值是 .

考点:直线的点斜式方程. 专题:计算 题. 分析: 根据坐标纸折叠后(0,2)与(4,0)重合得到两点关于折痕对称 ,利用 中点坐标公式求出(0,2)和(4,0)的中点,再求出两点确定的直线方程的 斜率,根据两直线垂直时斜率的关系求出中垂线的斜率,根据求出的中点坐标 和斜率写出折痕的直线方程,根据(7,3)和(m,n)也关于该直线对称,利 用中点坐标公式求出中点代入直线方程及求出(7,3)和(m,n)确定的直线 斜率,利用两直线垂直时斜率的关系列出关于m与n 的两个方程,联立求出m与n 的值,即可得到m+n的值. 解答: 解:点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称,两点的中点坐标为(



)=(2,1),

两点确定直线的斜率为

=﹣

则折痕所在直线的斜率为2,所以折痕所在直线的方程为:y﹣1=2(x﹣2) 由点(0,2)与点(4,0)关于y﹣1=2(x﹣2)对称, 得到点(7,3)与点(m,n)也关于y﹣1=2(x﹣2)对称,



,得

12

所以m+n=

故答案为: 点评: 此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两直线 垂直时斜率的关系化简求值 ,会求线段垂直平分线的直线方程,是一道中档题.

11.(5分)如图所示,ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是四边上的点,并 且AC∥面EFGH,BD∥面EFGH,AC=2,BD=4,当EFGH是菱形时, 的值是 .

考点:点、线、面间的距离计算. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由已知条件BEF∽△BAC,从而 ,同理,得 ,进而推导出△AE

H∽△ABD,得 解答:

=

,同理得

,由此能求出结果.

解:∵AC∥平面EFGH, AC、EF在平面ABC内,

∴AC∥EF,∴△BEF∽△BAC, ∴ ,

13

同理,得



又∵EF=HG,∴



∴EH∥BD,∴△AEH∽△ABD, ∴ = ,①,同理得 ,②

又∵EH=EF,∴①÷②得:

=





= .

故答案为: . 点评: 本题考查两条线段的比值的求法,解题时要认真审题,注意三角形相似的 性质的合理运用.

12.(5分)若关于x的不等式ax2﹣|x|+2a<0的解集为?,则实数a的取值范围 为 .

考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题. 分析: a< = 将不等式进行等价转化为 ,解集为空集时,a大于或等于

的最大值,利用基本不等式

14

求出

的最大值.

解答:

解:不等式即 a<

=

,∵此不等式解集为?,

∴a大于或等于

的最大值.又|x|+

≥2





的最大值是

=

,∴a≥



故答案为:a≥



点评:本题考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想.

13.(5分)在平面直角坐标系xoy中,已知圆C:x2+y2﹣(6﹣2m)x﹣4my+5m2 ﹣6m=0,直线l经过点(﹣1,1),若对任意的实数m,直线l被圆C截得的弦长 都是定值,则直线l的方程为2x+y+1=0.

考点:直线和圆的方程的应用. 专题:直线与圆. 分析: 先将圆的方程化为标准式,求出圆心和半径,通过分析可以看出,圆心在 一条直线m上,半径是定值3,所以直线l∥m,才能满足截得的弦长是定值. 解答: 解:将圆C:x2+y2﹣(6﹣2m)x﹣4my+5m2﹣6m=0化为标准式得

(x﹣(3﹣m))2+(y﹣2m)2=9 ∴圆心C(3﹣m,2m),半径r=3, 令 ,消去m得2x+y﹣6=0,

所以圆心在直线2x+y﹣6=0上,

15

又∵直线l经过点(﹣1,1),若对任意的实数m,直线l被圆C截得的弦长都是 定值, ∴直线l与圆心所在直线平行, ∴设l方程为2x+y+C=0,将(﹣1,1)代入得C=1, ∴直线l的方程为2x+y+1=0. 故答案为2x+y+1=0. 点评: 有关直线与圆的位置关系的问题,一般采用几何法,即先求出圆心与半径 ,然后画出图象,利用点到圆心的距离,半径,弦长等的关系解决问题.

