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利用空间向量求空间角和空间距离


2010 年

第 15 期

SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

○教学研究○

科技信息

利用空间向量求空间角和空间距离
( 蓝田县城关中学 王青锋 陕西 蓝田

710500)

【 摘 要 】 利用空间向量处理某些立体几何问题 , 可以为学生提供新的视角 。 把立体几何问题转化为空间向量问题 , 借助坐标系进行代数运 算 , 利用向量的方法解决几何问题 , 新教材中解决立体几何问题的一个重要方法 。 文章首先说明向量与几何的关系 , 并通过几个例题具体说明 利用空间向量求立体几何中点到面的距离 、 线线角 、 线面角及面面角的方法 。 【 关键词 】 空间向量 ; 空间角 ; 空间距离 向量既 是 代 数 研 究 的 对 象 , 又 是 几 何 研 究 的 对 象 , 是 沟 通 几 何 与 代数的桥梁 。 利用空间向量处理某些立体几何问题 , 可以为学生提供 新的视角 。 把立体几何问题转化为空间向量问题 , 借助坐标系进行代 数运算 , 利用向 量 的 方 法 解 决 几 何 问 题 , 新 教 材 中 解 决 立 体 几 何 问 题 的一个重要方法 。 如何用空间向量解决点到面的距离 , 线线角 、 线面角 及面面角呢 ? 下面通过几个例题就这方面问题谈一下自己的想法 , 起 到一个抛砖引玉的作用 。

∴AB 与 MD 所成角的大小为 π 3 点评 : 若 a ,b 是 异 面 直 线 , 点 A 、B 在 直 线 a 上 ,C 、D 在 直 线 b 上 ,

AA AA AB · CD a ,b 所成角为 θ , 则 cosθ= cos 〈AA AB ,AA CD 〉 = AA AA . AB CD
3
利用空间向量求直线和平面所成的角
例 3. (2009 江西卷 ) 在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 是矩 形 , PA⊥ 平面 ABCD ,PA=AD=4 ,AB=2. 以 AC 的中点 O 为球心 、AC 为直径 的 球 面 交 PD 于 点 M , 交 PC 于 点 N. 求 直 线 CD 与 平 面 ACM 所 成 的 角的大小 。 解 析 :如 图 所 示 ,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 A (0,0,0),P (0,0,4),

1

利用向量法求点到平面的距离

例 1. (2008 安 徽 卷 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 O-ABCD 中 , 底面 ABCD 是边长为

1 的 菱 形 , ∠ABC = π ,OA ⊥ 底 面 4 ABCD ,OA=2 ,M 为 OA 的 中 点 , 求 点 B 到平面 OCD 的距离 。 解析 : 作 AP⊥CD 于点 P , 如图 , 分 别 以 AB ,AP ,AO 所 在 直 线 为 x ,y ,z 轴 建 立 坐 标 系 A (0,0,0),B (1,0,0),P (0, 姨 2 ,0),D (- 姨 2 , 姨 2 ,0 ),O 2 2 2 (0 ,0 ,2 ),M (0 ,0 ,1 )

B (2,0,0),C (2,4,0),D (0,4,0),M (0,2,2);
设平面 ACM 的一个法向量 軋 n=

軋 ⊥ AA 軋 ⊥ AA (x ,y ,z ), 由 n AC , n AM 可 得 : 2x+4y=0 軋 = (2 , -1 ,1 )。 , 令 z=1 , 则 n = 2y+2z=0
设 所 求 角 为 α, 则 sinα =

AA D = (- 姨 2 , 姨 2 ,-2 ) OP = (0 , 姨 2 ,-2 ),O ∵AA 2 2 2 AA AA · · O P =0 ,n O D =0 ∴ 设平面 OCD 的法向量为 n= (x ,y ,z ), 则 n

A A A A A A A A A A A

AA 軋 CD · n AA CD 軋 n

= 姨 6 , 所以所求角的大小为 arcsin 姨 6 。 3 3

姨 2 y-2z=0 2

点 评 : 若 直 线 a 与 平 面 α 斜 交 于 B 点 ,P 在 直 线 a 上 ,PA ⊥α 于

- 姨 2 x+ 姨 2 y-2z=0 2 2

AA 軋 为平面 α 的法向量 ,a 与 α 所成角为 θ , 则 sinθ=sin ( π - 〈P 軋 〉)= A ,n A ,n 2 AA 軋 A· n AA 軋 〉= P A ,n cos 〈P AA A 軋 P n
4
利用空间向量求平面和平面所成的二面角
例 4. (2008 陕西卷 ) 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几 何 体 如 图 所 示 , 截 面 为 A1 B1 C1 ,

