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2010至2012年高考试题理科数学(浙江卷)解析


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学理解析
一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四项中,只有一项是符合题目要求 的。 (1)设 P={x︱x<4},Q={x︱ x <4} ,则 (A) p ? Q (C) p ? (B) Q ? P
2

(D) Q ? C P C

Q 解析: Q ? ?x ? 2<x<2?,可知 B 正确,本题主要考察了集合的基
R R

本运算,属容易题 (2)某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内位 (A) k>4? (C) k>6? (B)k>5? (D)k>7?

解析:选 A,本题主要考察了程序框图的结构,以及与数列有关的简 单运算,属容易题 (3)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ?11
3

S5 ? S2

解析:解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所求式可 知答案选 D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式,属中档题 (4)设 0<x<

?
2

1 1 ,则“ x sin x< ”是“ x sin x< ”的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 解析:因为 0<x<

π ,所以 sinx<1,故 xsin2x<xsinx,结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同,可知答案选 2

B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想和处理不等关系的能力,属中档 题 (5)对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是

(A) z ? z ? 2 y (C) z ? z ? 2 x

(B) z 2 ? x2 ? y 2 (D) z ? x ? y

解析: 可对选项逐个检查, 项,z ? z ? 2 y , A 错, 项, 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xyi , B 错, 项,z ? z ? 2 y , A 故 B 故 C z 故 C 错,D 项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义,属中档题 (6)设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 (A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l //? , m ? ? ,则 l //m (B)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? (D)若 l //? , m//? ,则 l //m

解析:选 B,可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判 定定理,也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察,属中档题

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? (7)若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ? x ? my ? 1 ? 0, ?
(A) ?2 (B) ?1 (C)1 (D)2

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,将 m 等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选 C,本题主要考察了 用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题 (8)设 F 、 F2 分别为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 a 2 b2

PF2 ? F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为
(A) 3x ? 4 y ? 0 (B) 3x ? 5 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (D) 5x ? 4 y ? 0 解析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出 a 与 b 之间的等量关系,可知答案选 C, 本题主要考察三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察,属中档题 (9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存在零点的是 . (A) ? ?4, ?2? (B) ? ?2,0? (C) ?0, 2? (D) ? 2, 4?

解析:将 f ?x ? 的零点转化为函数 g ?x ? ? 4 sin?2 x ? 1?与h?x ? ? x 的交点,数形结合可知答案选 A,本题主 要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点,突出了对转化思想和数形结合思想的考察,对 能力要求较高,属较难题 (10)设函数的集合

? ? 1 1 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?
平面上点的集合

? ? 1 1 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?
则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 .. (A)4 (B)6 (C)8 (D)10

解析:当 a=0,b=0;a=0,b=1;a=

1 1 ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意,故答案选 B,本题主要考察了 2 2

函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点,对数学素养有较高要求,体现了对能力的考 察,属中档题 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11)函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小

正周期是__________________ . 解析:f ?x ? ?

2 ? ?? sin? 2 x ? ? ? 2 故最小正 2 4? ?

周期为π ,本题主要考察了三角恒等变换及相 关公式,属中档题 (12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此几何体的体积是___________ cm . 解析:图为一四棱台和长方体的组合体的三视图,由卷中所给公式计算得体积为 144,本题主要考察 了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题 (13)设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点
2
3

A(0, 2) .若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,
则 B 到该抛物线准线的距离为_____________。 解析:利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 2 ,B 点坐标为( 准线的距离为

2 ,)所以点 B 到抛物线 1 4

3 2 ,本题主要考察抛物线的定义及几何性质,属容易题 4

(14)设 n ? 2, n ? N , (2 x ? ) ? (3 x ? )
n

1 2

1 3

n

? a0 ? a1x ? a2 x2 ????? an xn ,
将 ak (0 ? k ? n) 的最小值记为 Tn ,则

T2 ? 0, T3 ?

