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高一学生解一道重点中学高三联考试题


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数学通讯 —— 2 o 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半 月)  

?课 外 园地 ?  

高 一 学 生解 一道 重 点 中 学高 三 联 考试 题 

黄宝金   指导 教师   李红春  
( 湖 北 省 武 汉 市 黄 陂 区第 一 中学 盘 龙 校 区 高 一 ( 1 3 ) 班 , 4 3 0 3 1 2 )  

作 为一名 高一 学生 , 学完 数学必修 1 的函数知  识后 , 正值 1 1 月份 湖北 省高 三重点 中学联考 , 很 多  学长 都说试 卷上 的第 9题 是一 道 函数试题 , 超难 !   出于好奇 , 我拿过 来看 看 了看 , 在 一 阵思 考 与求 索  后, 居然 做 出 了 一 个 完 美 的 解 答 , 老 师 对 我 赞 不 
绝 口.  

象 有且 只有一 个交点 , 而 z一 2 显 然是方 程 l o g  ̄ : z   —z 一3的解 , 所 以 z一 2 是方程 的唯一 解 , 故 m一   2 , 于是 ( z ) +l o g + z一 2即为 厂 ( . z )= = = 2 +l o g 2 z,  

因此 原方程 厂 ( z )一 2 +√ z等价 为 2 +l o g : z一 2  

+4 7, 即是 l o g 2 X一√   .  
下面 判断方 程 l o g 。 z一  ̄ / z的解 的个 数 , 设、 /   z  
—t ( t >0 ) , 则l o g 2 t   一t , 即t  一 2   , 而 函数 Y— t   与 函数  一 2   在( O , 十。 。 ) 内只有两个 交 点 ( 2 , 4 ) 、  
( 4 , 1 6 ) ( 人 教 A 版 必 修 1教 材 P   。 。图 3 . 2— 5给  出) , 即方程 t  一 2   在( 0 , +。 。 )内 有 两 个 解 , 故 方 

题目  

已知定义在 ( 0 , +。 。 )的单 调 函数 

厂 (  ) , 若 对任 意 的 z∈ ( 0 , +C x 3 )都有 厂 [  ( z ) + 

l o g + x ]一 3 , 则方程 _ 厂 ( z ) 一2 +√ z解的个数是 
(   ( A) 3 .   ( B) 2 .   ( C) l _   ( D) O .   )  

程 厂 ( z )一 2 +√ z有 两个解 , 因此答 案选 B.  
本题考 查 了“ 函数单 调 性” 、 “ 恒 成立 ”等知 识 

解  因为 _ 厂 (  )在 ( 0 , +。 。 )是 单调 函数 , 且 

f [ - f ( x ) 十l o g  ̄ x ]一 3 , 所 以可 知 : 一定 存在正 常数 
满 足 f( z ) 十l o g + z— m, 且 厂 ( m)一 3 .  

和“ 赋值法 ” 、 “ 换元 法”等重要 方法 , 尽 管解 答 过程  迂 回曲折 , 而 最后 解 题 的依 据却 是课 本 上一 个 不 
易被人觉 察 的基 本 的图形 , 看来 老 师们 常 说 的“ 题  在书外 , 根 在 书 中”真 的不是 一句 空 话 , 值 得 我 们 
大家 注意 啊 !   ( 收 稿 日期 i 2 0 1 2 —1 2 —2 5 )  

又_ 厂 [ _ 厂 ( z )+ l o g + x ]一 3对 任 意 3 7∈ ( O ,  
+。 。 ) 都 成立 , 故 ( z ) +l o g + z— m对任 意的 z∈  
( O , +。 。 )都 成 立 , 对 此 式 令 z — m, 得: _ 厂 ( m)+   l o g  ̄ m — m, 而 _ 厂 ( , , z )一 3 , 故 3十 l o g + m — m, 即  
l o g +/ 7 2一  — —3 .  

由 图象可知 函数 Y— l o g + z与Y—   一3 的图  

抛 物 线切 线 的一 个新 性质 
卢 荣邦   指导 老师   黄元华  
( 广 东 省 深 圳 市 高 级 中学 高 一 7班 , 5 1 8 0 4 0 )  

我 最近 通 过探 究 发 现 , 过 抛 物线 外 一 点 的两  切线 与过抛 物线 顶 点 的切 线 , 具 有 下 列 一个 漂 亮  的几 何性质 .  

性 质  过 抛 物 线 外 一 点 P作 不 垂 直 于 抛 物 线 

对称 轴 的两 切线 

, P B, A, B 为切 点 , 直线 P A,  

P B 与过抛物线 顶 点 0 的切 线 分 别交 于 点 M , N,  


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