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浦东暑假初升高数学补习班 高考数学圆锥曲线及解题技巧免费


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椭圆与双曲线的性质

1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7. 8.



x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a2 b a b 2 2 x0 x y0 y x y ? 2 ? 1. 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 a2 b a b 2 2 ? x y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F . 1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan 2 a b x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).

9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

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11. AB 是椭圆 即 K AB

x2 y 2 b2 ? ? 1 k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,则 , ( x , y ) OM AB 0 0 a 2 b2 a2 b2 x ?? 2 0 。 a y0 x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 . 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2 a2 b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 1 ? ? 2 ? 2 . 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a 2 b2 a b

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

双曲线
1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x0 x y0 y x y ? 2 ? 1. 6. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 a2 b a b 2 2 x y 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > o )的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,点 P 为双曲线上任意一点 ?F 1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 a b ? S?F1PF2 ? b 2 co t . 2
5. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

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8. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a 2 b2 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a

9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点, 则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

b 2 x0 b 2 x0 x2 y 2 11. AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 K OM ? K AB ? 2 ,即 K AB ? 2 。 a b a y0 a y0
x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a b a2 b a b 2 2 2 2 x0 x y0 y x y x y ? 2 . 13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a b a2 b

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
椭 圆

x2 y 2 x2 y 2 1. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b a b 2 2 x y b2 x 2. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点, 则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数) . a b a y0

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a?c ? ? x2 y 2 ? tan co t . 3. 若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 a?c 2 2 a b
4. 设 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 的 两 个 焦 点 为 F1 、 F2,P ( 异 于 长 轴 端 点 ) 为 椭 圆 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? , a 2 b2 sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

x2 y 2 5. 若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准 a b
线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三 a 2 b2

点共线时,等号成立.

( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 . a2 b2 x2 y 2 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的 8. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) 2 2 a b | OP | | OQ | a b
7. 椭圆 最大值为

4a 2 b 2 a 2b 2 ; ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ a 2 ? b2 a 2 ? b2

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9. 过椭圆

x2 y 2 | PF | e ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . 2 a b | MN | 2

x2 y 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 10. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a b a a x2 y 2 2b2 11. 设 P 点是 椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 )上异于长 轴端点的任一点 ,F1 、 F2 为其焦 点记 ?F1PF2 ? ? ,则 (1) | PF1 || PF2 |? .(2) a b 1 ? cos ?
2 x2 y 2 12. 设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距 a b 2a 2 b 2 2ab2 | cos ? | 2 cot ? . 离心率,则有(1) | PA |? 2 .(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 a ? c 2co s2 ?
13. 已知椭圆

S?PF1F2 ? b 2 tan

?

.

x2 y 2 ? ?1 ( a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、 B 两点,点 C 在右准线 l 上, 且 BC ? x a 2 b2

轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).

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(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
双曲线
x2 y 2 1. 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 a b 2 2 x y ? 2 ? 1. 2 a b x2 y 2 b2 x 2. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o) 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点, 则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 a b a y0
(常数). 3. 若 P 为 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 右 ( 或 左 ) 支 上 除 顶 点 外 的 任 一 点 ,F1, F 2 是 焦 点 , ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则 a 2 b2

c?a ? ? c?a ? ? ? t a n co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

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x2 y 2 4. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 )的两个焦点为 F1 、 F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△ PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , a b

?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 a 2 b2

P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

x2 y 2 6. P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三 a b
点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . 2 a b x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . a b 4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? (1) ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ; ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ b2 ? a2 b2 ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2
7. 双曲线

x2 y 2 | PF | e ? . 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 a b | MN | 2

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x2 y 2 a 2 ? b2 ? ? 1 x ? ( a > 0,b > 0 ) ,A 、 B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则 或 P ( x ,0) 0 0 a 2 b2 a a 2 ? b2 x0 ? ? . a x2 y 2 2b2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) a b 1 ? cos ? ? S?PF1F2 ? b 2 cot . 2 x2 y 2 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双 a b 2ab2 | cos ? | 曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 . | a ? c 2co s2 ? | 2a 2 b 2 cot ? . (2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 2 b ? a2
10. 已知双曲线 13. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l a 2 b2

上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).