1 1 1 1 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 3 2 3 2 3

其中 Tn =__________________ . 解析:本题主要考察了合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,属容易题 (15)设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 S5 S6 ? 15 ? 0 , 则 d 的取值范围是__________________ . 解析: (16)已知平面向量 ? , ? (? ? 0, ? ? ? ) 满足 , ? ? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角为 120°

则 ? 的取值范围是__________________ . 解析:利用题设条件及其几何意义表示在三角形中,即可迎刃而解,本题主要考察了平面向量的四则运算 及其几何意义,突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力,属中档题。 (17)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、 “台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复. 若上午不测“握 力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共 有______________种(用数字作答). 解析:本题主要考察了排列与组合的相关知识点,突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察,属较难题

三、解答题:本大题共 5 小题.共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (18)(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 4

1 ,及 0<C<π 4

所以 sinC=

10 . 4

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos2C-1= ?

a c ? ,得 sin A sin C

1 ,J 及 0<C<π 得 4

cosC=±

6 4

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

(19)

(本题满分 l4 分)如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自 上而下落 A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落 到 A,B,C,则分别设为 l,2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%, 90%.记随变量 ? 为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣 率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E? ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机 变量? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P(? ? 2) .

解析:本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期 望、二项分布等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意 识。 (Ⅰ)解:由题意得ξ 的分布列为

ξ p

50%

70%

90%

3 16 3 3 7 3 则Ε ξ = ?50%+ ?70%+ 90%= . 16 8 16 4
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得 1 等奖或 2 等奖的概率为

3 8

7 16

3 3 9 + = . 16 8 16

9 ) 16 9 2 9 1701 2 则 P(η =2)= C3 ( ) (1)= . 16 16 4096
由题意得η ~(3, (20) (本题满分 15 分)如图, 在矩形 ABCD 中,点 E , F 分别 在线段 AB, AD 上, AE ? EB ? AF ?

2 FD ? 4 .沿直线 EF 3

' ' 将 V AEF 翻折成 V A EF ,使平面 A EF ? 平面BEF .

(Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C 的余弦值;
'

(Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四 边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A 重合,求线段 FM 的长。 解析:本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事考查空间想象 能力和运算求解能力。 (Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H,连结 A H ,因为 A E = A F 及 H 是 EF 的中点,所以 A H ? EF ,
' ' ' ' '

又因为平面 A EF ? 平面 BEF .
'

如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 A (2,2, 2 2 ) ,C(10,8,0) , F(4,0,0) ,D(10,0,0).
? '

'

?

故 FA =(-2,2,2 2 ) FD =(6,0,0). ,
?

设 n =(x,y,z)为平面 A FD 的一个法向量, -2x+2y+2 2 z=0 所以 6x=0.

'

? 取 z ? 2 ,则 n ? (0, ?2, 2) 。
又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,

?

? ? n ?m 3 ? ? 故 cos? n, m? ? ? ? ? 。 n ?m 3
所以二面角的余弦值为

3 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x, 则 M (4 ? x,0,0) , 因为翻折后, C 与 A 重合,所以 CM ? A ' M ,
2 2 故, (6 ? x)2 ? 82 ? 02 =(? 2 ? x)? 22 ? 2 2),得 x ? (

21 , 4

经检验,此时点 N 在线段 BC 上, 所以 FM ? 方法二: ( Ⅰ ) 解 : 取 线 段 EF 的 中 点 H , AF 的 中 点 G , 连 结

21 。 4

A ' G, A ' H , G 。 H
因为 A ' E = A ' F 及 H 是 EF 的中点, 所以 A ' H ? EF 又因为平面 A ' EF ? 平面 BEF , 所以 A ' H ? 平面 BEF , 又 AF ? 平面 BEF ,

故 A ' H ? AF ,
又因为 G 、 H 是 AF 、 EF 的中点, 易知 GH ∥ AB , 所以 GH ? AF , 于是 AF ? 面 A ' GH , 所以 ?A ' GH 为二面角 A '? DH ? C 的平面角, 在 Rt ? A ' GH 中, A ' H = 2 2 , GH =2, A ' G = 2 3

所以 cos ?A ' GH ?

3 . 3 3 。 3

故二面角 A '? DF ? C 的余弦值为 (Ⅱ)解:设 FM ? x , 因为翻折后, C 与 A ' 重合, 所以 CM ? A ' M ,

而 CM 2 ? DC 2 ? DM 2 ? 82 ? (6 ? x)2 ,

A ' M 2 ? A ' H 2 ? MH 2 ? A ' H 2 ? MG 2 ? GH 2 ? (2 2)2
得x?

