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2006年全国高中数学联赛甘肃预赛试题及答案


二OO六年全国高中数学联赛甘肃赛区 预赛试题参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题只设 6 分和 0 分两档, 填空题只设 6 分和 0 分两档; 解答题的评 阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、对于解答题,如果考生的解答方法与本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评阅时可参照本评分标准适 当划分评分

档次,5 分为一个档次, 不要再增加其它中间档次.

一、选择题( 本题满分 36 分,每小题 6 分) 1 + sin x 1. 使关于 x 的不等式 ≥ k 有解的实数 k 的最大值是( D ) 2 + cos x 4 3 3 4 (A) ? , (B) ? , (C) , (D) . 3 4 4 3 1 + sin x 解: 本题实质上是求 f ( x) = 的值域的上限. 将 f (x) 看成是点 A(cos x,sin x) 和点 B ( ?2, ?1) 确定 2 + cos x 4 的直线的斜率. 而 A 在单位圆周上运动,当 BA 为圆的切线时斜率取最值.由此容易求得 f max = . 故选 D. 3
2. 已知二次函数 f ( x) 满足: f (1 ? x) = f (1 + x) , ? 4 ≤ f (1) ≤ ?1 , ? 1 ≤ f ( 2) ≤ 5 , 则 f (3) 的取值范围为( C ) (A) 7 ≤ f (3) ≤ 26 , (C) ? 1 ≤ f (3) ≤ 32 ,
2

(B) ? 4 ≤ f (3) ≤ 15 , (D) ?

28 25 . ≤ f (3) ≤ 3 3

解法一: 设 f ( x) = ax + bx + c , 则 f (1) = a + b + c , f (2) = 4a + 2b + c , f (0) = c . 又 f (x) 的对称轴为 x = 1 , 所以 f (2) = f (0) , 由此得 2a + b = 0 . 于是 f (1) = ? a + c , f (2) = c . 但

f (3) = 9a + 3b + c = 3a + c , 故 f (3) = ?3 f (1) + 4 f (2) , 由题设中 f (1), f (2) 的范围知 ? 1 ≤ f (3) ≤ 32 .
选 C. 解法二: f (x) 的对称轴为 x = 1 , 所以 f (2) = f (0) . 在 x = 0,1, 2 用插值公式得

f ( x) =

( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 0)( x ? 2) ( x ? 0)( x ? 1) f (0) + f (1) + f (2) (0 ? 1)(0 ? 2) (1 ? 0)(1 ? 2) (2 ? 0)(2 ? 1)
于是由题设知 ? 1 ≤ f (3) ≤ 32 . 选 C.

故 f (3) = f (0) ? 3 f (1) + 3 f (2) = 4 f (2) ? 3 f (1) .

? x 3 + sin x ? 2a = 0 ,则 cos( x + 2 y ) 值为( A ) 3. 已知 x, y ∈ [? , ] , a ∈ R 且 ? 3 4 4 ?4 y + sin y cos y + a = 0

π π

-1-

(A) 1 ,

(B) -1 ,

(C) 0 ,

(D)

2 . 2

? x3 + sin x = 2a π π π π 3 . 令 f (t ) = t + sin t , t ∈ [? , ] , 则 f (t ) 是 [? , ] 上的增 解: 由题设得 ? 3 4 4 2 2 ?(?2 y ) + sin(?2 y ) = 2a
函数. 于是由 f ( x) = f (?2 y ) 得 x = ?2 y , 即 x + 2 y = 0 .故 cos( x + 2 y ) = 0 ,选 A. 4. 设 a和b 是互素的两个自然数,则 a + b 和 a + b 的最大公约数为(
2 2 3 3