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(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解 题,还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义,灵活解题 灵活运用定义,方法往往直接又明了。 例 1. 已知点 A(3,2) ,F(2,0) ,双曲线 求 的最小值。 解析:如图所示, ,P 为双曲线上一点。

双曲线离心率为 2,F 为右焦点,由第二定律知

即点 P 到准线距离。

二. 引入参数,简捷明快 参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。 例 2. 求共焦点 F、共准线 的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解:取如图所示的坐标系,设点 F 到准线 的距离为 p(定值) ,椭圆中心坐标为 M(t,0) (t 为参数)

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,而

再设椭圆短轴端点坐标为 P(x,y) ,则

消去 t,得轨迹方程 三. 数形结合,直观显示 将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常 能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例 3. 已知 解析: ,且满足方程 的几何意义为,曲线 ,又 ,求 m 范围。 上的点与点(-3,-3)连线的斜率,如图所示

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四. 应用平几,一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。 例 4. 已知圆 解: 和直线 的交点为 P、Q,则 的值为________。

五. 应用平面向量,简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。 例 5. 已知椭圆: 的轨迹方程。 ,直线 : ,P 是 上一点,射线 OP 交椭圆于一点 R,点 Q 在 OP 上且满足 ,当点 P 在 上移动时,求点 Q

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分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 解:如图, 共线,设 , , ,则 ,

点 R 在椭圆上,P 点在直线 上 ,

即 化简整理得点 Q 的轨迹方程为:

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(直线

上方部分)

六. 应用曲线系,事半功倍 利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例 6. 求经过两圆 解:设所求圆的方程为: 和 的交点,且圆心在直线 上的圆的方程。

则圆心为 解得 故所求的方程为

,在直线



七. 巧用点差,简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。 例 7. 过点 A(2,1)的直线与双曲线 解:设 , ,则 相交于两点 P1、P2,求线段 P1P2 中点的轨迹方程。

<2>-<1>得

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即 设 P1P2 的中点为 ,则



,而 P1、A、M、P2 共线

,即 中点 M 的轨迹方程是 解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择 题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线 与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. (0<t<1),以 AB 为直腰作直角梯形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆

例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t 于 P、Q 两点,建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A?B? 的方程;

(2)计算出点 P、Q 的坐标;

(3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q. 讲解: 通过读图, 看出

A' , B ' 点的坐标.

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‘ 于是 ?? 1, A' ?1,1 ? t ? , B 1 ? t ?,

(1 ) 显然

直线

A?B?

的方程为 y ? ?tx ? 1 ; (2)由方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? 1, 2t 1? t 2 , ); 解出 P ( 0,1) 、 Q ( 1? t 2 1? t 2 ? y ? ?tx ? 1,
1? 0 1 ?? , 0?t t
k QT 1? t2 ?0 2 1? t2 1 1 ? t ? ? ? . 2 2t t t (1 ? t ) ?t 1? t2

(3) k PT ?

由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射光线通过点 Q. 需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例 2 已知直线 l 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S,求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. a2 b2

讲解:从直线 l 所处的位置, 设出直线 l 的方程, 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2, 得 化简后,得关于 x 的一元二次方程

b 2 x 2 ? a 2 (k 2 x 2 ? 2kmx? m2 ) ? a 2b 2 .

(a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2ka 2 mx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0.

于是其判别式 ? ? (2ka 2 m) 2 ? 4(a 2 k 2 ? b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 (a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ). 由已知,得△=0.即 a k ? b ? m .
2 2 2 2



在直线方程

y ? kx ? m 中,分别令 y=0,x=0,求得 R(?

m ,0), S (0, m). k

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m y ? ? x?? , k?? , ? ? k x ? 令顶点 P 的坐标为(x,y) , 由已知,得 ? 解得? ? y ? m . m ? y . ? ? ? ? ? ?
代入①式并整理,得 a ? b ? 1 , 2 2
2 2

即为所求顶点 P 的轨迹方程.

x

y

方程 a ? b ? 1 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 2 2

2

2

x

y

例 3 已知双曲线

x2 y2 2 3 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 . 2 3 2 a b

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线

y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值.
ab ab d ? ? ? c 2 3 原点到直线 AB: x y 2 2 ? ? 1 的距离 ? , c a ?b a b a 3 ? b ? 1, a ? 3. 3 . 2 .

讲解:∵(1)

2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1. 3

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 .

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x0 ?

y ?1 x1 ? x2 15k 5 1 ? ? y0 ? kx0 ? 5 ? , k BE ? 0 ?? . 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0, 即
故所求 k=±

15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程.

7.

例 4 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2 的最大值为 90°,直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点,△ABF2 的面积最大值 为 12. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)求椭圆 C 的方程.

讲解: (1)设 | PF 1 |? r 1 ,| PF 2

|? r2 ,| F1F2 |? 2c ,

对 ?PF 1 F2 , 由余弦定理, 得

cos ?F1 PF2 ?

2 r11 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? ? ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2e ? 0 , r ? r 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2 2( 1 2 ) 2 2

解出

e?

2 . 2

(2)考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当 k 存在时,设 l 的方程为 椭圆方程为

y ? k ( x ? c) ………………①


x2 y2 ? ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由 e ? 2 . a2 b2 2

a 2 ? 2c 2 , b 2 ? c 2 .