21 , 4 21 。 4

经检验,此时点 N 在线段 BC 上, 所以 FM ?

(21) (本题满分 15 分) 已知 m>1, 直线 l : x ? my ?

m2 ?0, 2

椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ,F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. m2

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, VAF F2 , 1

VBF1F2 的重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段
GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.
解析:本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考察解析几何的 基本思想方法和综合解题能力。 (Ⅰ)解:因为直线 l : x ? my ?

m2 ? 0 经过 F2 ( m 2 ? 1, 0) , 2

所以 m 2 ? 1 ?

m2 ,得 m 2 ? 2 , 2

又因为 m ? 1 , 所以 m ? 2 ,

2 故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? ? 0。 2
(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。

2

? m2 x ? my ? ? ? 2 由? 2 ,消去 x 得 x 2 ? ? y ?1 ? m2 ?
2 y 2 ? my ? m2 ?1 ? 0 4 m2 ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 , 4

则由 ? ? m2 ? 8(

m m2 1 ? 。 且有 y1 ? y2 ? ? , y1 ?y2 ? 2 8 2
由于 F (?c,0), F2 (c,0), , 1 故 O 为 F1F2 的中点, 由 AG ? 2GO, BH ? 2HO , 可知 G (
2

????

??? ???? ?

????

x1 y1 x y , ), h( 2 , 1 ), 3 3 3 3

GH ?

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 9 9
x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 6 6

设 M 是 GH 的中点,则 M ( 由题意可知 2 MO ? GH ,

x1 ? x2 2 y1 ? y2 2 ( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 ) ?( ) ]? ? 即 4[( 6 6 9 9
即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

m2 m2 )(my2 ? ) ? y1 y2 2 2

m2 1 ? (m2 ? 1 ( ? ) ) 8 2
所以

m2 1 ? ?0 8 2
2

即m ? 4 又因为 m ? 1 且 ? ? 0 所以 1 ? m ? 2 。 所以 m 的取值范围是 (1, 2) 。 (22)(本题满分 14 分)已知 a 是给定的实常数,设函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ( x ? b)e2 , b ? R ,

x ? a 是 f ( x) 的一个极大值点.
(Ⅰ)求 b 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x2 , x3 是 f ( x ) 的 3 个极值点,问是否存在实数 b ,可找到 x4 ? R ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列 xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 ?i1, i2 , i3 , i4? = ?1,2,3,4? )依次成等差数列?若存在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,说明理由. 解析:本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同时考查推理论 证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
2 (Ⅰ)解:f’(x)=ex(x-a) ? x ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a ? , ? ?



g ( x) ? x 2 ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a, 则?=(3-a+b)2 ? 4(2b ? ab ? a) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 ? 0,

于是,假设 x1 , x2是g ( x) ? 0的两个实根,且x1 ? x2 . (1) 当 x1=a 或 x2=a 时,则 x=a 不是 f(x)的极值点,此时不合题意。 (2) 当 x1 ? a 且 x2 ? a 时,由于 x=a 是 f(x)的极大值点,故 x1<a<x2. 即 g ( x) ? 0 即 a ? (3 ? a ? b)a ? 2b ? ab ? a ? 0
2

所以 b<-a 所以 b 的取值范围是(-∞,-a)

此时 x4 ? 2 x2 ? a ? a ? b ? 3 ?

(a ? b ? 1) 2 ? 8 ? a ? a ? 2 6

2 或 x4 ? 2 x2 ? a ? a ? b ? 3 ? (a ? b ? 1) ? 8 ? a ? a ? 2 6

(2)当 x2 ? a ? a ? x1 时,则 x2 ? a ? 2(a ? x1 ) 或 (a ? x1 ) ? 2( x2 ? a)

于是 a ? b ? 1 ?

?9 ? 13 2

此时 x4 ?

a ? x 2a ? (a ? b ? 3) ? 3(a ? b ? 3) 1 ? 13 ? ? ?b ? 3 ? a ? 2 4 2

综上所述,存在 b 满足题意, 当 b=-a-3 时, x4 ? a ? 2 6

b ? ?a ?

7 ? 13 1 ? 13 时, x4 ? a ? 2 2 7 ? 13 1 ? 13 时, x4 ? a ? 2 2

b ? ?a ?

