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高一数学第二学期期末复习试题(必修2+必修5)


高一数学第二学期期末复习试题(必修 2+必修 5)
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题纸上) ? 3 ? 2 2 1、 已知集合 M ? ? x y ? ? x ? , N ? ? x, y ? ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4 , 则集合 M ? N

4 ? ? 中元素的个数为( ) A、0 B、1 C、2 D、不确定 2、已知等比数列 a n ? 0 ,前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a 4 ? 8, S 6 ? 56 ,则公比为( ) A.2 B. ? 3 C.2 或 ? 3 D.2 或 3 3 3、已知 ?ABC 的面积为 ,且 AC ? 2, AB ? 3 ,则 ?A 等于( ) 2 ? A、 30 B、 30? 或150? C、 60? D、 60? 或120? 3 3? ? ?? ? 4、 x ? (? , ) 且 cos ? ? x ? ? ? 则 cos2x 的值是( ) 5 4 4 ?4 ? 7 24 24 7 A、 ? B、 ? C、 D、 25 25 25 25 5、直线 x cos ? ? y ? 1 ? 0 的倾斜角的范围是( ) ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ? A、 ? , ? ? ? , ? B、 ?0, ? ? ? , ? ? ?4 2? ? 2 4 ? ? 4? ? 4 ? ? 3? ? ? ? 3? ? C、 ? 0, ? D、 ? , ? ? 4 ? ?4 4 ? 6、已知 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 4 y 的最小值为( )

?

?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A 8 B 6 C 2 2 D 3 2 7、若两直线 l1 : mx ? 2 y ? m ? 2 ? 0, l2 : 4 x ? (m ? 2) y ? 2 ? 0 互相平行,则常数 m 等于 ( ) A.-2
4

B.4
4

C.-2 或 4

D.0

8、函数 y ? sin x ? cos x 的值域是( )
?1 3? ?1 ? D ? ,1? ?2 , 2? ? ? ?2 ? 9、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列 ..
A

? 0,1?

B

? ?1,1?

C

成等比数列,则 a ? b ? c 的值为( ) .. 1

2 1

0.5

a
b

c
A、1 B、2 C、3 D、4 10、在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 , 且a11 ? a10 , S n 为数列 ?an ? 的前 n 项 和,则使 Sn ? 0 的 n 的最小值为( ) A、10 B、11 C、20 D、21

11、从点 P ? x, 3 ? 向圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 作切线,切线长度的最小值等于( )
2 2

11 2 12、 P(-2, -1)到直线 l: (1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ 的距离为 d, 则 d 的取值范围是( ) 点 A. 0≤d ? 13 B. d≥0 C. d = 13 D. d≥ 13

A、4

B、 2 6

C、5

D、

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) y2 13、设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 的最小值是_______。 xz 14、若直线 y ? x ? k 与曲线 x ? 1 ? y 2 恰有一个公共点,则实数 k 的取值范围是 。 a b c 15、在 ?ABC 中,若 ,则 ?ABC 为 三角形。 ? ? cos A cos B sin C 16、已知过点 P (1,4) 的直线 l 与两坐标轴正半轴交于点 (a,0)、 , b) ,则直线 l 与坐标轴围成 (0 的三角形面积最小值为 。 三、解答题: (本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17、 (本小题满分 12 分)
(1)已知直线 l 过点 P(3,4) ,它在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的 2 倍,求直线 l 的 方程. (2)求与圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 同圆心,且与直线 2x–y+1=0 相切的圆的方程.

18、 (本小题满分 12 分)
若关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? 4 ? m2 ≤0 在[-1,3]上恒成立,求实数 m 的取值范围.

19、 (本小题满分 12 分)

某工厂要建造一个无盖长方体水池,底面一边长固定为 8 m ,最大装水量为 72 m ,池底和 池壁的造价分别为 2a 元 / m 、 a 元 / m ,怎样设计水池底的另一边长和水池的高,才能使 水池的总造价最低?最低造价是多少?
2 2

3

20(本小题满分 12 分) 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 ,求 圆 C 的方程.

21、 (本小题满分 13 分)
等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足条件 (1)求数列 ?an ? 的通项公式和 S n ; (2)记 bn ? an ? 2
n ?1

S2 n ? 4, n ? 1, 2,? , Sn

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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22、 (本小题满分 13 分)已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,直线 l1 过定点

A (1,0). (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; p (2)若 l1 的倾斜角为 , l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标; 4 (3)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时 l1 的直线方 程.

一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 D 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) y2 13、设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 的最小值是___3____。 xz 14、若直线 y ? x ? k 与曲线 x ? 1 ? y 2 恰有一个公共点,则实数 k
?1 ? k ? 1 k ? ? 2 或 。 a b c 15、 ?ABC 中,若 在 , ?ABC 为 则 等腰直角 三角形。 ? ? cos A cos B sin C 16、已知过点 P (1,4) 的直线 l 与两坐标轴正半轴交于点 (a,0)、 , b) ,则直线 l 与坐标轴围成 (0 的三角形面积最小值为 8 。 三、解答题: (本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤)

