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数析1期末试卷(A卷)


数学分析 1 期末考试试卷(A 卷)
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分)

1、设

? x ? 2a ? lim ? ? ? 8 ,则 a ? x??? x ? a ?

x



2、设函数

ex ?1 f ( x

) ? ,则函数的第一类间断点是 x( x ? 2)


,第二类间断点

是 3、设

y ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ,则 dy ?
1



4、设

f (x) 是连续函数,且 f ( x) ? x ? 2? f (t )dt ,则 f (x) ?
0 1



5、

? 0 arctan xdx =



二、单项选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分) 1、设数列 xn 与数列 (A)若 xn 发散,则

yn 满足 lim xn y n ? 0 ,则下列断言正确的是(
n ??

) 。

yn 必发散。 yn 必为无穷小。

(B)若 xn 无界,则

yn 必无界。 yn 必为无穷小。

(C)若 xn 有界,则

(D)若

1 xn

为无穷小,则

2、设函数

f ( x) ? x x ,则 f ?(0) 为(
(B)不存在。

) 。 (D) -1。

(A) 1。 3、若

(C) 0。

f (?x) ? f ( x)
) 。

0) (?? ? x ? ??), 在 (??, 内 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 ,则 f (x)

在 (0,??) 内有( (A) (C)

f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 。 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 。

(B) (D)

f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 。 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 。

1

4、设

f (x) 是连续函数,且 F ( x) ? ?
?x

e? x x

f (t )dt ,则 F ?(x) 等于(
(B) ? e (D) e
?x

) 。

(A) ? e (C)

e?x

? ? f ?e ? ? f (x) 。
f e ? x ? f (x) 。
?x

?x

? ? f ?e ? ? f (x) 。
?x

f e ? x ? f (x) 。

5、设函数

1 ? f ( x) ? a sin x ? sin 3x 在 x ? 处取得极值,则( 3 3 ? 1, f ( ) 是极小值。 3 ? 2, f ( ) 是极小值。 3
1 ? tan x ? 1 ? sin x ln(1 ? x 3 )

) 。

(A) a

?

(B) a

? 1, f ( ) 是极大值。 3 ? 2, f ( ) 是极大值。 3

?

(C) a

?

(D) a

?

三、计算题(本题共 7 个小题,每小题 6 分,满分 42 分)

1、求

lim
x ?0

x 2 ? ax ? b 2、设 lim ? 4 ,求 a、b 。 x?1 x2 ? x

3、设

y ? y(x) 由参数方程

? x ? ln(1 ? t 2 ) ? ? y ? t ? arctan t

所确定,求

dy d 2 y 、 。 dx dx 2

2

4、设

df (sin 2 x ) f (x) 在 x ? 0 处的导数连续,求 lim? x ?0 dx



5、求不定积分

? cos 3 x dx

x sin x



6、求定积分

? 0 cos

4

xdx 。

7、设

?sin 2 x f ( x) ? ? ? x 2 ? xe

x?0 , x?0



? 1 f ( x ? 2)dx

3



四、证明下列不等式(本题 10 分)

1、

2x

?

? sin x ? x,

x ? (0, ) ; 2

?

2、1 ?

sin x ? dx ? ?0 x 2
2

?



3

五、 (本题 10 分)



? g ( x) ? e ? x ? f ( x) ? ? x ? 0 ?

x?0 x?0

, 其 中

g (x)

具 有 二 阶 连 续 导 数 , 且

g (0) ? 1, g ?(0) ? ?1。
(1)求

f ?(x) ;

(2)讨论

f ?(x) 在 (??,??) 上的连续性。

六、 (本题 8 分) 设函数

f (x) 在 ?a,b? 上可导,证明:存在 ? ? (a,b) ,使得

2? ? f (b) ? f (a)? ? (b 2 ? a 2 ) f ?(? ) 。

(8 分)

4

答案
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分)

1、设

? x ? 2a ? lim ? ? ? 8, x??? x ? a ?

x



a ? ln 2



2、设函数

ex ?1 f ( x) ? ,则函数的第一类间断 0 x( x ? 2)
1 1 ? x2
1

,第二类间断点



2 。

3、设

y ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ,则 dy ?

dx



4、设

f (x) 是连续函数,且 f ( x) ? x ? 2? f (t )dt ,则 f (x) ? x ? 1
0 1



5、

? 0 arctan xdx =

?
4

? ln 2 。

二、单项选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分) 1、设数列 xn 与数列 (A)若 xn 发散,则

yn 满足 lim xn y n ? 0 ,则下列断言正确的是(
n ??