2011 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 选择题部分(共 50 分) 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重新试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k P (k )=Cn pk (1 ? p)n?k (k=0,1,2,?,n) n

台体的体积公式

1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式

1 V= Sh 3
其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式

4 V= ? R 3 3
其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设函数 f ( x ) ? ?

? ? x, x ? 0
2 ?x , x ? 0

.若 f(α)=4,则实数 α 等于(

)

A.-4 或-2 C.-2 或 4

B.-4 或 2 D.-2 或 2 )

2.把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单位,若 z=1+i,则(1+z)· =( z A.3-i B.3+i C.1+3i D.3 3.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

4.下列命题中错误的是( ) .. A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 5.设实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,若 x,y 为整数,则 3x+4y 的最小值是( ? x ? 0, y ? 0 ?
A.14 6.若 0 ? ? ? B.16 C.17 D.19

)

?
2

,?

?
2

? ? ? 0 , cos(
B. ?

?

1 ? ? ? 3 +? )= , cos( ? )= ,则 cos(? ? ) 等于( 4 3 2 4 2 3

)

3 3 5 3 C. 9
A.

3 3

D. ?

6 9
1 1 或 b ? ”的( b a
)

7.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“ a ? A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知椭圆 C1:

x2 y 2 y2 ? 2 =1 (a>b>0)与双曲线 C2: x 2 ? ? 1有公共的焦点,C2 的一条渐近线与 a2 b 4
)

以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点, 若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则(

13 A.a2= B.a2=13 2 1 C.b2= D.b2=2 2
9.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机的并排摆放到书架的同

一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( A.

)

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

10. a, c 为实数, =(x+a)(x2+bx+c), 设 b, f(x) g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1). 记集合 S={x|f(x)=0, x∈R}, T={x|g(x)=0,x∈R},若|S|,|T|分别为集合 S,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( ) ... A.|S|=1 且|T|=0 B.|S|=1 且|T|=1 C.|S|=2 且|T|=2 D.|S|=2 且|T|=3 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的值是________.

a 6 ) (a>0)的展开式中 x3 的系数为 A, 常数项为 B,若 B=4A, a 的值是________. 则 x 1 14.若平面向量 α、β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 α、β 为邻边的平行四边形的面积为 ,则 α 与 β 2
13. 设二项式 ( x ? 的夹角 θ 的取值范围是________. 15.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公

2 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记 X 3 1 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= ,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 12
司面试的概率为 16.设 x,y 为实数.若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________.

???? ???? ? x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上.若 F1 A ? 5F2 B ,则点 A 的坐 17.设 F1,F2 分别为椭圆 3
标是________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,C.已知 sinA+sinC=psinB(p∈R),且 ac ? 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围.

1 2 b . 4

19.已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R),设数列的前 n 项和为 Sn,且 等比数列, (1)求数列{an}的通项公式及 Sn; (2)记 An=

1 1 1 , , 成 a1 a2 a4

1 1 1 1 1 1 1 1 ,当 n≥2 时,试比较 An 与 Bn 的大 ? ? ? … ? ,Bn= + ? ? …? S1 S2 S3 Sn a1 a2 a22 a2n -1

小. 20.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上, 已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

(1)证明:AP⊥BC; (2)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存 在,请说明理由. 21.已知抛物线 C1:x2=y,圆 C2 :x2+(y-4)2=1 的圆心为点 M.

(1)求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (2)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点),过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两点, 若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB,求直线 l 的方程. 22.设函数 f(x)=(x-a)2lnx,a∈R. (1)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (2)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e2 成立.

注:e 为自然对数的底数.

