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Cjajbmo数学精英解 “圆锥曲线”题


-+ 懒惰是很奇怪的东西,它使你以为那是安逸,是休息,是福气;但实际上它所给 你的是无聊,是倦怠,是消沉;它剥夺你对前途的希望,割断你和别人之间的友情, 使你心胸日渐狭窄,对人生也越来越怀疑。 —罗兰
考场精彩(8)

圆锥曲线” (8) 数学精英解 “圆锥曲线”题
x2 y2 1.(2007 年湖北卷第 7 题) 双曲线 C1: 2 ?

2 = 1 (a>0,b>0)的左准线为 l,左焦点和右焦 a b
点分别为 F1 和 F2 ;抛物线 C2 的准线为 l,焦点为 F2.C1 和 C2 的一个交点为 M,则

| F1 F2 | | MF1 | 等于 ? | MF1 | | MF2 |
A.-1 B.1 C. ?

1 2

D.

1 2

解答: 设双曲线的离心离为 e,如图:

| F1 F2 | | MF1 | 2c e | MN | 2ae ? = ? = ?e | MF1 | | MF2 | | MF1 | | MN | e | MF1 | = e? | MF1 | ? | MF2 | | MN | ? e = e(1 ? ) ? e = e ? 1 ? e = ?1 | MF1 | e | MN |

答案为 A. 【说明】MN 是转换的中介,巧用定义.

x2 y2 2.(湖南卷第 9 题) 设 F1,F2 分别是椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0 )的左、右焦点,若在其右 湖南卷第 a b
准线上存在 P, 使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. ? 0, )

? ? ?

2? ? 2 ?

B. ? 0, ? ?

? ?

3? 3 ?

C. ?

? 2 ? , 1? ? ? 2 ?

D. ?

? 3 ? , 1? ? ? 3 ?

? a2 ? a2 解: 椭圆的右准线方程为 x = , F1 ( ?c, 0 ) , F2 ( c, 0 ) , P ? , y ? , PF1 的中垂线过 F2 , 则 c ? c ?
? a2 ? a4 ? ? + y 2 ? y 2 = 3c 2 + 2a 2 ? F1 F2 = F2 P,∴ 2c = ? ? c? , c2 ? c ?
2 当 y = 0 时, y 最少,即: 3e ?
2

2

1 3 3 +2≥0?e≥ ? ≤ e < 1. 故选 D. 2 e 3 3

答案为 D. 【说明】 充分利用圆锥曲线的性质寻找解题的突破口.

0) 0) 3.(全国卷Ⅰ第 4 题) 已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 ( ?4, , (4, ,则双曲线方程为 全国卷Ⅰ 全国卷
( A. )

x2 y 2 ? =1 4 12

B.

x2 y 2 ? =1 12 4

C.

x2 y 2 ? =1 10 6

D.

x2 y 2 ? =1 6 10

解答:c=4,e=2,则 a=2.焦点在 x 轴上.答案为 A. 【说明】 e =

c 2 , a + b2 = c2. a

4.(全国卷Ⅰ第 11 题) 抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F , 全国卷Ⅰ 准线为 l , 经过 F 且斜率为 3 的直线与 全国卷 抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是( A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8 )

解答: 解答: 联立 ?

? y 2 = 4x ? ? A(3,2 3 ) ,|AK|=3-(-1)=4, ? y = 3 ( x ? 1) ?

S ?ABC =

1 × 4× 2 3 = 4 3 . 2

答案为 C. 【说明】 A 点是突破点,只要求出它,便迎刃而解. 5.(浙江卷第 4 题) 要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到 浙江卷第 浙江 水. 假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面, 则需安装这种喷水龙头的个数最 少是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解答:每一条边上至少得 2 个,则对称性知,最少得安装 4 个. 【而答】 答案为 B.

6.(浙江卷第 9 题) 已知双曲线 浙江卷第 浙江

x2 y2 ? = 1(a > 0,b > 0) 的左、 右焦点分别为 F1 ,F2 ,P 是 a2 b2


准线上一点,且 PF1 ⊥ PF2 , PF1 PF2 = 4ab ,则双曲线的离心率是( A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

解答: ∵ PF1 ⊥ PF2 ,∴ PF1 ? PF2 = 0 .

设 P?

? a2 ? ? ? ? ? a2 a2 , y ? ,则 ? ? c ? ,? y ? ? ? c ? ,? y ? = 0 解得 | y |= ? c ? ? ? ? ? c c ? ? ? ? ? ?

c4 ? a4 , c

又由 S ?PF1F2 = 得

1 1 | PF1 || PF2 |= 2ab及S ?PF1F2 = | F1 F2 | ? | y |= 2ab 2 2

1 c4 ? a4 × 2c × = 2ab, 解得c = 3a,∴ e = 3. 2 c

答案为 B. 【说明】 用向量解决解析几何.

