当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学方法 积分换元


定积分的换元积分法与分部积分法
一、学习要求 1.掌握定积分的换元积分法,能熟练利用凑微分,根式代换,三角代换等方法计算定积分. 2.能够灵活利用函数的奇偶性计算对称区间上的定积分. 3.掌握定积分的分部积分法,能熟练利用分部积分公式计算简单函数的定积分. 二、疑难解析 (一)基本概念 1.定积分的换元积分法 设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续,令 x ? ?

(t ) ,且满足: (1) ? (? ) ? a , ? ( ? ) ? b ; (2)当 t 从 ? 变化到 ? 时, ? (t ) 单调地从 a 变化到 b ;

? (3) ? (t ) 在 [? , ? ] 上连续.
a ? 则 . 使用定积分换元积分法注意事项:

?

b

f ( x)dx ? ? f ?? (t )? ?(t )dt ?

?

1.换元时可以令 x ? ? (t ) 或 t ? ? ( x) ; 2.积分限要相应换成新变量 t 的积分限(不定积分换元积分法不考虑积分限问题) ; 3.不必象计算不定积分把求出的原函数 F (t ) 换成原来变量 x 的函数. 2.定积分的分部积分法 设函数 u ? u (x) 与 v ? v(x) 在区间 [a, b] 上有连续的导数,则

?

b a

u( x)v?( x)dx ? u( x)v( x) b ? ? v( x)u ?( x)dx a
a

b

? 或简写成

b a

udv ? uv b ? ? vdu a
a

b



分部积分公式的推导:

? ? ? 由于 [u( x)v( x)] ? u ( x)v( x) ? u( x)v ( x)
求上式两端在 [a, b] 上的定积分,

?

b a

[u( x)v( x)]?dx ? ? u?( x)v( x)dx ? ? u( x)v?( x)dx
a a

b

b

? 注意到


b a

[u( x)v( x)]?dx ? u( x)v( x)
b a b b

b a

u( x)v( x)
b a

? ? v( x)du( x) ? ? u( x)dv( x)
a a b a

? 移项得

u( x)dv( x) ? u( x)v( x) b ? ? v( x)du( x) a

(二)基本运算 1.利用凑微分法计算定积分 前后形式保持一致,将新的积分变量看作被积函数的自变量

例 1 计算下列定积分.

? (1)
? (4)

0 ?1

e? x dx

? (2)
(5)

1 0

(2 x ? 1)6 dx
1 dx 0 (1 ? x ) arctan x
1 2

? (3)

e 1

ln x dx x

?
2 0

sin x cos5 xdx

?

(6)

?

1 0

1 dx 4 ? x2

分析 将原积分 解

?

b a

f ( x)dx
0 ?1

写成

?

b a

f [? ( x)]d? ( x)
0 ?1

的形式,注意积分限不要变更. ;

? (1)
?
1 0

0 ?1

e? x dx ? ?? e? x d (? x) ? ?e? x

? e ?1

(2 x ? 1)6 dx ?

(2)

1 1 1 1 6 7 1 ? 0 (2 x ? 1) d (2 x ? 1) ? 14 (2 x ? 1) 0 ? 7 2 ;

? (3)
?
(4)

e 1

e ln x 1 1 e dx ? ? ln xd ln x ? ln 2 x 1 ? 1 x 2 2

?

2 0

sin x cos xdx ? ? ?
5

?

2 0

1 cos xd cos x ? ? cos 6 x 6
5

?
2 0

?

1 6

(5)

?

3

1

3 1 1 dx ? ? d arctan x 1 arctan x (1 ? x ) arctan x 2

? ln arctan x

3 1

? ln

?
3

? ln

?
4

? ln

4 3

1 1 1 1 1? 1 1 ? dx ? ? dx ? ? ? ? ? dx 2 0 4? x 0 (2 ? x)(2 ? x) 4 0? 2? x 2? x ? (6)

?

1

1 1 ? [ln(2 ? x) ? ln(2 ? x)] 1 ? ln 3 0 4 4
注:第(6)题中由于 0 ? x ? 1 ,所以

ln 2 ? x ? ln(2 ? x)



ln 2 ? x ? ln(2 ? x)



2.利用根式代换计算定积分 被积函数含根式且根式下为一次函数,可考虑用根式代换. 例 2 计算下列定积分.

(1)

?

4 1

1 dx 1? x ;

(2)

?

1 0

x dx 1? x ?1

? 分析 将整个根式作为新变量 t ,求出 x ? ? (t ) 以及 dx ? ? (t )dt ,将 f ( x) 换为 f [? (t )] ,同时变换积分限.

2 (1)令 x ? t , ,则 x ? t , dx ? 2tdt ;

当 x ? 1 时, t ? 1 ;当 x ? 4 时, t ? 2

?