1.B 2.A 3.D 11.答案:0 12.答案:5 13.答案:2 14.答案:[

4.D 5.B

参考答案 6.C 7.A 8.C

9.B 10.D

? 5 , ?] 6 6 5 15.答案: 3 2 10 16.答案: 5
17.答案:(0,1)或(0,-1)

5 ? ?a ? c ? 4 ? 18.解:(1)由题设并利用正弦定理,得 ? , ? ac ? 1 ? ? 4 1 ?a ? 1, ? ? ?a ? , 解得 ? 4 1 或? c? , ? ? ? 4 ?c ? 1.
(2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB

1 2 1 2 b ? b cos B , 2 2 3 1 3 2 即 p ? ? cos B ,因为 0<cosB<1,得 p2∈( ,2), 2 2 2 6 由题设知 p>0,所以 ? p? 2. 2 1 2 1 1 19.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则( ( ) ? ? , a2 a1 a4
=(a+c)2-2ac-2accosB= p b ?
2 2

得(a1+d)2=a1(a1+3d).因为 d≠0,所以 d=a1=a.

an(n ? 1) . 2 1 2 1 1 (2)因为 ? ( ? ) ,所以 Sn a n n ? 1 1 1 1 1 2 1 An ? ? ? …+ ? (1 ? ). S1 S2 ? S3 Sn a n ?1
所以 an=na, S n ? 因为 a2n-1=2n 1a,


1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 所以 Bn ? ? ? ? …+ ? ? a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 2 2 1 ? (1 ? n ) . a 2 n 0 1 2 n 当 n≥2 时, 2 ? Cn ? Cn ? Cn ?…+Cn >n+1,

即1 ?

1 1 ? 1 ? n ,所以,当 a>0 时,An<Bn; n ?1 2

当 a<0 时,An>Bn. 20.解:方法一: (1)证明:如图,以 O 为原点,以射线 OP 为 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? AP =(0,3,4), BC =(-8,0,0),由此可得 AP ? BC ? 0 , ??? ??? ? ? 所以 AP ? BC ,即 AP⊥BC.

(2)解:设 PM ? ? PA ,λ≠1,则 PM =λ(0,-3,-4). =(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)=(-4,-2-3λ,4-4λ),

???? ? ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ??? ? BM ? BP ? PM ? BP ? ? PA

???? ?

??? ? ??? ? AC =(-4,5,0), BC =(-8,0,0).

设平面 BMC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 APC 的法向量 n2=(x2,y2,z2).

???? ? ? BM ·1 ? 0, n ? 由 ? ??? ? n ? BC·1 ? 0, ? ??4 x1 ? ? 2 ? 3? ? y1 ? ? 4 ? 4? ? z1 ? 0, 得? ??8 x1 ? 0, ? x1 ? 0, 2 ? 3? ? 即? 可取 n1=(0,1, ). 2 ? 3? 4 ? 4? z1 ? y1 , ? 4 ? 4? ? 5 ? ??? ? ? x2 ? 4 y2 , ? AP ? n2 ? 0, ?3 y2 ? 4 z2 ? 0, ? ? 由 ? ???? 即? 得? 可取 n2=(5,4,-3). ? AC ? n2 ? 0, ??4 x2 ? 5 y2 ? 0, ? z ? ? 3 y , ? 2 ? 2 ? 4 2 ? 3? 2 由 n1· 2=0,得 4-3? n =0,解得 ? ? ,故 AM=3. 4 ? 4? 5
综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3. 方法二: (1)证明:由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC. 又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC. 因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD,故 BC⊥PA.

(2)解:如图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M,连结 CM.

由(1)知 AP⊥BC,得 AP⊥平面 BMC. 又 AP?平面 APC, 所以平面 BMC⊥平面 APC. 在 Rt△ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB ? 41 . 在 Rt△POD 中,PD2=PO2+OD2, 在 Rt△PDB 中,PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2+OD2+DB2=36,得 PB=6. 在 Rt△POA 中,PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5. 又 cos∠BPA=

PA2 ? PB 2 ? AB 2 1 = , 3 2 PA ? PB

从而 PM=PBcos∠BPA=2,所以 AM=PA-PM=3. 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3. 21.解:(1)由题意可知,抛物线的准线方程为: y ? ?

