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金版学案 数学选修2-1 1.4.1 全称量词与存在量词的意义


第一章

常用逻辑用语

数学·选修 2-1(人教 A 版)

常用逻辑用语

1.4 1.4.1

全称量词与存在量词 全称量词与存在量词的意义

一、选择题 1.下列命题中全称命题的个数为( )

①平行四边形的对角线互相平分; ②梯形有两边平行; ③存在一 个菱形,它的四条边不相等. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:①②是全称命题,③是特称命题.故选 C. 答案:C

2.下列特称命题中真命题的个数是( ①存在 x0∈R,x0≤0;

)

②至少有一个整数,它既是质数,又是偶数; ③? x0∈R,使 x2 0-9x0+8=0 成立.

第一章 A.0 个 B.1 个

常用逻辑用语

C.2 个 D.3 个

解析:①②③都是真命题. 答案:D

3. 将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题, 下列说法正确的是( A.? x,y∈R,都有 x2+y2≥2xy
2 B.? x0,y0∈R,使 x2 0+y0≥2x0y0

)

C.? x>0,y>0,都有 x2+y2≥2xy
2 D.? x0<0,y0<0,使 x2 0+y0≤2x0y0

解析:这是一个全称命题,且 x,y∈R.故选 A. 答案:A

4.给出 3 个命题:①? k∈[0,+∞),使方程 x2+kx+1=0 有 实根; ②? k∈(-∞, -2], 使方程 x2+kx+1=0 有实根; ③? k∈[- 2,2],使方程 x2+kx+1=0 有实根.其中正确命题的个数是( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

解 析 : 方 程 x2 + kx + 1 = 0 有 实 根 的 充 要 条 件 是 Δ = k2 - 4×1×1≥0, 得 k≤-2 或 k≥2, 所以命题①②正确, 命题③错误. 故 选 C. 答案:C

5.有下列四个命题:①? x∈R,2x2-3x+4>0;②? x∈{1,-

第一章

常用逻辑用语

* 1,0},2x+1>0;③? x0∈N*,x2 x0 为 31 的约数.其 0≤x0;④? x0∈N ,

中真命题的个数为( A.1 个 B.2 个

) C.3 个 D.4 个

解析:对于①,这是全称命题,因为 Δ =(-3)2-4×2×4<0, 所以 2x2-3x+4>0 恒成立,故①为真命题;对于②,这是全称命题, 因为当 x=-1 时,2x+1>0 不成立,故②为假命题;对于③,这是 特称命题,当 x0=0 或 x0=1 时,有 x2 0=x0 成立,故③为真命题;对 于④,这是特称命题,当 x0=1 时,x0 为 31 的约数成立,所以④为 真命题.故选 C. 答案:C

二、填空题 6 .下列命题,是全称命题的是 __________ ,是特称命题的是 ________(填序号). ①正方形的四条边相等 ②有两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形 ③正数的平方根不等于 0 ④至少有一个正整数是偶数

解析:①②③是全称命题,④是特称命题. 答案:①②③ ④

7.对任意 x>3,x>a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

第一章

常用逻辑用语

解析: 对任意 x>3, x>a 恒成立, 即大于 3 的数恒大于 a, 所以 a≤3. 答案:(-∞,3]

8. 若? x∈R,f(x)=(a2-1)x 是单调减函数,则 a 的取值范围 是________________.

解析:依题意有:0<a
? ?a<-1或a>1, ? ? ?- 2<a< 2

2

2 ? ?a -1>0, -1<1?? 2 ?a -1<1 ?

?

?- 2<a<-1 或 1<a< 2.

答案:(- 2,-1)∪(1, 2).

三、解答题 9. 用量词符号“? ”“? ”表述下列命题,并判断真假. (1)所有实数 x 都能使 x2+x+1>0 成立; (2)对所有实数 a,b,方程 ax+b=0 恰有一个解; (3)一定有整数 x0,y0,使得 3x0-2y0=10 成立; 1 1 (4)所有的有理数 x 都能使 x2+ x+1 是有理数. 3 2

解析:(1)? x∈R,x2+x+1>0;真命题. (2) ? a,b∈R,ax+b=0 恰有一解;假命题.

(3) ? x0、y0∈Z,3x0-2y0=10;真命题. 1 1 (4) ? x∈Q, x2+ x+1 是有理数;真命题. 3 2

第一章

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10.确定 m 的范围,使命题“? x∈R,sin x+cos x>m”为真命 题.

解析:(1)令 y=sin x+cos x,x∈R. 因为 y=sin x+cos x= 2sin?x+
? ?

π? ?≥- 2, 4?

又因为? x∈R,sin x+cos x>m 为真命题, 所以只要 m<- 2即可. 所以所求 m 的取值范围是 (-∞,- 2).


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