于是椭圆方程可转化为 将①代入②,消去

x2 ? 2 y2 ? 2c2 ? 0 ………………②
x 2 ? 2k 2 ( x ? c) 2 ? 2c 2 ? 0 ,

y得

18

东南数理化 高中数学教研组 整理为 x 的一元二次方程,得

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4ck 2 x ? 2c 2 (k 2 ? 1) ? 0 .

2 2c 1 ? k 2 , 2 2c(1 ? k 2 ) , 2 | AB | ? 1 ? k | x ? x | ? 2 1 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 也可这样求解: AB 边上的高 h ?| F F | sin ?BF F ? 2c ? | k | , 1 2 1 2 1 1? k 2 S ? | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 | 2 1 1? k 2 |k| S ? 2 2c( ) 2c 2 1 ? 2k 2 1 ? k 2 ? c? | k | ? | x1 ? x2 |
则 x1、x2 是上述方程的两根.且 | x2 ? x1 |?

? 2 2c 2

1? k 2 | k | k2 ? k4 1 2 ? 2 2 c ? 2 2c 2 ? 2c 2 . 2 2 4 1 1 ? 2k 1 ? 4k ? 4k 4? 4 k ? k2

ii) 当 k 不存在时,把直线 x ? ?c 代入椭圆方程得

y??

2 1 c,| AB |? 2c, S ? 2c ? 2c 2 2 2
a 2 ? 12 2

由①②知 S 的最大值为

2c 2

由题意得 2c 2 =12 所以 c 2 ? 6 2 ? b 2
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为: x

? my ? c …………①

(这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)
2 2 椭圆的方程为: x ? y ? 1, A( x , y ), B( x , y ) 1 1 2 2 2 2

a

b

由e ?

2 得: 2 a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 , 于是椭圆方程可化为: x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 ……② . 2

19

东南数理化 高中数学教研组 把①代入②并整理得: (m 2 ? 2) y 2 ? 2mcy ? c 2 ? 0 于是 y1 , y 2 是上述方程的两根.

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y 1 ? y2 ) 2 ? 1 ? m2 | y2 ? y1 | ?
AB 边上的高 h ?

1 ? m2

4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) m ?2
2

?

2 2c(1 ? m 2 ) , m2 ? 2

2c 1 ? m2

,

2 1 ? m2 2 从而 S ? 1 | AB | h ? 1 ? 2 2c(1 ? m ) ? 2c ? 2 2 c 2 2 2 m2 ? 2 (m ? 2) 2 ? 2 2c 1 ? m2

1 1 m ?1? 2 ?2 m ?1
2

? 2c 2 .

当且仅当 m=0 取等号,即 S max 由题意知 2c 2 ? 12 , 于是

? 2c 2 .

b 2 ? c 2 ? 6 2 , a 2 ? 12 2 .
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

例 5 已知直线

y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 l : x ? 2 y ? 0 上.(1)求此椭圆的离心率; a2 b2
2

(2 )若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x

? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程.

? y ? ? x ? 1, ? 讲解:(1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则由? x 2 y2 ? ?1 ? 2 b2 ?a
(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 ,



20

东南数理化 高中数学教研组

根据韦达定理,得

2a 2 2b 2 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y 2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 , a ? b2 a ? b2

∴线段 AB 的中点坐标为(

a2 b2 , a2 ? b2 a2 ? b2

).

由已知得

2 a2 2b 2 ? ? 0,? a 2 ? 2b 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? 2c 2 ,故椭圆的离心率为 e ? 2 2 2 2 2 a ?b a ?b
? c, 从而椭圆的右焦点坐标为 F (b,0),
设 F (b,0) 关于直线 l : x ? 2 y

.

( 2 )由( 1 )知 b

? 0 的对称点为 ( x0 , y0 ),则

y0 ? 0 1 x ?b y ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, 解得 x0 ? b 2 2 2

3 4 x 0 ? b且 y 0 ? b 5 5
由已知得

3 4 x2 y2 2 2 x0 ? y0 ? 4,? ( b) 2 ? ( b) 2 ? 4,? b 2 ? 4 ,故所求的椭圆方程为 ? ?1 5 5 8 4
已知⊙M: x
2

.

例6

? ( y ? 2) 2 ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,
,求直线 MQ 的方程; (2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

(1)如果 |

AB |?

4 2 3

讲解:(1)由 |

AB |?

4 2 3

,可得

21

东南数理化 高中数学教研组

| MP |? | MA | 2 ?(

| AB | 2 2 2 2 1 ) ? 12 ? ( ) ? , 由射影定理,得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 2 3 3

在 Rt△MOQ 中,

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,故 a ? 5或a ? ? 5 ,
所以直线 AB 方程是 2x ?

