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空间几何体的结构


1.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点△AED,△EBF, △FCD 分别沿 DE,EF,FD 折起,使 A,B,C 三点重合于点 A′,若四面体 A′EFD 的四个 顶点在同一个球面上,则该球的半径为
A D A D E B F C F

E

A. k

B.

k

C. e

D. x, y

2.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,AC=4,AB⊥AC, AA1=12,则球 O 的半径为( ) A.

3 17 2

B.2

10

C.

13 2

D.3

10
,点 E 为 AB 上的动点,则 D1E+CE 的最

3.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AA1= 小值为( )

(A)2 (B) (C) +1 (D)2+ 4.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积 分别记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为 多面体,则有( )

A.V1<V2<V4<V3 B.V1<V3<V2<V4 C.V2<V1<V3<V4 D.V2<V3<V1<V4 5.如图所示,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是 ( ).
试卷第 1 页,总 5 页

A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器 口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为( ).

A.

500? 3 cm 3

B.

866? 3 cm 3

C.

1372? 3 cm 3

D.

2048? 3 cm 3

7.正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H,则下列命题中错误 的是( ).

A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直于平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 8.如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ?

2 , BD ? CD ,将其沿

对角线 BD 折成四面体 A? ? BCD , 使平面 A?BD ? 平面 BCD , 若四面体 A? ? BCD 顶 点在同一球面上,则该球的体积为( )

试卷第 2 页,总 5 页

A.

2? 3

B. 3?

C.

3? 2

D. 2?

9. 已知四面体 ABCD 中, AB=AD=6, AC=4, CD=2 13 , AB⊥平面 ACD, 则四面体 ABCD 外接球的表面积为( ) A.36π B.88π C.92π D.128π

10.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

9 ,底面是边长为 3 的正三角 4
).

形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( A.

5? 12

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

11.在正四棱锥 S-ABCD 中,侧面与底面所成的角为 球半径 r 之比为( ) A.5 B.

? ,则它的外接球半径 R 与内切 3
D.

3 2

C.10

5 2

12.长方体的一个顶点三条棱长分别为 1,2,3,该长方体的顶点都在同一个球面上, 则这个球的表面积为(s=4 ?r 2 ) A. 7?
2





B.14 ? C.56 ? D.96 ?

13.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ,这个长方体对角线的长 是 ( )

? A? 2

3

? B? 3

2

?C ? 6

? D?

6

14.在一个棱长为 4 的正方体内,你认为能放入几个直径为 1 的球( A.64 B.65 C.66 D.67



15.已知梯形 ABCD 中 AD // BC , ?ABC ? ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ? 2 AD ? 4 ,

E 、 F 分别是 AB 、 CD 上的点, EF // BC , AE ? x .沿 EF 将梯形 AEFD 翻折, 使平面 AEFD ⊥平面 EBCF (如图). G 是 BC 的中点.

(1)当 x ? 2 时,求证: BD ⊥ EG ; (2)当 x 变化时,求三棱锥 D ? BCF 体积的最大值.

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16.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1,∠CAB=

?
2

.

(1)证明:CB1⊥BA1; (2)已知 AB=2,BC= 5 ,求三棱锥 C1-ABA1 的体积.

PD ? 底面 ABCD , AD ? PD , 17. 如图 5, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,

E , F 分别为 CD, PB 的中点
(1)求证: EF ? 面 PAB ; (2)若 AB ?

2 BC ,求 AC 与面 AEF 所成角的余弦值

?ACB ? 90 ,D 为 BC 18. 在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 ACC1 A1 ? 平面 ABC ,
中点. A1 B1 C1

A D B (1)求证: BC ? AA1 ;

C

(2)求证: AC // 平面 AB1D ; 1 (3)若 AC ? AA 1 ? BC ? 2 , ?A 1 ? ABC 的体积. 1 AC ? 60 ,求三棱锥 A 19.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶ 16,截去的圆锥的母线长是 3cm,求圆台的母线长. 20.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了并流 入杯中,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由。 (冰、水的体积差异忽略不计)

?? ? 3。 14?