D) 。

yn 必发散。 yn 必为无穷小。

(B)若 xn 无界,则

yn 必无界。 yn 必为无穷小。

(C)若 xn 有界,则

(D)若

1 xn

为无穷小,则

2、设函数

f ( x) ? x x ,则 f ?(0) 为(
(B)不存在。

C ) 。 (D) -1。

(A) 1。 3、若

(C) 0。

f (?x) ? f ( x)

0) (?? ? x ? ??), 在 (??, 内 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 ,则 f (x)

在 (0,??) 内有( C ) 。 (A) (C)

f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 。 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 。

(B) (D)

f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 。 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 。

5

4、设

f (x) 是连续函数,且 F ( x) ? ?
?x

e? x x

f (t )dt ,则 F ?(x) 等于(
(B) ? e (D) e
?x

A ) 。

(A) ? e (C)

e?x

? ? f ?e ? ? f (x) 。
f e ? x ? f (x) 。
?x

?x

? ? f ?e ? ? f (x) 。
?x

f e ? x ? f (x) 。

5、设函数

1 ? f ( x) ? a sin x ? sin 3x 在 x ? 处取得极值,则( 3 3 ? 1, f ( ) 是极小值。 3 ? 2, f ( ) 是极小值。 3
1 ? tan x ? 1 ? sin x ln(1 ? x 3 )

D ) 。

(A) a

?

(B) a

? 1, f ( ) 是极大值。 3 ? 2, f ( ) 是极大值。 3

?

(C) a

?

(D) a

?

三、计算题(本题共 7 个小题,每小题 6 分,满分 42 分)

1、求

lim
x ?0

解: lim

1 ? tan x ? 1 ? sin x 1 ? tan x ? 1 ? sin x ? lim ????????? 2分) ( 3 x ?0 x ?0 ln(1 ? x ) x3 1 ? tan x ? 1 ? sin x 1 tan x ? sin x 1 ? lim 3 ? lim ? ????????? (6分) x ?0 x x3 4 ( 1 ? tan x ? 1 ? sin x) 2 x?0

x 2 ? ax ? b 2、设 lim ? 4 ,求 a、b 。 x?1 x2 ? x
解: lim( x 2 ? ax ? b) ? 0 ? 1 ? a ? b ? 0, b ? ?(1 ? a) ???????? (2分) ?
x ?1

? lim
x ?1

x 2 ? ax ? b 2x ? a ? lim ? 2 ? a ? 4 ? a ? 2, b ? ?3.?????? (6分) x ?1 2 x ? 1 x2 ? x

3、设

y ? y(x) 由参数方程

? x ? ln(1 ? t 2 ) ? ? y ? t ? arctan t

所确定,求

dy d 2 y 、 。 dx dx 2

6

dy 2 ? t 2 2 ? t2 2t 解: ? ? ??????????????? (3分) dx 1 ? t 2 1 ? t 2 2t 2 2 d 2 y d ? 2 ? t 2 ? dt ? t ? 2 ??1 ? t ? ? ? ?????????? (6分) ?? ? dx 2 dt ? 2t ? dx 4t 3
4、设

f (x) 在 x ? 0 处的导数连续,求 lim?
x ?0

df (sin 2 x ) dx



df (sin 2 x ) 1 解: ? lim ? lim[ f ?(sin 2 x )2sin x cos x ]?????(4分) ? x ?0 x ?0 dx 2 x = lim[ f ?(sin 2 x ) ?
x ?0

sin x ] ? f ?(0)??????????????(4分) x

5、求不定积分

? cos 3 x dx

x sin x



解: ?

x sin x ? xd (cos x) 1 dx ? ? ? ? xd (cos ?2 x)?????????? (2分) 3 3 cos x cos x 2 1 x dx 1 x ? [ 2 ?? ] ? [ 2 ? tan x] ? C ????????? (6分) 2 2 cos x cos x 2 cos x

6、求定积分

? 0 cos

4

xdx 。
x ? 0, t ? 0; x ? 4, t ? 2.???????? 2分) (
2 2 0

解:令 x ? t , dx ? 2tdt ,
4 2 0 0

? ? cos xdx ? ? 2t cos tdt ? 2[t sin t 0 ? ?