C



(A) 1,

(B) 2,
2 2

(C) 1 或 2,
3 3

(D) 可能大于 2.
2 2

解: 若取 a = 2, b = 3 , 则 a + b = 13 , a + b = 35 . 13 与 35 互素. 若取 a = 3, b = 5 , 则 a + b 和

a 3 + b3 都是偶数,它们有公因子 2 . 现假设 a 2 + b 2 和 a 3 + b3 有公因子 4 , 则因 a 3 + b3 = (a + b)(a 3 + b3 ) ? ab(a + b) 及 a 和 b 互素, 必有 2 | (a + b) . 于是 4 | (a + b) 2 , 而
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab , 由此得 4 | 2ab , 即 2 | ab , 于是 2 | a 或 2 | b , 无论何种情况都推出 (a, b) ≥ 2 , 这和
a 与 b 互素矛盾. 同样可得 a 2 + b 2 和 a 3 + b3 不会有大于 2 的素公因子. 选 C.
5. 在 Oxy 平面上,三角形顶点的坐标为 ( xi , yi ) (i = 1, 2,3) ,其中 xi , yi 是整数且满足

1 ≤ xi ≤ n , 1 ≤ yi ≤ n ( n 为整数). 这样的三角形的有 516 个,则 n 的值为( B )
(A)3 , (B) 4 , (C) 5 , (D) 6.

解: 首先容易计算, 当 n ≥ 5 时, 三角形的个数均超过 516 , 故只需考虑 n < 5 的情况.此时所有的三点组有
3 3 Cn2 个. 其中不合题意的三点组为: 水平方向或垂直方向共线的三点组共 2nCn 个, 斜率为 ±1 方向上共线的三

点组共有 2(Cn + 2Cn ?1 + 2Cn ? 2 +
3 3 3

3 3 3 3 3 3 + 2C3 ) 个. 故 Cn2 ? 2nCn ? 2(Cn + 2Cn ?1 + 2Cn ? 2 +

3 + 2C3 ) = 516 .

但 C3 + C4 +
3 3

3 4 3 3 4 3 + Cn ?1 = Cn (), 故 Cn2 ? 2nCn ? 2Cn ? 4Cn = 516 . 直接试得 n = 4 .选 B.

6. 在 ?ABC 中 ,A为动点,B (?

a a 16 x 2 16 y 2 , 0) ,C ( , 0)(a > 0) 为定点且动点A的轨迹方程是 2 ? = 1 的右 2 2 a 3a 2

支 ( y ≠ 0) ,则 ?ABC 的三个角 ∠A , ∠B , ∠C 满足( A )

1 sin A , 2 1 (C) sin C + sin B = sin A , 2
(A) sin C ? sin B =

(B) sin C ? sin B = ?

1 sin A , 2

(D) sin C ? sin B = sin A .
-2-

解: 将轨迹方程写成

x2 y2 ? = 1 , 由双曲线定义可知 a 2 3a 2 ( ) ( ) 4 4

AB ? AC = 2 ?

a a 1 = = BC 4 2 2

由正弦定理, AB = 2 R sin C , AC = 2 R sin B, BC = 2 R sin A , 将其代入上式并化简得

sin C ? sin B =

1 sin A , 选 A. 2

二、填空题( 本题满分 54 分,每小题 9 分)
7. 设非零相异复数 x, y 满足 x + xy + y = 0 , 则代数式
2 2

[

xy 1 ]2006 ( x 2006 + y 2006 ) 的值为 ? 2006 2 ( x + y )( x ? y ) 3
解: 由 x, y 非零相异可得 ( ) +
2

.

x y

x x + 1 = 0 , 即 为三次单位复根. 从而 y y

原式 = [

x2 y xy 2 ]2006 + [ ]2006 ( x + y )( x ? y ) 2 ( x + y )( x ? y ) 2

=[

x ( )2 y x x (1 ? )(1 ? ( ) 2 ) y y

]2006 + [

x y x x (1 ? )(1 ? ( ) 2 ) y y

]2006

又( )

x y

2006

x x x 1 x x x x = ( ) 2 , ( ) 2006×2 = , ( ) 2 + = ?1 , (1 ? )(1 ? ( ) 2 ) = 3 , 故所求值为 ? 2006 . y y y 3 y y y y 1 1 + = 1 , x + y 的值为 x 1 ? 2 a 1 ? 2 y +1 b
x y +1

8. 已知 ab = 1 且

?1 .