1 17 ,所以圆心 M(0,4)到准线的距离是 . 4 4

(2)设 P(x0, x0 2 ),A(x1, x12 ),B(x2, x2 2 ),由题意得 x0≠0,x0≠± 1,x1≠x2. 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y- x0 2 =k(x-x0), 即 y=kx-kx0+ x0 2 .① 则

| kx0 ? 4 ? x0 2 | 1? k 2
2

=1,
2 2

即(x0 -1)k2+2x0(4-x0 )k+(x0 -4)2-1=0. 设 PA,PB 的斜率为 k1,k2(k1≠k2),则 k1,k2 是上述方程的两根,所以 k1+k2=

2 x0 ? x0 2 ? 4? ? x 2 ? 4?2 ? 1 ,k1k2= 0 2 . x0 2 ? 1 x0 ? 1
2

将①代入 y=x2,得 x2-kx+kx0-x0 =0,

x12 ? x2 2 由于 x0 是此方程的根,故 x1 =k1 -x0 ,x2 =k2 -x0 ,所以 kAB = =x1 +x2 =k1 +k2 -2x0 = x1 ? x2 2 x0 ? x0 2 ? 4? x0 2 ? 4 -2x0,kMP= . x0 2 ? 1 x0
23 2 x0 ? x02 ? 4? x0 2 ? 4 由 MP⊥AB,得 kAB·MP= ( k , ? 2 x0 ) ? ( ) =-1,解得 x0 2 ? 2 5 x0 ? 1 x0

23 23 3 115 x+ 4 . , ),所以直线 l 的方程为 y ? ? 5 115 5 ? x ? a ?2 22.解:(1)求导得 f ? ? x ?=2( x-a)lnx+ x a =( x-a)(2lnx+1- ) . x
即点 P 的坐标为( ?

因为 x=e 是 f(x)的极值点,所以 f ? ? e ?=(e-a)(3- )=0 ,解得 a=e 或 a=3e.经检验,符合题意, 所以 a=e 或 a=3e. (2)①当 0<x≤1 时,对于任意的实数 a,恒有 f(x)≤0<4e2 成立. ②当 1<x≤3e 时,由题意,首先有 f(3e)=(3e-a)2ln(3e)≤4e2, 解得 3e-

a e

2e ln(3e)

ln(3e) a 1 由(1)知 f ? ? x ?=( x-a )(2lnx+ - ) , x

? a ? 3e+

2e

.

a 令 h(x)=2lnx+1- ,则 h(1)=1-a<0,h(a)=2ln a>0, x

1 且 h ? 3e ?=2ln ? 3e ?+ -

a ? 2ln ? 3e ?+1- 3e

3e+

2e ln(3e) 3e

=2(ln3e-

1 3 ln3e

) ?0.

又 h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数 h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为 x0,则 1<x0<3e, 1<x0<A. 从而,当 x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当 x∈(x0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.即 f(x) 在(0,x0)内单调递增,在(x0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分(共 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位 置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 如果事件 A,B 互斥 ,那么 P(A+B)=P(A)+P(B 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A?B)=P(A)?P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn(k)= Cn pk (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2,..., n)

台体的体积公式

V= h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下面积,h 表示台体的高 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V= 球体的面积公式 S=4π R2 球的体积公式 V=

1 3

1 Sh 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 3

4 π R3 3

其中 R 表示球的半径 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 设集合 A={x|1<x<4},集合 B ={x| x2 -2x-3≤0}, 则 A∩(CRB)= A (1,4) 2. B (3,4) C (1,3) D (1,2)∪(3,4)

已知 i 是虚数单位,则

3?i = 1? i

A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 3. 设 a∈R ,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4.把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长 度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

5.设 a,b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a D.若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b| 6.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有

A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种 7.设 S。是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,则下列命题错误的是 A.若 d<0,则列数﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜ , D.是递增数列,则对任意 n∈Nn 均有 Sn>0

x y2 8.如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)的在左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C a b
的两条渐近线分别教育 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.

2

2 3 3

B

6 2

C..

2

D.

3

9.设 a 大于 0,b 大于 0. A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b

B.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b D.若 2a-2a=ab-3b,则 a<b 。将△沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中。

10. 已知矩形 ABCD,AB=1,BC=

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , , 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理科) 非选择题部分(共 100 分) 注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于________cm3. 12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是__________。 13.设公比为 q (q>0) 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。 S2=3a2+2, 4=3a4+2, q=______________。 若 S 则 14.若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x) +??+a5(1+x)5,其 中 a0,a1,a2,?a5 为实数,则 a3=______________。
2

15.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则

=________.