14.(5分)记数列{ an}的前n项和为Sn,若不等式an2+

≥ma12对任意等差数

列{an}及任意正整数n都成立,则实数m的最大值为 .

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:令 (n﹣1)d=m,由an2+ =an2+2=5(m﹣ )2+2a12﹣ ,当m=

时,取到最小值,由此能求出结果.

解答: =an2+2

解:an2+

=an2+

2

令 (n﹣1)d=m,

an2+

=(a1+2m)2+(a1+m)2 16

=2a12+6ma1+5m2 =5(m﹣ )2+2a12﹣ ,

当m=

时,取到最小值

即 (n﹣1 )d=

,即n=



∵不等式an2+

≥ma12对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,

∴m



∴实数m的最大值为 .

故答案为: . 点评: 本题考查实数的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意配方 法的合理运用.

二、解答题(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosB﹣(2c﹣b )cosA=0. (1)求角A的大小; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 17

分析: (1)由正弦定理化简已知等式可得sinC(1﹣2cosA)=0,结合范围0<C <π,可得 ,又结合0<A<π,即可求得A的值.

(2)由已知及余弦定理4=b2+c2﹣bc≥bc,可得bc≤4,当且仅当b=c=4时,取 “=”,由三角形面积公式即可得解. 解答: (本小题满分14分)

解:(1)因为acosB﹣(2c﹣b)cosA=0, 由正弦定理得:sinAcosB﹣(2sinC﹣sinB)cosA=0, 所以可得:sinC(1﹣2cosA)=0.…(2分) 因为0<C<π,所以sinC>0,…(4分) 所以 ,又0<A<π,所以 .…(7分)

(2)由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA, 所以4=b2+c2﹣bc≥bc,所以bc≤4, 当且仅当b=c=4时,上式取“=”,…(10分) 所以△ABC面积为 所以△ABC面积的最大值为 点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基本 知识的考查. , .…(14分)

16.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面A BCD,若点E,F分别是PC,BD的中点. (1)求证:EF∥平面PAD; (2)求证:平面PAD⊥平面PCD.

18

考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形中位线的性质,可得线线平行,证明EFGH为平行四边形 ,可得EF∥GH,进而可得线面平行; (2)先证明线面垂直,再证明面面垂直即可. 解答: 证明:(1)设PD中点为H,AD中点为G,连结FG,GH,HE,

∵G为AD中点,F为BD中点, ∴GF∥AB且EF= ,

同理EH∥CD且EF=



∵ABCD为矩形,∴AB∥CD,AB=CD, ∴GF∥EH,GF=EH, ∴EFGH为平行四边形,∴EF∥GH, 又∵GH?面PAD,EF?面PAD,∴EF∥面PAD. (2)∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD, 又∵ABCD为矩形,∴CD⊥AD, ∴CD⊥面PAD 又∵CD?面PCD,∴面PAD⊥面PCD.

19

点评: 本题考查线面平行、面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题.

17.(14分)已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x ﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0.求: (1)顶点C的坐标; (2)直线BC的方程.

考点:直线的一般式方程. 专题:直线与圆. 分析: (1)设C(m,n),利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之 间的关系即可得出; (2)利用中点坐标公式、点斜式即可得出. 解答: 解:(1)设C(m,n),

∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x ﹣2y﹣5=0. ∴ ∴C(4,3). (2)设B(a,b),则 ∴B(﹣1,﹣3). 20 ,解得 . ,解得 .

∴kBC=

=

∴直线BC的方程为y﹣3= (x﹣4),化为6x﹣5y﹣9=0. 点评: 本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点 坐标公式、点斜式,考查了计算能力,属于基础题.

18.(16分)某工厂年初用49万元购买一台新设备,第一年设备维修及原料消 耗的总费用6万元,以后每年都增加2万元,新设备每年可给工厂创造收益25万 元. (1)工厂第几年开始获利? (2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:①年平均收益最大时,以14 万元出售该设备;②总收益最大时,以9万元出售该设备.问出售该设备后,哪 种方案年平均收益较大?