解: 等式两边同乘 (1 ? 2 a )(1 ? 2

b) 得

2 ? 2 x a ? 2 y +1 b = 1 ? 2 x a ? 2 y +1 b + 2 x + y +1 ab , 即 1 = 2 ? 2 x + y . 所以 x + y = ?1
9. 设 α , β , γ ∈ (0, 的大小关系为

π
2

) ,且满足 cos α = α , cos(sin β ) = β , sin(cos γ ) = γ ,则 α , β , γ

γ <α < β .

解: 令 y1 = x ? cos x, y2 = x ? cos(sin x ), y3 = x ? sin(cos x) , 则 y1 (0) = ?1 ,

-3-

y2 (0) = ?1 , y3 (0) = ? sin1 且 y1 , y2 , y3 在 [0, ] 上均为增函数.又在 α ∈ (0, ) 上, α > sin α ,由题设 2 2 y1 (α ) = 0 ,有 y2 (α ) = α ? cos(sin α ) = cos α ? cos(sin α ) < 0 y3 (α ) = α ? sin(cos α ) = cos α ? sin(cos α ) > 0
所以 y3 的零点在 (0, α ) 之中, y2 的零点在 (α , ∞) 之中, 于是 γ < α < β . 10. 如果复数 z1 , z2 满足 z1 = z2
2

π

π

且 z1 ? z2 = 2 ? i , 则
2

z1 z2 3 4 的值为 ? + i . 5 5 z1 z2

解法一: 注意到 z1 z2 = z1 = z2 , 故

2 ? i = z1 ? z2 =

1
z2 z2

z1 z2 z2 ?

1
z1 z1

z2 z1 z1 =

z1 z2 zz zz ( z2 ? z1 ) = 1 2 ( z2 ? z1 ) = ? 1 2 (2 + i ) z1 z2 z1 z2 z1 z2

于是

z1 z2 2?i 3 4 =? =? + i. 2+i 5 5 z1 z2
解法二: 因为

z1 z2 zz 的模为 1 , 只需知道 1 2 的幅角即可, 它等于 z1 z2 的幅角, 而 z1 z2 的幅角为 z1 的幅角 z1 z2 z1 z2

与 z2 的幅角之和, 由于 z1 = z2 , 它又等于 z1 + z2 幅角的两倍, 我们记为 2θ ,其中 θ 为的 z1 + z2 幅角. 因 z1 = z2 , 故向量 z1 + z2 垂直于向量 z1 ? z2 = 2 ? i , 于是向量 z1 + z2 的斜率为 2 , 即 tan θ = 2 且

π

3 4 zz 3 4 < 2θ < π . 由此可求得 cos 2θ = ? , sin 2θ = , 即 1 2 = ? + i . 5 5 2 z1 z2 5 5
11. 由不大于 2006 的连续 10 个自然数的和组成集合 S, 由不大于 2006 的 11 个连续的自然数的和组成集合 T ,

则 S ∩ T 的元素个数是 182 . 解: S 为从 55 开始到 20015 = ∑ (1996 + i ) = 10 × 1996 + 55 为止的所有个位数为 5 的整数集合. 同样 T 为
i =1 10

从 66 开始每次增加 11 得到的整数集合, 其中最大的一个数为 22011 =

∑ (1995 + i) = 11×1995 + 66 .
i =1

11

1996 ] 个, 其中最大的 T 中元素平均每 10 个中有一个的个位数为 5 , 故 T 中共有个位数为 5 的元素 199 = [ 10
一个是 21945 = 11× 1989 + 66 . 因为 21945 ? 20015 = 1930 且 T 中每两个个位数为 5 的大小相邻的元素相差
-4-

1930 110 , [ ] = 17 , 所以 T 中个位数为 5 的并且不大于 20015 的元素个数有 199 ? 17 = 182 个. 最后, S ∩ T 110
的元素个数是 182 . 12. 平面上任意给定的 n 个向量为, OP1 , OP2 ,… , OPn ,向量 OP 使得 PP1 + PP 2 +…+ PP n 为最小, 则向量 OP 为
2 2 2