试卷第 4 页,总 5 页

21 . 如 图 , 四 边 形 ABCD 与 BDEF 均 为 菱 形 , 设 AC 与 BD 相 交 于 点 O , 若

?DAB ? ?DBF ? 600 ,且 FA ? FC .

(1)求证: FC ∥ 平面EAD ; (2)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值. 22. (本小题 8 分) 如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点, PM ? BB1 交 AA1 于点

M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N .

(1) 求证: CC1 ? MN ; (2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理: DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE . 拓展到 空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二 面角之间的关系式(只写结论,不必证明)

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:因为 DA⊥Rt△AEF,所以四面体 A′EFD 的外接球,与以 A′、E、F、D 所确定的 长方体的外接球是同一外接球,所以其外接球半径 r=

A' D 2 ? A' E 2 +A' F 2 . 2

考点:三棱锥的外接球问题. 2.C 【解析】因为直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以 BC=5,且 BC 为过底面 ABC 的截面圆的直径.取 BC 中点 D,则 OD⊥底面 ABC,则 O 在侧面 BCC1B1 内,矩形 BCC1B1 的对角线长即为球直径,所以 2R= 12 +5 =13,即 R=
2 2

13 2

3.B 【解析】将正方形 ABCD 沿 AB 向下翻折到对角面 ABC1D1 内成为正方形 ABC2D2,在矩形 C1D1D2C2 中连接 D1C2,与 AB 的交点即为所求最小值点 E,此时 D1E+CE=D1C2.因为对角线 BC1=2,C1C2=3,故 D1C2= = = .

4.C 【解析】由题意可知,由于上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面 体.根据三视图可知,最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为 2,下底面圆的半径为 1, 高为 1 的圆台,其体积 V1=

1 7 2 2 π ×(1 +2 +1×2)×1= π ;从上到下的第二个简单几何 3 3
2

体是一个底面圆半径为 1,高为 2 的圆柱,其体积 V2=π ×1 ×2=2π ;从上到下的第三个 3 简单几何体是棱长为 2 的正方体,其体积 V3=2 =8;从上到下的第四个简单几何体是一个 棱台,其上底面是边长为 2 的正方形,下底面是边长为 4 的正方形,棱台的高为 1,故体积 V4=

1 28 2 2 ×(2 +2×4+4 )×1= ,比较大小可知答案选 C. 3 3

5.D 【解析】易证 AC⊥平面 SBD,因而 AC⊥SB,A 正确;AB∥DC,DC?平面 SCD,故 AB∥平面 SCD,B 正确;由于 SA,SC 与平面 SBD 的相对位置一样,因而所成的角相同. 6.A 【解析】作出该球轴截面如图所示,

答案第 1 页,总 10 页

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依题意 BE=2,AE=CE=4,设 DE=x,故 AD=2+x,因为 AD =AE +DE ,解得 x=3,故该 球的半径 AD=5,所以 V=

2

2

2

4 500? 3 πR= . 3 3

7.D 【解析】因为三棱锥 A-A1BD 是正三棱锥,故顶点 A 在底面的射影是底面的中心,A 正确; 平面 A1BD∥平面 CB1D1,而 AH 垂直于平面 A1BD,所以 AH 垂直于平面 CB1D1,B 正确;根据对 称性知 C 正确,故选 D. 8.C 【解析】 试题分析:由 题 意 平 面 四 边 形 ABCD 中 , AB=AD=CD=1 , BD =

2 ,BD ⊥ CD ,将其沿对角

线 BD 折成四面体 A′-BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,若四面体 A′-BCD 顶点在同一个球面 上,可知 A′B⊥A′C,所以 BC 是外接球的直径,所以 BC= 3 ,球 的 半 径 为 :

3 ,所 以 2

球的体积为:

4? 3 3 3 ( ) ? ? , 选 C. 3 2 2

考点:1.球 内 接 多 面 体 ; 2. 球 的 体 积 和 表 面 积 9.B 【解析】 试题分析:在 ?ACD 中,由 AD=6,AC=4,CD=2 13 ,可得 AD ? AC ? CD ,则
2 2 2

AC ? AD , 又 A B ? 平面

A C ,D故 2R ? 42 ? 62 ? 62 ? 88 ? 2 22 , 则

V ? 4? (

2 2 ? 2 )? . 8 8

考点:几何体的组合 10.B 【解析】如图所示:S△ABC=

1 3 3 × 3 × 3 ×sin 60°= . 2 4

答案第 2 页,总 10 页

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∴VABC-A1B1C1=S△ABC×OP=

9 3 3 ×OP= ,∴OP= 3 . 4 4

又 OA=

2 3 × 3 × =1, 3 2 OP ? ? ?? = 3 ,由∠OAP∈ ? 0, ? ,得∠OAP= . OA 3 ? 2?

∴tan∠OAP= 11.D 【解析】 12.B 【解析】 13. D 【解析】

由已知不妨设长 a ? 1, 宽 b ? 2, 高 c ? 3 , 则对角线的长为 a2 ? b2 ? c2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 .故选

? D?
14.C 【解析】第一层放 16 个球;第二层在空档中放 9 个球,使每个球均与底层的 16 个球中的 4 个球相切;第三层再放 16 个球;第四层又放 9 个球;第五层再放 16 个球,这样共放了 66 个球,且五层球的高度为 1 ? 4 ?

2 ? 4 ,故选 C。 2
8 . 3

15. (1)证明过程详见解析; (2)当 x ? 2 时,最大值为

【解析】 试题分析:本题主要考查空间两条直线的位置关系、直线与平面垂直等基础知识,考查空间 想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,先作辅助线 DH ? EF ,由面面垂直的性质 得 DH ? 平面 EBCF , 所以 DH 垂直于面内的线 EG , 又可以由已知证出四边形 BGHE 为 EG ? BH EG ? 平面 DBH , 正方形, 所以 , 再利用线面垂直的判定证明 从而得 EG ? BD ; 第二问,由已知,利用线面垂直的判定证明 AE ? 面 EBCF ,结合第一问的结论 DH ? 平 面 EBCF ,得 AE / / DH ,设出三棱锥的高,列出体积公式,通过配方法求最大值. 试题解析: (1)证明:作 DH ? EF ,交 EF 与 H ,连结 BH , GH , 1分
答案第 3 页,总 10 页

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∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , DH ? 平面 AEFD , ∴ DH ? 平面 EBCF ,又 EG ? 平面 EBCF ,故 EG ? DH . ∵ EH ? AD ?

3分

1 BC ? BG , EF // BC , ?EBC ? 90? . 2 ∴四边形 BGHE 为正方形,故 EG ? BH . 5分 又 BH 、 DH ? 平面 DBH ,且 BH DH ? H ,故 EG ? 平面 DBH . 又 BD ? 平面 DBH ,故 EG ? BD . 6分 (2)解:∵ AE ? EF ,平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , AE ? 平面 AEFD . ∴ AE ? 面 EBCF .又由(1) DH ? 平面 EBCF ,故 AE / / DH , 7 分 ∴四边形 AEHD 是矩形, DH ? AE ,故以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三 棱锥 D ? BCF 的高 DH ? AE ? x . 9分 1 1 又 S?BCF ? BC ? BE ? ? 4 ? ( 4 ? x ) ? 8 ? 2 x . 10 分 2 2 ∴三棱锥 D ? BCF 的体积 1 1 1 2 8 f ( x) ? S ?BFC ? DH ? S ?BFC ? AE ? (8 ? 2 x ) x ? ? x 2 ? x ( 0 ? x ? 4 ) 3 3 3 3 3
当 x ? 2 时,最大值为

8 3

12 分

考点:1.线面垂直的判定;2.三棱锥的体积;3.配方法求最值. 16. (1)证明详见解析; (2)