16.定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直 线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=_______。 17.设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a=__________。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。已知 cosA= (1)求 tanC 的值; (2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积。 19.(本题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分。现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之 和。 (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X) 。 20.(本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,∠BAD=120°,且 PA⊥平 面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点。

2 ,sinB= 5 cos C。 3

(1)证明:MN∥平民啊 ABCD; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。 21.(本题满分 15 分)如图,椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点P(2,1)的距 2 2 a b

离为 10 ,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。 ....

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△APB 面积取最大值时直线 l 的方程。 22.(本题满分 14 分)已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax2-2bx-a+b。 (Ⅰ)证明:当 0 ? x ? 1 时。 (1)函数 f(x)的最大值为 (2)f(x)+ a ? b +a ? 0; (Ⅱ)若-1 ? f(x) ? 1 对 x∈ ?0,1? 恒成立,求 a+b 的取值范围。

2012 年高考浙江卷数学答案
1. 【解析】A=(1,4),B=(-3,1),则 A∩( C RB)=(1,4). 【答案】A 【解析】
3+i ? 3 + i ??1+ i ? = 2 + 4i =1+2i. = 1? i 2 2

2.

3.

【答案】D 【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线 l1 与直线 l2 平行, 则有:
a 2 ,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件. ? 1 a ?1

4.

【答案】A 【解析】 把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得: 1=cosx+1, y 向左平移 1 个单位长度得:y2=cos(x—1)+1,再向下平移 1 个单位长度得:y3=cos(x—1).令 x=0,得: y3>0;x=
?
2 ? 1 ,得:y3=0;观察即得答案.

5.

6.

【答案】B 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实 数 λ,使得 a=λb.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 a⊥b,由正 方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数 λ,使得 a=λb,a,b 可为同向的共线向量,此时显 然|a+b|=|a|-|b|不成立. 【答案】C 【解析】1,2,2,?,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的数其和为偶数, 则取法有: 4 个都是偶数:1 种; 2 个偶数,2 个奇数: C52C42 ? 60 种; 4 个都是奇数: C54 ? 5 种. ∴不同的取法共有 66 种. 【答案】D 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,?.满足数列{S n}是递增数列,但是 S n>0 不成立. 【答案】C

7.

8.

【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ .
b b ? ? ? y= c ( x+c) ? y= c ( x+c) b b ac bc ? ? 直线 PQ 为: y= (x+c), 两条渐近线为: y= x. ? 由 , Q( 得: , ); ? 由 , c a c?a c?a ? y= b x ? y=- b x ? ? a a ? ?

b c

b c

得:P(

b ? ac bc bc ? ac , ).∴直线 MN 为:y- =﹣ (x- ), c c?a c?a c?a c?a

令 y=0 得: M= x 【答案】B 9.

6 c2 3 c3 c3 . 又∵|MF2|=|F1F2|=2c, ∴3c=xM= 2 2 , 解之得:e 2 ? a ? , e= 即 . 2 2 2 2 a c ?a c ?a

【解析】若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,必有 2a ? 2a ? 2b ? 2b .构造函数: f ? x ? ? 2 x ? 2 x ,则 f ? ? x ? ? 2 x ? ln 2 ? 2 ? 0 恒成立,故有函数 f ? x ? ? 2 x ? 2 x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其余选项用同样方法排除.

【答案】A 10. 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项 C 是正 确的. 【答案】C 11. 略 12. 略 13. 【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子. 即?
q?
? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 ,两式作差得: a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) ,即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解之得: 2 3 3 ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? 3a1q ? 2

3 or q ? ?1 (舍去). 2
3 2

【答案】

14. 【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.
? a5 ? 1 即: ?C54 a5 ? a4 ? 0 ? a3 ? 10 . ? ?C 3 a ? C1 a ? a ? 0 4 4 3 ? 5 5

法 二 : 对 等 式 : f ? x ? ? x5 ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ?2 ? ? ? a5 ?1 ? x ?5 两 边 连 续 对 x 求 导 三 次 得 :
60 x 2 ? 6a3 ? 24a4 (1 ? x) ? 60a5 (1 ? x) 2 ,再运用赋值法,令 x ? ?1 得: 60 ? 6a3 ,即 a3 ? 10 .