7.(江苏卷第 3 题) 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上, 江苏卷第 江苏 一条渐近线的方程为 x ? 2 y = 0 ,则它的离心率为( )

A. 5

B.

5 2

C. 3

D. 2
2

1 a ?b? 2 解答:渐近线的斜率 = , e = 1 + ? ? = 1 + 2 = 5 . 2 b a? ?
答案为 A.

c 【说明】 离心率 e = = a

a2 + b2 ?b? = 1+ ? ? . 2 a ?a?

2

8.(全国卷Ⅱ第 11 题) 设 F1,F2 分别是双曲线 全国卷Ⅱ 全国卷

x2 y2 ? = 1 的左、右焦点。若双曲线上存在 a2 b2

点 A,使∠F1AF2=90?,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为 (A)

5 2

(B)

10 2
0

(C)
2

15 2
2

(D)
2

5

解答: 由题设知 ∠F1 AF2 = 90 ? AF1 + AF2 解答: 入后解得 AF1 =

= F1 F2 , 将|AF1|=3|AF2|以及 F1 F2 = 2c 代

3 10 10 c, AF2 = c, 5 5 3 10 10 c 10 c? c = 2a ? e = = 5 5 a 2

又由双曲线定义知

答案为 B. 说明】 【说明】 本题除了将题设部分看错以外,不会出现选错情况,比如将条件|AF1|=3|AF2|看错 为|AF1|=2|AF2|,就可能选错为 A 等.

9.(全国卷Ⅱ 第 12 题 ) 设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 全国卷Ⅱ 全国卷

FA + FB + FC =0,则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 解答: 解答: 欲求|FA|+|FB|+|FC|,根据抛物线的定义,只需求 A、B、C 三点的横坐标之和即可。 设抛物线 y2=4x 上的三点 A、B、C 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 、 A( x3 , y3 ) 由于抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 F (1, 0) ,所以 FA = ( x1 ? 1, y1 ) , FB = ( x2 ? 1, y2 )

uuu r

uuu r

uuu r FC = ( x3 ? 1, y3 ) ,又由 FA + FB + FC =0 得, x1 + x2 + x3 = 3
进而得|FA|+|FB|+|FC|= ( x1 + 1) + ( x2 + 1) + ( x3 + 1) = 3 + 3 = 6 ,故选 B. 答案为 B. ,则选错为 A; 【说明】 若把抛物线的焦点坐标错求为 F (2, 0) (这种错误比较容易出现) 说明】 若将向量 FA、 、 的横坐标之和错求为 0 ,则选错为 D。 FB FC

uuu uuu uuu r r r

10.(天津卷第 4 题)设双曲线 天津卷第 天津

x2 y2 ? = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为 3 ,且它的一条准线与 a2 b2


抛物线 y 2 = 4 x 的准线重合,则此双曲线的方程为(

A.

x2 y 2 ? =1 12 24

B.

x2 y2 ? =1 48 96

x2 2 y 2 C. ? =1 3 3
解答: e = 解答:

x2 y 2 D. ? =1 3 6

3=

c a2 a2 ,∴ c = 3a.而 ? = ?1,∴ = 1. ∴ a = 3 , c = 3. a c c

答案为 D. 【说明】 离心率连着 a 和 c,而求出了它们,b 就知道了.
y2 = 1 上的一点,F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若 12

11.(辽宁卷第 11 题) 设 P 为又曲线 x 2 ? 辽宁卷第 辽宁

|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2 的面积为( A. 6 3 B.12

) C. 12 3 D.24

解答: 解答: 由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2. 又|PF1|∶|PF2|=3∶2,解得|PF1|=6,|PF2|=4. 由双曲线方程知 c2=13. ∴|F1F2|=2c= 2 13 . 又∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴PF1⊥PF2.

∴ S ?PF1F2 =

1 1 | PF1 | ? | PF2 |= × 6 × 4 = 12 . 2 2

答案为 B. 【说明】 本题考查双曲线的定义、性质以及基本运算能力. 】

12.(福建卷第 6 题) 以双曲线 福建卷第 福建 ( )

x2 y 2 ? = 1 的右焦点为圆心, 且与其渐近线相切的圆的方程是 9 16

A. x 2 + y 2 ? 10 x + 9 = 0 C. x 2 + y 2 + 10 x + 16 = 0

B. x 2 + y 2 ? 10 x + 16 = 0 D. x 2 + y 2 + 10 x + 9 = 0
4 x 的距 3

解答: ,排除 C,D. 又因为点(5,0)到渐近线 y = ± 解答:由题知圆心坐标应为(5,0) 离为 4,验证可知 A 项正确. 答案为 A . 说明】 【说明】 本题考查双曲线的基本运算以及直线与圆的相关知识.


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