2 3

【解析】 试题分析: (1)连结 AB1, 则 AC⊥BA1., 又∵AB=AA1,∴四边形 ABB1A1 是正方形,∴BA1⊥AB1, 由直线与平面垂直的判定定理可的 BA1⊥平面 CAB1,故 CB1⊥BA1.(2)首先求出 A1C1 的值, 由(1)知,A1C1⊥平面 ABA1,即 A1C1 是三棱锥 C1-ABA1 的高,然后在求出△ABA1 的面积,最后 根据棱锥的体积公式求解即可. 试题解析:解:(1)证明:如图,连结 AB1,

∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∠CAB=

?
2



∴AC⊥平面 ABB1A1,故 AC⊥BA1. 3 分 又∵AB=AA1,∴四边形 ABB1A1 是正方形, ∴BA1⊥AB1,又 CA∩AB1=A. ∴BA1⊥平面 CAB1,故 CB1⊥BA1. (2)∵AB=AA1=2,BC= 5 ,∴AC=A1C1=1, 由(1)知,A1C1⊥平面 ABA1, ∴VC1-ABA1=

6分 8分 10 分 12 分

1 1 2 S△ABA1·A1C1= ×2×1= . 3 3 3

考点:1.直棱柱的性质和直线与平面垂直的判定;2.棱锥的体积.
答案第 4 页,总 10 页

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17. (1)见解析(2)AC 与平面 AEF 所成角的正弦值为 【解析】方法一: (1)取 PA 中点 G, 连结 FG, DG

h a/2 3 ? ? AC 6 3a

P

F C
B
O

G

E
A

D

// 1 AB ? BF ? FP ? FG ? ? ? 2 // DE ? ? FG ? 1 // AB ? CE ? ED ? DE ? // DG ? 四边形DEFG为平行四边形 ? EF ? ? 2 ?

PD ? 平面ABCD ? 平面PAD ? 平面ABCD ? ? ? AB ? 平面PAD 又 AB ? AD ?
? ? 平面PAB ? 平面PAD ? ? ? PD ? AD ? ? ? ? ? AG ? PA ? ? DG ? 平面PAB ? PG ? GA ? ? ? EF ? 平面PAB ? ? AG ? 平面PAD ? ? ? EF DG ? ?
⑵设 AC, BD 交于 O,连结 FO.[来源:学科网]

……(6 分)

PF ? BF ? ? 1 // PD ? ? ? FO ? BO ? OD ? 2 ? ? FO ? 平面ABCD PD ? 平面ABCD ? ?
设 BC=a, 则 AB= 2 a, ∴PA= 2 a, DG= 设 C 到平面 AEF 的距离为 h. ∵VC-AEF=VF-ACE, ∴ ?

2 a=EF, ∴PB=2a, AF=a. 2

1 1 1 1 EF ? AF ? h ? ? CE ? AD ? FO 3 2 3 2
∴h ?



2 2 a a?a?h ? a?a? 2 2 2

a 2

∴AC 与平面 AEF 所成角的正弦值为

h a/2 3 . ? ? AC 6 3a

答案第 5 页,总 10 页

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即 AC 与平面 AEF 所成角为 arcsin

3 6

…(12 分)

方法二:以 D 为坐标原点,DA 的长为单位,建立如图所示的直角坐标系, (1)证明:
? 1 1? 设 E ? a,0,0? ,其中 a ? 0 ,则 C ? 2a,0,0? , A ? 0,1,0 ? , B ? 2a,1,0 ? , P ?0,0,1? , F ? a, , ? , ? 2 2? ? 1 1? EF ? ? 0, , ? , PB ? ? 2a,1, ?1? , AB ? ? 2a,0,0? , EF ? PB ? 0,? EF ? PB , ? 2 2?
AB ? EF ? 0,? AB ? EF

又 PB ? 平面PAB, AB ? 平面PAB, PB AB ? B , ? EF ?? 平面PAB …(6 分) (2)解:由 AB ? 2BC, 得 a ? 可得 AC ?
2 , 2

z
P

?