考点:数列与函数的综合;函数模型的选择与应用. 专题:函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: (1)判断费用是以6为首项,2为公差的等差数列,设第n年时累计的纯 收入为f(n).求出通项公式,利用f(n)>0,列出不等式,求解即可. (2)方案①:列出年平均收入利用基本不等式求出最值;方案②:利用数列的 函数的特征,通过二次函数求解最值即可. 解答: (本题满分16分)

解:(1)由题设,每年费用是以6为首项,2为公差的等差数列, 设第n年时累计的纯收入为f(n). ∴f(n)=25n﹣﹣49=﹣n2+20n﹣49,…(3分) 获利即为:f(n)>0∴﹣n2+20n﹣49>0,即n2﹣20n+49<0 21

?10﹣

,又n∈N,∴n=3,4,5,…,17. …6 分

∴当n=3时,即第3年开始获利;…(7分) (2)方案①:年平均收入 7, 出售该设备后,年平均收益为 方案②:f(n)=﹣(n﹣10)2+51, ∴当n=10时,f(n)max=51, 出售该设备后,年平均收益为 故第一种方案年平均收益较大. 点评: 本题考查数列与函数的综合应用,基本不等式求解最值,武承嗣的性质的 应用,考查分析问题解决问题的能力. (万元),…15 分 …16 分 (万元);…11 分 (万元),此时n=

19.(16分)已知圆O:x2+y2=4,直线l:y=kx﹣4. (1)若直线l与圆O交于不同的两点A、B,当∠AOB= 时,求k的值.

(2)若k=1,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D, 问:直线CD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由. (3)若EF、GH为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1, 边形EGFH的面积的最大值. ),求四

考点:直线和圆的方程的应用. 专题:直线与圆. 分析: (1)求出点O到l的距离,然后求解k即可.

22

(2)设P(t,t﹣4).其方程为:x(x﹣t)+y(y﹣t+4)=0,利用C、D在圆O :x2+y2=4上,求出CD方程,利用直线系求解即可. (3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2.通过 出面积表达式,然后求解最值. 解答: (本题满分16分) ,∴点O到l的距离 …2 分 ,求

解:(1)∵∠AOB=



=

?2?

…4 分

(2)由题意可知:O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上,设P(t,t﹣4 ). 其方程为:x(x﹣t)+y(y﹣t+4)=0 即 x2﹣tx+y2﹣(t﹣4)y=0,…6 分

又C、D在圆O:x2+y2=4上, ∴lCD:tx+(t﹣4)y﹣4=0即 由 得 (x+y)t﹣4y﹣4=0…8 分

∴直线CD过定点(1,﹣1)…10 分 (3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2. 则 ∴ ∴ ,…12 分 , ,

当且仅当



时,取“=”,…14 分

∴四边形EGFH的面积的最大值为5.…16 分

23

点评: 本题考查直线与圆的方程的综合应用,直线系方程的应用,考查分析问题 解决问题的能力.

20.(16分)已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N?) ,数列{bn}满足:b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R),数列{bn}的前n项和为Sn . (Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当n=3时,Sn取得最小值,求b1的取值范围.

考点:数列递推式;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得{an}是等差数列, ,bn+1﹣an+1

=

=

.由此能证明{bn﹣an}是以

为首项,以

为公比的等比数列.

(Ⅱ)由

.得当n≥2时,bn﹣bn﹣1=

.由此能证明{bn}是单调递增数列.

(Ⅲ)由已知得 解答:

,由此能求出b1的取值范围.

解:(Ⅰ)∵2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N?), 24

∴{an}是等差数列. 又∵a1= ,a2= ,







,(n≥2,n∈N*),

∴bn+1﹣an+1=

=

=

=



又∵



∴{bn﹣an}是以

为首项,以 为公比的等比数列.

(Ⅱ)∵bn﹣an=(b1﹣ )?( )n﹣1,







当n≥2时,bn﹣bn﹣1= 又b1<0,∴bn﹣bn﹣1>0. ∴{bn}是单调递增数列.



(Ⅲ)∵当且仅当n=3时,Sn取最小值. 25



,即



∴b1∈(﹣47,﹣11). 点评: 本题考查等比数列的证明,考查增数列的证明,考查数列 的首项的取值范 围的求法,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.

26


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