的取值范围是

17、 (本小题满分 12 分) (1)已知直线 l 过点 P(3,4) ,它在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的 2 倍,求直线 l 的 方程. (2)求与圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 同圆心,且与直线 2x–y+1=0 相切的圆的方程. 4 4 解:(1)当直线 l 过原点时,斜率 k= ,直线方程为 y ? x . ………………2 分 3 3 3 4 ? ? ? 1, a ? 5 x y (2)当直线 l 不过原点时,设直线方程为 ? ? 1 . a 2a a 2a ? 直线方程为2 x ? y ? 10. 4 ∴所求直线 l 方程为 y ? x或2 x ? y ? 10. ??????????4分 3 (2) ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0,
? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4, ?圆心C为(1, ?2). ? 所求圆与直线2 x ? y ? 1 ? 0相切, ? 5. 4 ?1 ? 所求圆的方程为( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5. ?????????8分 18、 (本小题满分 12 分) 若关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? 4 ? m2 ≤0 在[-1,3]上恒成立,求实数 m 的取值范围.
? x 2 ? 4 x ? 4 ? m 2 ≤0, ?[ x ? (2 ? m)][ x ? (2 ? m)] ≤0. ? 不等式在[?1,3]上恒成立, ? 2 ? m ≤? 1, 且2 ? m ≥ 3, ? m ≥ 3. ?????????? 5分 ?????????? 2分 (1)当m ? 0时,不等式解为2 ? m ? x ? 2 ? m.

????????? 6分

?r ?

| 2 ? 2 ? 1|

(2)当m ? 0时,不等式解为2 ? m ≤x ≤2 ? m. ? 2 ? m ≤? 1且2 ? m ? 3, ? m ≤? 3. (3)当m ? 0时,不合题意. ? m的取值范围是m ≥ 3或m ≤? 3. 19、 (本小题满分 12 分)
2 2

??????????8分 ?????????? 9分 ??????????10分
3

某工厂要建造一个无盖长方体水池,底面一边长固定为 8 m ,最大装水量为 72 m ,池底和 池壁的造价分别为 2a 元 / m 、 a 元 / m ,怎样设计水池底的另一边长和水池的高,才能使 水池的总造价最低?最低造价是多少? 解:设池底一边长为 x ,水池的高为

? z1 ? 2a ? 8 x ? 16ax

9 ,则总造价为 z x

z2 ? 2 ? a ? xy ? 2 ? a ? 8 y ? 18a ?

144a x

144 ? ? ? z ? 18a ? a ?16 x ? x?0 ? x ? ? 144 ? 18a ? 2a 16 x ? ? 18a ? 96a ? 114a x 144 9 当且仅当 16x ? 即 x ? 3, y ? ? 3 时,总造价最低, zmin ? 114a x x 答:将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为 3m 时,总造价最低,最低造价为 114a 元。
20 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 , 求圆 C 的方程. 解:设圆心为 (3t , t ), 半径为

r ? 3t

d?
,令

3t ? t 2

?

2t

2 2 2 2 2 而 ( 7) ? r ? d ,9t ? 2t ? 7, t ? ?1

? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 ,或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9
21、 (本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足条件 (1)求数列 ?an ? 的通项公式和 S n ; (2)记 bn ? an ? 2
n ?1

S2 n ? 4, n ? 1, 2,? , Sn

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

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解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由 得:

S2n ?4 Sn

a1 ? a2 ? 4 ,所以 a2 ? 3a1 ? 3 ,且 d ? a2 ? a1 ? 2 ,所以 a1 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 n(1 ? 2n ? 1) Sn ? ? n2 2 n ?1 n ?1 (2)由 bn ? an ? 2 ,得 bn ? (2n ? 1) ? 2
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所以 Tn

? 1 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ,

……①…

2Tn ? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n , …… ②…
①-②得

?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n

? 2(1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ? 1
2(1 ? 2n ) ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 1? 2 n 所以 Tn ? (2n ? 3) ? 2 ? 3 ?
22、 (本小题满分 12 分)已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0). (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; p (2)若 l1 的倾斜角为 , l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标; 4 (3)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时 l1 的直线方 程. (1) 解:①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 x ? 1 ,符合题意. …………………1 分 ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即: 解之得
k?
3k ? 4 ? k k2 ?1 ?2,

3 . 4 所求直线方程是 x ? 1 ,或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . …………………………………… 3 分

(2) 直线 l1 方程为 y=x-1. ∵PQ⊥CM, ∴CM 方程为 y-4=-(x-3),即 x+y-7=0. ? y ? x ? 1, ∵? ? x ? y ? 7 ? 0,
? x ? 4, ∴? ? y ? 3. ∴M 点坐标(4,3) .

……………………………6

(3) 直 线 与 圆 相 交 , 斜 率 必 定 存 在 , 且 不 为 0, 设 直 线 方 程 为 kx ? y ? k ?0 , | 2k ? 4 | 则圆 心到直l1的距离d ? . ?????????7分 1? k2 又 ? 三角形CPQ面 积
S? 1 d ? 2 4 ? d2 ? d 4 ? d2 2

? 4d 2 ? d 4 ? ?(d 2 ? 2)2 ? 4,

∴当 d= 2 时,S 取得最小值 2.
?d ? | 2k ? 4 | 1? k2 ? 2, k ? 1或k ? 7.

………………………9 分
????????????11分

∴直线方程为 y=x-1,或 y=7x-7. …………………………………12 分


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