2, ?1,0 , PB ?
AC ? PB

?

?

2,1, ?1

?
B
3 , 6

x C

3 , cos? AC, PB? ? ? 6 AC ? PB

F E y
A

D

则异面直线 AC,PB 所成的角为 arccos

? 2 1 1? AF ? ? ? 2 ,? 2 , 2 ? ? ,? AF ? PB ? 0, AF ? PB , ? ?

又 PB ? EF ,AF 为平面 AEF 内两条相交直线, ? PB ? 平面AEF ,
? AC 与平面 AEF 所成的角为

?
2

? arccos
3 6

3? 3? ? ? arcsin ?, ? 6 ? 6 ? ?

即 AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin

…(12 分)

18. (1)参考解析; (2)参考解析; (3)

2 3 3

【解析】 试题分析: (1)要证明线面垂直,根据线面垂直的判断定理,需要证明直线垂直平面内的两 条相交直线,或者用面面垂直的性质定理,转化为线面垂直在转到线线垂直的结论,本小题 是根据题意,利用第二种方法证明. (2)线面平面平行的证明,关键是在平面内找到一条直线与要证明的直线平行,根据 D 点 是中点,利用中位线的知识可得到直线的平行,所以把直线 A1B, AB1 交点与点 D 连结即可. 线面平行还有一种就是转化为面面平行.线面平行的证明就是这两种判断的相互转化.
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(3)根据体积公式,以及题意很容易确定高以及底面的面积,即可求出体积. 试题解析: (1)证明:因为 ?ACB ? 90? , 所以 AC ? BC , 又 侧面 ACC1 A1 ? 平面 ABC , 且 平面 ACC1 A1 ? 平面 ABC ? AC ,

BC ? 平面 ABC ,
所以 BC ? 平面 ACC1 A1 , 又

AA 1 ? 平面 ACC 1A 1,

所以 BC ? AA 1 . (2)证明:设 A1B 与 AB 1 的交点为 O ,连接 OD , 在 ?A1 BC 中, O, D 分别为 A1B , BC 的中点, A1 B1 O A D B 所以 OD // AC 1 , 又 OD ? 平面 AB1D , AC ? 平面 AB1D , 1 所以 AC 1 // 平面 AB 1D . (3)解:由(1)知, BC ? 平面 ACC1 A1 , 所以三棱锥 A 1 ? ABC 的体积为 C C1

1 S ?ACA1 ? BC . 3

又 AC ? AA1 ? 2 , ?A 1 AC ? 60 , 所以 S?ACA1 ?

1 ? ? ? 3 ? 2 ? 2 ? sin 60 ? 3 , 所以 S?ACA1 ? BC ? ? 3 ? 2 ? . 2 3 3 3
答案第 7 页,总 10 页

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三棱锥 A 1 ? ABC 的体积等于

2 3 . 3

考点: 1.线线垂直的判断.2.线面垂直的判定.3.线面平行的判断.4.棱锥的体积公式.5.空间 想象能力. 19.9cm 【解析】设圆台的母线长为 lcm,截得圆台的上、下底面半径分别为 rcm,4rcm. 根据相似三角形的性质得 = ,解得 l=9.所以,圆台的母线长为 9cm.

20.冰淇淋融化了,不会溢出杯子; 【解析】 试题分析:根据题意,求出半球的体积,圆锥的体积,比较二者大小,判断是否溢出,即可 得答案. 试题解析:因为 V半球 ?

