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1.5


y=Asin(?x+?) 的图像

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与 时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是 形如y=Asin(ωx+? ) 的函数(其中A, ω,? 都是常 数).
下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y 6
6 4 2 4 2

o
-2
-4 -6

2

4

6

8

x

o
-2
-4

0.01

0.0 2

0.03 0.0 4

x

-6

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

1 . 函数 y=sin(x+? ) 与 y=sinx的图象 的联系

y
y ? sin (x ?

?
3

)

1
o

yy??sinsinsinxxxx yy??sinsinsinxx yy?sinsinsin yy??xsinsin y?sinx?xxx y?sinsin yy??xx y??x y
y ? sin( x ?

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

? 6

? 2? 2 3

?

3? 5? 2 3

2?

x

-1

平移变换
一、函数y=sin(x+?)图象:
左 右 ①把y=sinx的图象向__ (? >0时)或向___(? <0时)平 移 | ? |个单位长度得到y=sin(x+ ?)的图象.

?的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

(二)探索 ?对y ? sin( x ? ?)的图象的影 ? 响 .

??0

间的变化关系. y 1

1 y 函数 y ? sin 2 x 、 ? sin x 与 y ? sin x 的图象 2

O

?
2

?

2?

4? x
1 y ? sin x 2

-1

y ? sin 2 x

周期变换
二、函数y=sin?x(?>0)图象:
缩短 伸长 ②把所得图象各点的横坐标____(ω>1时)或___

1

(0< ω<1时)到原来的___倍(纵坐标不变),得到 ? y=sin(ωx+ ?)的图象.

?决定函数的周期: T ?

2?

?

3 . 函数 y=Asinx 与y=sinx的图象 的联系

A?0

1 y 函数 y ? 2 sin x 、 ? sin x 与 y ? sin x 的图象 2

间的变化关系.
y 2 1 O
?
2

?

-1 -2

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? 2 sin x

三、函数y=Asinx(A>0)图象: y=sinx
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 y=Asinx 横坐标不变

A的大小决定这个函数的最大(小)值

思考:如何由 y ? sinx 变换得
y ? 3 sin( x ? 2

?
3

) 的图象?

例1.画出函数
解:y = sinx

y ? 3 sin( x ? 2
? 各点向左平移 个单位 3

?
3
1 2

)

的简图
? y ? sin( x ? ) 3
? y ? si n ( x ? ) 2 3

?? ? ? ? ? ? ?

?????????? ? ? y
3

各点( 纵坐标不变 ) 横坐标缩短到原来的

????????????
各点( 横坐标不变 )纵坐标伸长到原来的 3倍
1
?
3
5 ? 6

? y ? 3 sin ( x ? ) 2 3
5? 3

?

?

?0 ?
6 12

? 2

?

2?

x

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:按先平移后变周期的顺序变换
向左?>0 (向右?<0)

y=sinx

y=sin(x+?)

平移|?|个单位

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

? 或:y = sinx ?????????? ?
y
3

各点( 纵坐标不变 ) 横坐标缩短到原来的

1 2

y ? sin2x
? y ? si n ( x ? ) 2 3 ? y ? 3 sin ( x ? ) 2 3

?? ? ? ? ? ? ?

? 各点向左平移 个单位 6

????????????
各点( 横坐标不变 )纵坐标伸长到原来的 3倍
1
?0 ?
6 12

?

? 7? 2 12

?
5 ? 6

2?

x

如何由y=sinx的图象得到y= 3sin( 1 x 2
解法一:
向右平移π /4个单位长度

? 4

)的图象?

第1步: y=sinx 的图象

y=sin(x -? )的图象 4

第2步: y=sin(x
第3步: y=sin(x

各点的横坐标伸长到原来的2倍 1 ? - 4 )的图象 y=sin( 2 x (纵坐标不变)

- ? )的图象 4

各点的纵坐标伸长到原来的3倍 1 ? - 4 )的图象 y=3sin( 2 横坐标不变

x -? )的图象 4

思考:如果先伸缩再平移,是不是把上述第1步和第 2步 颠倒过来就可以了呢? 如果不行,那么图像应该怎么进行变换呢?

如何由y=sinx的图象得到y= 3sin( 1 x 2
解法二:
各点的横坐标伸长到原来的2倍

? 4

)的图象?

第1步:y=sinx的图象

(纵坐标不变)
向右平移π /2个单位长度

y= sin( 1 x )的图象 2
? y= sin( 1 x - )的图象
2
4

第2步:y=sin( 1 x )的图象 2

第3步: sin( 1 x - ? )的图象 y= 2 4

各点的纵坐标伸长到原来的3倍 横坐标不变

y=3sin( 2 x - ? )的图象 4
1

用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简图. 解:
x ?

?
6

?

?
3

2x ?

?
3

0

?

12

2

?

3? 2

7? 12

5? 6

2?

sin(2 x ? ? / 3) 0
3sin(2x+π/3) y 3 2 0

1
3

0
0

-1
-3

0
0

1
?
?

5? 6

?
3

?

oπ 6 12 -1
?

?
2

?

3? 2

2?

x

-2 -3

y ? A sin( ?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0)在简谐 运动中的相关概念 :
物 理 中 简 谐 振 动 的 相 关 物 理 量

A:振幅 (运动的物体离开平衡位 置的最大距离 ) 2? T:周期T= ?
(运动的物体往复运动一 次所需要的时间 )

1 ? f:频率f ? = T 2? (运动的物体在单位时间 内往复运动的次数 )

?x ? ?:相位
x ? 0时的相位?称为初相

? 例3. 如图是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,确定A、 、 的值。
解:显然A=2 T ? ? ? ( ? ) ? ? 6 6 2? 2? ?? ? ? ? 2 ? y ? 2 sin(2 x ? ? ) T ? 解法1:由图知当 x ? ?
?
6
5

?

?

?? ?

?

3

?所求函数解析式为 y ? 2 sin(2 x ? 3 )

时,y=0 故有 2 x ? ? ? 2 ? ( ? 6 ) ? ? ? 0

?

?

? 探究one: 对函数图象的影响:平移变换
探究two: ? 对函数图象的影响:周期变换 探究three: A 对函数图象的影响:振幅变换

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象可以看作 用下 面的方法得到:

· 先平移变化,再周期变化,最后振幅变化:

y ? sin x

平移

? 个单位

y ? sin(x ? ? )
横坐标变为 原来的

1

?



y ? A sin(?x ? ? )

y ? sin( ?x ? ? ) 原来的 A 倍
纵坐标变为

y ? A sin( ?x ? ? )

· 先周期变化,再平移变化,最后振幅变化:

y ? sin x

横坐标变为 原来的 1 倍

y ? sin ?x
? 个单位 ?

?

平移

y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标变为 原来的 A 倍

? ? ? ?? y ? sin ?? ? x ? ?? ? ?? ? ?


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