OP =

1 n ∑ OPk n k =1
n n 2 2

解:

∑ ( PPk )2 = ∑ (OPk ? OP)2 = ∑ (OPk ? 2OPk ? OP + OP )
k =1 n k =1 n k =1

n

= ∑ OPk ? 2(∑ OPk ) ? OP + nOP
2 k =1 k =1

2

= ∑ OPk ?
2
k =1

n

(∑ OPk ) 2
k =1

n

n

n 2 1 n + n[OP ? (∑ OPk )]2 ≥ ∑ OPk ? n k =1 k =1

(∑ OPk ) 2
k =1

n

n

当 OP =

1 n 1 n OPk 时等号成立, 故 OP = ∑ OPk . ∑ n k =1 n k =1

三、解答题( 本题满分 60 分,每小题 20 分)
13. 设 f 为实数集 R 到实数集 R 的函数,满足 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 2 xy . 若 f ( x) 的图像有对称轴

x = k 且在区间 [2,3] 上单调递减, 求 k 的取值范围.
解: 令 x = 0 得 f (0) = 2 f (0) , 由此得 f (0) = 0 . 再由题设

0 = f (0) = f ( x ? x) = f ( x) + f (? x) ? 2 x 2 , 即


f ( x) + f (? x) = 2 x 2 ①.

……….5 分

f (k + x) = f (k ) + f ( x) + 2kx , f (k ? x) = f (k ) + f (? x) ? 2kx .
………10 分 ……….15 分 ………20 分

上两式相减, 并注意 f ( k + x) = f (k ? x) 有: f ( x) ? f ( ? x) = ?4kx ②. 求解①, ② 得

f ( x) = x 2 ? 2kx

这是开口向上的抛物线, 单调递减区间为 ( ?∞, k ] , 故 k ≥ 3 . 14. 设 a , b 为正整数, 两直线 l1 : y = ?

b b x + b 与 l2 : y = x 的交点是 ( x1 , y1 ) ,对于自然数 n ≥ 2 ,过点 2a 2a

(0, b) 和 ( xn ?1 , 0) 的直线与直线 l2 的交点记为 ( xn , yn ) .求数列 {xn } , { yn } 的通项公式.
-5-

解: 直线 l1 过点 (2a, 0) 和 (0, b) , 易知 l1 与 l2 的交点为 ( x1 , y1 ) = ( a, ) . 过点 (0, b) 和 ( xn ?1 , 0) 的直线方程为

b 2

……….5 分

x xn ?1

+

y = 1 , 它与 l2 的交点为 ( xn , yn ) , 于是 b
………10 分

xn y b xn + n = 1 且 yn = 2a xn ?1 b ?

1 1 1 ? = xn xn ?1 2a

(n ≥ 2)

说明数列 {

1 1 1 } 是首项为 、 公差为 的等差数列. 2a xn a 1 1 n ?1 n + 1 2a = + = , 即 xn = . 由此可得 n +1 2a xn a 2a

……….15 分

从而

yn =

b b 2a b xn = ? = 2a 2a n + 1 n + 1
a4 b4 + ≥ 32 . (b ? 1) 2 (a ? 1) 2

………20 分

15. 设 a > 1, b > 1 , 证明

证明: 令 ?

?x = a ?1 ?a = x + 1 则 ? ? y = b ?1 ?b = y + 1

( x + 1) 4 ( y + 1) 4 不等式左边 = + y2 x2 = x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1 y 4 + 4 y 3 + 6 y 2 + 4 y + 1 + y2 x2 x4 y4 x3 y 3 x2 y 2 x y 1 1 + 2 ) + 4( 2 + 2 ) + 6( 2 + 2 ) + 4( 2 + 2 ) + ( 2 + 2 ) 2 y x y x y x y x y x
……….5 分

=(

………10 分

≥ 2 xy + 8 xy + 12 + 8

1 1 + 2? xy xy

……….15 分

= 2( xy +

1 1 ) + 8( xy + ) + 12 xy xy
………20 分

≥ 2 × 2 + 8 × 2 + 12 = 32

-6-


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