4 1

2 1 2 t ? 1 ?1 2 1 1 dx ? ? ? 2tdt ? 2? dt ? 2? (1 ? )dt 1 1? t 1 1 1? t 1? t 1? x

? 2(t ? ln t ? 1)

2 1

? 2(1 ? ln 2 ? ln 3)

2 (2)令 t ? 1 ? x ,则 x ? 1 ? t , dx ? ?2tdt

当 x ? 0 时, t ? 1;当 x ? 1 时, t ? 0

?

1 0

2 0 1? t 1 x dx ? ? ? (?2t )dt ? 2? t (1 ? t )dt 1 t ?1 0 1? x ?1

1 2 1 ? 2? (t ? t 2 )dt ? (t 2 ? t 3 ) 1 ? 0 0 3 3

3.利用三角代换计算定积分 被积函数含根式且根式下为二次函数,可考虑用三角代换. 例 3 计算下列定积分.

(1)

?

1 0

1 ? x dx
2



(2)

?

1 0

x 1 ? x dx
2



(3)

?

2 1

x2 ?1 dx x3

分析 形如 a ? x ,作代换 x ? a sin t ,
2 2

t ? [?

? ?

, ] 2 2 , dx ? a cos tdt ;

2 2 形如 a ? x ,作代换 x ? a tan t ,

t ? (?

? ?

, ) 2 2 , dx ? a sec2 tdt ;

t ? [0, ) ? ( , ? ] 2 2 形如 x ? a ,作代换 x ? a sec t , , dx ? a sec t tan tdt ;
2 2

?

?



(1)令 x ? sin t ,则 dx ? costdt ,

当 x ? 0 时, t ? 0 ; x ? 1时,

t?

?
2.
?

?

1 0

1 ? x 2 dx ? ?
??
?
2 0

?
2 0

1 ? sin 2 t ? costdt ? ? 2 cos2 tdt
0

1 ? c o ts 2 ? 1 1? ? ? d t? ? ?t s i n ?202 ? t 2 2 2 4 ? ?
2

(2) 令 x ? tan t ,则 dx ? sec tdt

当 x ? 0 时, t ? 0 ; x ? 1时,

t?

?
4.

?

1 0

x 1 ? x 2 dx ? ? 4 tan t ? sec t ? sec2 tdt
0

?

??

?
4 0

sin t 1 dt ? ? 4 cos t 3cos3 t

?
4 0

?

1? 2 2 3

(3) 令 x ? sec t ,则 dx ? sec t tan tdt

当 x ? 1 时, t ? 0 ; x ? 2 时,

t?

?
4.

?

2 1

? ? x2 ?1 tan t dx ? ? 4 sec t tan tdt ? ? 4 sin 2 tdt 0 sec3 t 0 x3
?

??

4 0

1 1 1 (1 ? cos 2t )dt ? ( t ? sin 2t ) 2 2 4

?
4 0

?

?
8

?

1 4
a

4.计算对称区间上的定积分

? (1)若 f (x) 在 [?a, a] 上为偶函数,则 ? (2)若 f (x) 在 [?a, a] 上为奇函数,则
例 4 计算下列定积分.

a ?a a ?a

f ( x)dx ? 2? f ( x)dx
0

f ( x)dx ? 0

? (1) ?
?

?

; ; (3) 分析 首先判断积分区间是否为对称区间;再判断被积函数是奇函数还是偶函数,选择相应的化简方法;如果被 积函数是非奇非偶函数,则不能化简. 解 (1) 因为 f ( x) ? x sin x 是奇函数,且积分区间 [?? , ? ] 关于原点对称,
4

x4 sin xdx

? (2)

2 ?2

x dx

?

1 ?1

( x cos x ? e x ? 5x3 )dx

? x 所以 ?
?

?

4

sin xdx ? 0
f ( x) ? x
2

(2) 因为被积函数

是偶函数,且积分区间 [?2, 2] 关于原点对称,
2 0

? 所以

2 ?2

x dx ? 2? xdx ? x 2
0

?4
x

(3) 被 积 函 数 中 x cos x ? 5x 是 奇 函 数 , e 是 非 奇 非 偶 函 数 , 且 积 分 区 间 [?1, 1] 关 于 原 点 对 称 , 所 以
3

?

1 ?1

( x cos x ? e x ? 5x3 )dx ? ? e x dx ? e x
?1

1

1 ?1

? e ? e?1

5.利用分部积分公式计算定积分 包括以下五种基本类型: (1)被积函数为幂函数多项式与指数函数乘积形式; 例5

? 计算
?
1 0

1 0

xe x dx

分析 此类型先保留幂函数多项式,将指数函数与 dx 凑出新微分,再用分部积分公式.



xe x dx ? ? xde x
0

1

? xe x

1 0

? ? e x dx ? e ? e x
0

1

1 0

?1

(2)被积函数为幂函数多项式与三角函数乘积形式; 例6

? 计算

?
0

x sin xdx

分析 此类型先保留幂函数多项式,将三角函数与 dx 凑出新微分,再用分部积分公式.