【答案】10 15. 【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC= 34 . cos∠BAC= 【答案】29 16. 【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为: d ?
0 ? (?4) 2 ? 2 2 ,故曲
??? ???? ? ??? ???? ? 34 ? 34 ? 10 29 . AB ? AC = AB ? AC cos ?BAC ? 29 ? 2 ? 34 34

线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 d ? ? d ? r ? d ? 2 ? 2 . 另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 y ? ? 2 x ? 0 ,得: x ?
1 1 1 ? ( ? a) ?a 1 1 2 4 4 的点为( , ? a ), d ? ? 2 ? ? 2 4 2 2

1 ,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离 2
7 . 4

?

a?

【答案】

7 4

17. 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: (A) ? (B) ?
? (a-1) x-1 ? 0 , 无解; 2 ? x -ax-1 ? 0 ? (a-1) x-1 ? 0 , 无解. 2 ? x -ax-1 ? 0

因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在 x>0 的整个区间上,我们可 以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,1). 考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( 考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M( 舍去 a ? ? 2 ,得答案: a ? 2 .
1 ,0),还可分析得:a>1; a ?1
2

a 1 ? 1 ? ,0),代入得: ? ? 1 ? 0 ,解之得: a ? ? 2 , ? ? a ?1? a ?1 a ?1 ?

【答案】 a ? 2 18. 19. 【答案】(Ⅰ)
5 ;(Ⅱ)

5 2
91 . 21

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

20. 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点,

∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系: A(0,0,0),P(0,0, 2 6 ),M( ?
3 3 , ,0), 2 2

N( 3 ,0,0),C( 3 ,3,0). ??? ? ??? ? CP ? 2 设 Q(x,y,z),则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z ), ? (? 3, 3, 6) .
??? ? ??? ? 3 2 ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, 3?, 6? ) ,∴ Q( 3 ? 3?, ? 3?, 6? ) . ? 2
???? ??? ? 由 OQ ? CP ???? ??? ? 1 ? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ? .
3

即: Q(

2 3 2 6 ,2, ). 3 3

? 对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) .

∵ AM ? (?

???? ?

???? 3 3 , ,0),AN =( 3,0,0) . 2 2

???? ? ? ? AM ? n ? 0 ? 则 ? ???? ? ? AN ? n ? 0 ?

? 3 3 a? b ? 0 ?? ? ? 2 2 ? 3a ? 0 ?

?

? 3 ?a ? 3 ? 1 ? . ?b ? 3 ? ?c ? 0 ? ?

∴n ? (

?

3 1 , ,0) . 3 3

? 同理对于平面 AMN 得其法向量为 v ? ( 3,,? 6) . 1

记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? ,
? ? n?v 10 则 cos ? ? ? ? ? . 5 n?v

∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 21. 【解析】 (Ⅰ)由题: e ?
c 1 ? ; (1) a 2

10 . 5

10 . 5

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c) 2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a 2 ? 4,b2 ? 3,c 2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. ∵A,B 在椭圆上,

1 2

1 2

? xA2 y A2 + ?1 ? ? ∴ ? 42 32 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ?

? k AB ?

y A ? yB 3 x A ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2
3 2

设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0),
? x2 y2 ?1 ? + ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: x A ? xB =m, y A ? yB = ∴|AB|= 1 ? k AB | x A ? xB |= 1 ? k AB
m2 ? 3 . 3

( xA ? xB ) 2 ? 4 xA xB = 1 ? k AB

4?

m2 . 3

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m?2 1 ? k AB



∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? 当|m+2|= 4 ?
m2 ,即 m=﹣3 3
3 2

1 2

1 2

m2 , 3

or m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= .

1 2

此时直线 l 的方程 y=﹣ x ? 【答案】 (Ⅰ) 22.

1 . 2

3 1 x2 y 2 + ? 1 ;(Ⅱ) y=﹣ x ? . 2 2 4 3

【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) (ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a =|2a-b|﹢a; f max ? x ? ? max{ f (0),() ? max{(b ? a),(3a ? b) ? ? f 1} } b ?3a ? b, ? 2a

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a.

亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0 ? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),( ) g 1} 6a

b . 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? a ? b, ? 6a ? b ? ? 3 6a b ? 6a ? b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ?
? b ? 2a ? b ? 2a 和? ,目标函数为 z=a+b. ?b ? a ? 1 ? 3a ? b ? 1

作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ??,3? .

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)

? ??,3? .


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