5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0;
2 y?2 ? , (*) ?a x

(2)连接 MB,MQ,设 P( x, y ), Q(a,0), 由点 M,P,Q 在一直线上,得 由射影定理得 | MB |
2

?| MP | ? | MQ |, 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 4 ? 1, (**)
7 1 y ? 2 ,可得 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ( y ? 2). 4 16

把(*)及(**)消去 a,并注意到

适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙.

例7

如图,在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,AB=2,AC=

2 2

。DO⊥AB 于 O 点,OA=OB,DO=2,曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.

(1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2)过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间,设

DM ? ? ,试确定实数 ? 的取值范围. DN
C
y=

讲 解 : ( 1 ) 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 如 图 所 示 ∵ | PA |+| PB |=| CA |+| CB |

2 2 ? 2 2 ? ( ) 2 ? 2 2 ∴动点 2 2

P的

A

O

B

22

东南数理化 高中数学教研组

轨迹是椭圆∵ a ?

2, b ? 1, c ? 1 ∴曲线 E 的方程是
y ? kx ? 2 ,

x2 ? y2 ? 1 2
2

.

(2)设直线 L 的方程为

代入曲线 E 的方程 x

? 2 y 2 ? 2 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 设 M ( x1, y1 ),
1

N ( x2 , y2 ) ,



? ?? ? (8k ) 2 ? 4(2k ? 1) ? 6 ? 0, ? 8k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 2 k ? 1 ? 6 ? x1 x 2 ? 2 . ? 2k ? 1 ?
i) L 与 y 轴重合时, ?

① ② ③

?

| DM | 1 ? | DN | 3
由①得

ii) L 与 y 轴不重合时,

3 k2 ? . 2

又∵ ?

?

x DM x D ? x M ? ? 1 DN x D ? x N x2

,

∵ x2

? x1 ? 0,



x2 ? x1 ? 0, ∴0< ? <1

,

( x ? x2 ) 2 ( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 64k 2 32 1 ? ? ∴ ? ? ? 2 ? ? ? ? 2∵ 2 1 x1 ? x2 6(2k ? 1) x1 ? x2 x2 x1 ? 3(2 ? 2 ) k

23

东南数理化 高中数学教研组

而k

2

?

3 , 2

∴6

? 3( 2 ?

1 ) ? 8. ∴ 4 ? k2

32 3(2 ? 1 ) k2

?

16 , 3



4???

1

?

?2?

16 , 3

? ?0 ? ? ? 1, ? 1 10 ? 1 2??? ? , ?? ? ? 2, ? 3 ? ? 1 10 ? ?? ? , ? ? 3 ?

?

1 ?1 ? ? ? ? 1. ∴ ? 的取值范围是 ? ,1? 3 ?3 ?

.

值得读者注意的是,直线 L 与 y 轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕. 例 8 直线 l 过抛物线 (1)求证: 4 x1 x2

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,且与抛物线相交于 A ( x1 , y1 )和B( x2 , y 2 ) 两点.

? p 2 ;(2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线.
2
2 若 l ⊥ x 轴 , 则 l 的 方 程 为 x ? P , 显然x x ? P . 若 l 不 垂 直 于 x 轴 , 可 设 y ? k ( x ? P ) , 代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得 1 2 2 2 4

讲 解 : ( 1 ) 易 求 得 抛 物 线 的 焦 点 F ( P ,0 ) .

x 2 ? P(1 ?

2P P P . 综上可知 )x ? ? 0, 则x1 x2 ? 2 4 4 k

2

2

4x1 x2 ? p 2 .
2 2p 4p

2 2 2 2 (2)设 C ( c , c), D( d , d )且c ? d ,则 CD 的垂直平分线 l ? 的方程为 y ? c ? d ? ? c ? d ( x ? c ? d )

2p

2p

假设 l ? 过 F,则 0 ? c ? d ? ? c ? d ( p ? c ? d ) 整理得
2 2

2

2p

2

4p

(c ? d )(2 p 2 ? c 2 ? d 2 ) ? 0 ? p ? 0

2 ? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? 0 ,? c ? d ? 0 . 这时 l ? 的方程为 y=0,从而 l ? 与抛物线 y ? 2 px 只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同的交点,因此 l ? 与 l 不重合,l 不是 CD 的垂

24

东南数理化 高中数学教研组 直平分线. 此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本! 例 9 某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口 A 和 B,沿着道路 AP、BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省 工? 讲解: 以直线 l 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系,则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|- |MB|=|BP|-|AP|=50,

? | AB |? 50

7 ,∴M 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右支上. 252 252 ? 6

故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处,曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处,按这种方法运土石最省工.

25


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