sin tdt ]

? 2(2sin 2 ? cos 2 ? 1)?????????????????? (6分)
7、设

?sin 2 x f ( x) ? ? ? x 2 ? xe

x?0 , x?0



? 1 f ( x ? 2)dx

3



7

解:令x ? 2 ? t , dx ? dt , x ? 1, t ? ?1; x ? 3, t ? 1.?????????? 2分) ( 3 1 0 1 0 1 ? cos 2 x 2 ? ? f ( x ? 2)dx ? ? f (t )dt ? ? sin 2 xdx ? ? xe ? x dx ? ? dx ?1 0 ?1 1 ?1 2 1 1 2 1 1 1 21 ?? e? x d (? x 2 ) ? [ x ? sin 2 x]01 ? e? x ????????? (4分) ? 0 2 0 2 2 2 1 2 ? 1 ? [sin 2 ? ]????????????????????? (6分) 4 e
四、证明下列不等式(本题 10 分)
?

1、

2x

?

? sin x ? x,
? sin x ? f ( x) ? ? x ? 1 ?

x ? (0, ) ; 2
?

?

2、1 ?

?0

2

sin x ? dx ? x 2



证明:设

x ? (0, ) 2 则函数在 x ? 0 处连续,且 x?0

f ?( x) ?

x cos x ? sin x cos x ? ? 2 ( x ? tan x) ? 0, x ? (0, ) ???????? 3分) ( 2 x x 2
?
2 sin x ?? ? ) 时, f ( x) 单调减少, ? f ? ? ? f ( x) ? f (0) ? ? ? 1?? 6分) ( 2 ? x ?2?
? ? 2? sin x ? 2 x ? (0, ). ? 1 ? ?? dx ? ? 2 dx ? ??? 10分) ( 0 0 2 ? 2 x 2

所以,当 x ? (0,

?

2x

?

? sin x ? x,

?

五、 (本题 10 分)



? g ( x) ? e ? x ? f ( x) ? ? x ? 0 ?

x?0 x?0

, 其 中

g (x)

具 有 二 阶 连 续 导 数 , 且

g (0) ? 1, g ?(0) ? ?1。
(1)求

f ?(x) ;

(2)讨论

f ?(x) 在 (??,??) 上的连续性。

8

g ( x) ? e ? x ?0 f ( x) ? f (0) g ( x) ? e ? x x 解:() f ?(0) ? lim 1? ? lim ? lim x ?0 x ?0 x ?0 x x x2 g ?( x) ? e? x g ??( x) ? e? x g ??(0) ? 1 ? lim ? lim ? ???????? (3分) x ?0 x ?0 2x 2 2

x( g ?( x) ? e ? x ) ? ( g ( x) ? e ? x) xg ?( x) ? g ( x) ? (1 ? x)e ? x f ?( x) ? ? x2 x2 ? xg ?( x) ? g ( x) ? (1 ? x)e ? x x?0 ? ? x2 ? f ?( x) ? ? ?????????? (6分) g ??(0) ? 1 ? x?0 ? ? 2
(2)当 x

? 0 时, f ?( x ) 连续.当 x ? 0 时,

lim f ?( x) ? lim
x ?0 x ?0

xg ?( x) ? g ( x) ? (1 ? x)e? x 1 ? [ g ??(0) ? 1] ? f ?(0) x2 2
(10 分)

所以,

f ?(x) 在 (??,??) 上都连续.
f (x) 在 ?a,b? 上可导,证明:存在 ? ? (a,b) ,使得

六、 (本题 8 分) 设函数

2? ? f (b) ? f (a)? ? (b 2 ? a 2 ) f ?(? ) 。
证明:设

g ( x) ? x2 , 则 f (x) 与 g ( x) 在 ?a,b? 上 满 足 柯 西 微 分 中 值 定 理 条 件 ,故 至 少存 在 一 点

? ? (a, b) ,使得
f (b) ? f (a) f ?(? ) f (b) ? f (a) f ?(? ) ? ? ? g (b) ? g (a) g ?(? ) b2 ? a 2 2?
所以,

2? [ f (b) ? f (a)] ? (b2 ? a2 ) f ?(? )

(8 分)

9


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