1 4 1 4 ? ? R 3 ? ? ? ? 43 ? 134(cm3 ) 2 3 2 3

1 1 V圆锥 ? ? r 2 h ? ? ? 42 ?12 ? 201(cm3 ) 3 3
因为 V半球 ? V圆锥 所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子. 考点:1.棱柱、棱锥、棱台的体积;2.球的体积和表面积. 21. (1)证明过程详见解析; (2)余弦值为

15 . 5

【解析】 试题分析:本题主要考查线面平行、面面平行、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立 体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,先根据菱形的 定 义 得 AD ∥ BC , DE ∥ BF , 再 根 据 线 面 平 行 的 判 定 得 AD ∥ 平面FBC ,

DE ∥ 平面FBC , 再 根 据 面 面 平 行 的 判 定 得 面 FBC / / 面 EAD , 从 而 证 明 FC ∥ 平面EAD ;第二问,先根据已知条件得建立空间直角坐标系的最基本的条件,即 OA, OB, OF 两两垂直,建立空间直角坐标系,写出点的坐标,求出平面 BFC 和平面 AFC
的法向量,利用夹角公式求出夹角并判断二面角为锐二面角,所以所求余弦值为正值. 试题解析:(1) 证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD ∥ BC , DE ∥ BF .
答案第 8 页,总 10 页

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因为 AD ? 平面FBC , DE ? 平面FBC , 所以 AD ∥ 平面FBC , DE ∥ 平面FBC 2分

又 AD ? DE ? D , AD ? 平面EAD , DE ? 平面EAD , 所以 平面FBC ∥ 平面EAD 又 FC ? 平面FBC , 所以 FC ∥ 平面EAD 4分
0

(2) 连接 FO 、 FD ,因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60 ,所以 ?DBF 为等边三 角形, 因为 O 为 BD 中点.所以 FO ? BD , 又因为 O 为 AC 中点,且 FA ? FC , 所以 AC ? FO 又 AC ? BD ? O ,所以 FO ? 平面ABCD 由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz
0 设 AB ? 2 ,因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60 ,

.6 分

则 BD ? 2 , OB ? 1 , OA ? OF ? 3 , 所以 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), F (0,0, 3)
? ? ?

..8 分

所以 CF ? ( 3 ,0, 3 ), CB ? ( 3 ,1,0) 设平面 BFC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? ? ? ? ? 3x ? 3z ? 0 ?n? CF ? 0 则有 ?? ? ,所以 ? ,令 x ? 1 ,则 n ? (1,? 3 ,?1) ? ? 3x ? y ? 0 ? n? CB ? 0

因为 BD ? 平面AFC ,所以平面 AFC 的一个法向量为 OB ? (0,1,0) 因为二面角 A ? FC ? B 为锐二面角,设二面角的平面角为 ?
? ? ? ?

?

.10 分

则 cos? ? cos ? n , OB ? ?

n? OB
?

?

?

? 3 5

?

n ? OB
15 5

15 5

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为

..12 分

答案第 9 页,总 10 页

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考点:1.线面平行的判定;2.面面平行的判定;3.空间向量法;4.夹角公式. 22 . (1)见解析;
2 2 2 (2) 在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 有 S ABB 其中 ? 为 ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? , 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所组成的二面角. 【 解 析 】 (1) 本 小 题 可 通 过 证 明 BB1 ? 平面PMN , 再 证 明 BB1 // CC1 ,即可得到要 证结论。 (2)根据类比规则,把三角形当中的边长类比成三棱柱中的侧面面积。所以可得结论为
2 2 2 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

解:(1) 证: ? CC1 // BB1 ? CC1 ? PM , CC1 ? PN , ? CC1 ? 平面PMN ? CC1 ? MN ;-3 分
2 2 2 (2) 解:在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? ,其中 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

? 为 平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所组成的二面角. ------------------8 分

(以下证明学生不必证明) ? CC1 ? 平面PMN , ? 上 述
2 2 2











?MNP

,



?PMN





PM ? PN ? MN ? 2PN ? MN c ? oM s N ? P
2 2 2 PM 2CC1 ? PN 2CC1 ? MN2CC1 ? 2(PN ? CC ) ? (MN ? CC ) cos?MNP ,
1 1

由于 SBCC1B ? PN ? CC , S ACC1A ? MN ? CC , S ABB1A ? PM ? BB1 , 1 1 1
1 1

2 2 2 ∴有 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? . 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

_______8分

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