?

?
0

x sin xdx ? ?? xd cos x
0

?

? ? x cos x

?
0

? ? cos xdx ? ? ? sin x
0

?

?
0

??

(3)被积函数为幂函数多项式与对数函数乘积形式; 例 7 计算

?

e 1

x ln xdx

分析 此类型先保留对数函数,将幂函数多项式与 dx 凑出新微分,再用分部积分公式.



?

e 1

x ln xdx ?

1 e 2 ?1 ln xdx 2

?

1 2 1 1 e x ln x 1 ? ? x 2 d ln x 2 2 0 1 1 e 1 1 ? e2 ? ? xdx ? e2 ? x 2 2 2 1 2 4

e 1

1 ? (e2 ? 1) 4

(4)被积函数为幂函数多项式与反三角函数乘积形式; 例 8 计算

?

1 0

x arctan xdx

分析 此类型先保留反三角函数,将幂函数多项式与 dx 凑出新微分,再用分部积分公式.



?

1 0

x arctan xdx ?

1 1 2 ? 0 arctan xdx 2

1 2 1 1 2 ? 1 1 x2 1 ? x arctan x 0 ? ? x d arctan x ? ? ? dx 2 2 0 8 2 0 1 ? x2

?

?
8

?

1 1 1 ? 1 3? 1 1 ? 0 (1 ? 1 ? x2 )dx ? 8 ? 2 ( x ? arctan x) 0 ? 8 ? 2 2
1 0

(5)被积函数为指数函数与三角函数乘积形式; 例9

? 计算

e x sin xdx

分析 此类型先将指数函数与 dx 凑出新微分或将三角函数与 dx 凑出新微分都可以, 需要连续用两次分部积分公 式,最后移项化简即可. 解

?

1 0

e x sin xdx ? ? sin xde x
0
1 1 0 0

1

? e x sin x 1 ? ? e x d sin x ? e sin1 ? ? e x cos xdx 0 ? e sin1 ? ? cos xde x ? e sin1 ? e x cos x 1 ? ? e x d cos x 0
0 0 1 1

? e sin1 ? e cos1 ? 1 ? ? e x sin xdx
0

1

移项化简得

?

1 e x sin xdx ? [e(sin1 ? cos1) ? 1] 0 2
1


相关文章:
不定积分换元法例题1
不定积分换元法例题1_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 不定积分换元法例题1_数学_高中教育_教育专区。...
高中数学解题基本方法换元法
高中数学解题基本方法换元法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学选修课教案高中数学解题基本方法——换元法 化归与转化的思想在解题中的应用 1.解决数学问...
高等数学(上册)教案18 换元积分法(1)
高等数学(上册)教案18 换元积分法(1)_数学_自然科学_专业资料。第 4 章 不...sin 2 xdx . 解 方法方法方法三 ? sin 2 xdx ? 2 ? sin 2 xd...
定积分换元法
积分换元法_数学_自然科学_专业资料。简明扼要说明定积分换元法定积分换元法 1、先做这个题 这个题用一般的方法是无法解出来的,因为不知道到底哪个函数求导后...
关于换元积分法的一个问题
关于换元积分法的一个问题_数学_自然科学_专业资料。关于换元积分法的一个问题...2 4 2 0 综合以上两种方法,虽然都没有错,但是你应该看到,在第二种换元法(...
高等数学(上册)教案19 换元积分法(2)
高等数学(上册)教案19 换元积分法(2)_理学_高等教育_教育专区。第 4 章 不...0) 的不定积分 这三种根式通常采用三角换元方法可去掉根号: 含 a 2 ? x...
高中数学基本方法之二 换元法
高中数学换元法——化归和... 3页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
高中数学解题方法-换元法
高中数学解题方法 2013 年高考数学二轮复习 换元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换 元法。换元的实质是转...
高中数学定积分
高中数学积分_数学_高中教育_教育专区。(一).关于原函数与不定积分概念的几点...3. 同一个不定积分,往往可用多种换元方法求解,这时所得结果在形式可能不一致...
第一类换元积分法
第一类换元积分法_数学_自然科学_专业资料。第一类换元积分法第一类换元法,也称为凑微分法,推导过程如下: 设 在 上有定义, 在 上可导,且 , ,并记 , ...
更多相关标签:
高中数学微积分 | 高中数学定积分知识点 | 高中数学定积分 | 高中数学微积分知识点 | 高中数学有微积分吗 | 高中数学积分 | 高中数学微积分入门 | 高中数学定积分公式 |