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第2章 第10节 函数模型及其应用


第 2 章 第 10 节 函数模型及其应用 一、选择题 1.某企业去年销售收入 1 000 万元,年成本为生产成本 500 万元与年广告成本 200 万 元两部分.若年利润必须按 p%纳税,且年广告费超出年销售收入 2%的部分也按 p%纳税, 其他不纳税.已知该企业去年共纳税 120 万元.则税率 p%为( A.10% C.25% B.12% D.40% )

解析:利润 300 万元,纳税 300· p%万元, 年广告费超出年销售收入 2%的部分为 200-1000×2%=180(万元), 纳税 180· p%万元, 共纳税 300· p%+180· p%=120(万元), 1 p%= =25%. 4 答案:C 2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件 1 时的生产成本为 C(x)= x2+2x+20(万元).一万件售价是 20 万元,为获取更大利润,该企 2 业一个月应生产该商品数量为( A.36 万件 C.22 万件 ) B.18 万件 D.9 万件

1 解析:利润 L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142, 2 当 x=18 时,L(x)有最大值. 答案:B 3.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件,根据市场预测,销售价为每件 100 元时可全部售完,定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件,若要获得最大利润,销售价应 定为每件( ) B.110 元 D.190 元

A.100 元 C.150 元

解析:设售价提高 x 元,则依题意 y=(1 000-5x)×(20+x) =-5x2+900x+20 000 =-5(x-90)2+60 500. 故当 x=90 时,ymax=60 500,此时售价为每件 190 元.

答案:D 4.已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地, 在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地, 汽车离开 A 地的距离 x(千米)与时 间 t(小时)之间的函数表达式是( A.x=60t B.x=60t+50t
?60t?0≤t≤2.5? ? C.x=? ?150-5t?x>3.5? ?

)

?60t?0≤t≤2.5?, ? D.x=?150?2.5<t≤3.5? ?150-50?t-3.5??3.5<t≤6.5? ?
150 解析:到达 B 地需要 =2.5 小时, 60 所以当 0≤t≤2.5 时,x=60t; 当 2.5<t≤3.5 时,x=150; 当 3.5<t≤6.5 时,x=150-50(t-3.5). 答案:D 5.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销 售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月 数 x 之间关系的是( A.y=100x C.y=50×2x ) B.y=50x2-50x+100 D.y=100log2x+100

解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型. 答案:C 二、填空题 6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消 耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分) 备用,则截取的矩形面积的最大值为________. 20-x y-8 5 解析:依题意知: = ,即 x= (24-y), x 4 24-y ∴阴影部分的面积 5 5 S=xy= (24-y)y= (-y2+24y), 4 4 ∴当 y=12 时,S 有最大值为 180. 答案:180

7.(2011· 浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售 额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十 月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元, 则 x 的最小值是________. 解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一月份到 十月份的销售总额是 3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%)2],根据题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%)2≥66,令 t=1+x%, 6 11 则 25t2+25t-66≥0,解得 t≥ 或者 t≤- (舍去), 5 5 6 故 1+x%≥ ,解得 x≥20. 5 答案:20 三、解答题 8.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数:

?400x-1x2 ?0≤x≤400? ? 2 R(x)=? . ? ?80 000 ?x>400?
其中 x 是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利 润) 解:(1)设每月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x,

?-1x2+300x-20 000?0≤x≤400? ? 从而 f(x)=? 2 . ?60 000-100x?x>400? ?
1 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300)2+25 000, 2 ∴当 x=300 时,有最大值 25 000; 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000. ∴每月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25 000 元. 9.当前环境问题已成为世界关注的焦点,2009 年哥本哈根世界气候大会召开后,为减 少汽车尾气对城市空气的污染,某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程,

原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污染,或者说污染 非常小.现有以下数据: ①当前汽油价格为 2.8 元/升,市内出租车耗油情况是一升汽油大约跑 12 千米;②当前 液化气价格为 3 元/千克,一千克液化气平均可跑 15~16 千米;③一辆出租车日平均行程为 200 千米. 请根据以上数据回答问题: (1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱); (2)假设出租车改装液化气设备需花费 5 000 元,请问多长时间省出的钱等于改装设备 花费的钱? 解:(1)设出租车行驶的时间为 t 天,所耗费的汽油费为 W 元,耗费的液化气费为 W′ 元, 由题意可知, W=200× 200× 2.8t 140t = (t≥0,t∈N*), 12 3

3t 3t ≤W′≤200× , 16 15

即 37.5t≤W′≤40t(t≥0,t∈N*), 又 140t >40t,即 W>W′,所以使用液化气比使用汽油省钱. 3 140t ,解得 t≈545.5, 3

(2)①设 37.5t+5 000= 又 t≥0,t∈N*, 所以 t=546.

140t ②设 40t+5 000= ,解得 t=750. 3 所以,若改装液化气设备,则当行驶天数 t∈[546,750]且 t∈N*时,省出的钱可以等于 改装设备花费的钱. 10.某人要做一批地砖,每块地砖(如图 1 所示)是边长为 0.4 米的正方形 ABCD,点 E、 F 分别在边 BC 和 CD 上,且 CE=CF,△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制 成,制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为 3∶2∶1. 若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形 EFGH.

(1)求证:四边形 EFGH 是正方形; (2)E、F 在什么位置时,做这批地砖所需的材料费用最省? 解: (1)证明: 2 是由四块图 1 所示地砖组成, 图 由图 1 依次逆时针旋转 90° 180° 270° , , 后得到, ∴EF=FG=GH=HE. ∴△CFE 为等腰直角三角形. ∴四边形 EFGH 是正方形. (2)设 CE=x,则 BE=0.4-x, 每块地砖的费用为 W, 制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 三种材料的每平方米价格依次为 3a、2a、a(元), 1 2 1 1 W= x2· 3a+ ×(0.4-x)×0.4×2a+?0.16-2x - ? 2 2 1 ×0.4×?0.4-x??a 2 ? =a(x2-0.2x+0.24) =a[(x-0.1)2+0.23](0<x<0.4), 由 a>0,当 x=0.1 时,W 有最小值,即总费用最省. 答:当 CE=CF=0.1 米时,总费用最省.


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