取 z= 姨 2 , 解得 n= (0 ,4 , 姨 2 )

设 点 B 到 平 面 OCD 的 距 离 为 d , 则 d 为 AA O B 在 向 量 n = (0 ,4 ,

姨 2 ) 上的投影的绝对值 ,

AA n 2 OB = (1,0,-2),∴d= OB · ∵AA = . n 3 2 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 . 3
点 评 : 设 AB 为 平 面 α 的 一 条 斜 线 段 , 軋 n 为 平 面 α 的 法 向 量 ,A 到

∠BAC =90° ,A 1 A ⊥ 平 面 ABC ,A 1 A = BD = 1 . 求 姨 3 ,AB = 姨 2 ,AC =2 , DC 2 二面角 A-CC1 -B 的大小 .
解析 : 如图 , 建立空间直角坐标 系 ,A 1 C 1 =1 则 A (0,0,0),B ( 姨 2 ,

AA 軋 n . AB · 平面 α 的距离 AA AC =
軋 n

2

利用空间向量求异面直线所成的角
例 2. (2008 安徽卷 ) 如图 , 在四棱锥 O-ABCD 中 , 底面 ABCD 四边

0,0),C (0,2,0),A1 (0,0, 姨 3 ),C1
(0,1, 姨 3 )

长为 1 的菱形 ,∠ABC= π ,OA⊥ 底面 ABCD ,OA=2 ,M 为 OA 的中点 。 4 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; 解析 : 同例 1 , 建立空间直角坐标系 . 设 AB 与 MD 所成的角为 θ ,

AB = ∵BA⊥ 平 面 ACC 1 A 1 , 取 m= AA

( 姨 2 ,0,0)为平面 ACC 1 A1 的 法 向 量 , 设 平 面 BCC1 B1 的 法 向 量 为 n=

AA AA (l ,m ,n ), 则 B C· n=0 ,CC n=0. 1·


AB = (1 ,0 ,0 ),AA M D = ( - 姨 2 , 姨 2 ,- 1 ) ∵AA 2 2 ∴cosθ=

AA AA AB · MD AA AB · AA MD

= 1 ,∴ θ= π 2 3

=

- 姨 2 l+ 2m= 0

- m+ 姨 3 n= 0

∴ l = 姨 2 m ,n = 姨 3 m 3

如图 , 可取 m=1 , 则 n= 姨 2 ,1 , 姨 3

3

3

, 3

( 下转第 273 页 )

270

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○教学研究○

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2010 年 第 15 期

课的积极性 , 在教学过程中可以采用对学校的平面图或工程图加工后 所得的地图 。 定向地图的制作具有很大的难度 , 需要较长的时间才能 制作出比较标准的校园地图 。 因此 , 校园定向地图成为了制约祁东县 中学开展定向越野教学的另一个因素 。 3.3 师资力量的短缺 进行定向越野教学的老师 , 除了具备体育教师最基本的素质外还 必须具备 : 定 向 越 野 的 专 业 知 识 和 技 能 , 包 括 能 够 熟 练 地 掌 握 使 用 国 际定向越野图与指北针的各种方法 , 能够熟练地掌握多种标定地图的 方法 , 能够 正 确 而 快 速 地 设 点 , 能 够 很 好 地 掌 握 路 线 的 规 划 和 难 度 等 等 。 地理方面知识 。 包括地形学 、 地图学等等 。 具备一定的野外生存自 救知识 。 包括野外判断方向 、 生火 、 取水 、 发信号 、 采食 、 栖身 、 防虫 、 包 扎及简单的创伤处理等 [2]。 定向越野运动作为一项新兴的体育运动项目 , 培养体育师资的体 育院系没有开设相关的专业 。 自 2000 年来 , 衡阳市体育局 、 教育局 、 科 协曾联合举办了四届定向越野教练员培训班 , 参与培训有不少是来自 全市各县市 区 中 小 学 教 师 , 培 训 的 内 容 主 要 是 识 图 用 图 、 地 图 和 实 地 对照 、 有关 定 向 越 野 比 赛 的 裁 判 规 则 等 定 向 越 野 专 业 知 识 , 通 过 这 样 短期培训的教师是不能完全胜任定向越野的教学 。

该项运动 了 解 不 多 。 因 此 , 学 校 要 重 视 定 向 越 野 的 开 展 , 加 大 宣 传 力 度 , 加深学生对定向越野运动价值的理解 , 从而参与该项运动中 。 4.2 祁东县中学合作建立多个定向越野教学场 地 , 对 定 向 越 野 场 地 进行共享 和 共 建 , 充 分 利 用 已 有 的 场 地 设 施 , 降 低 对 场 地 和 地 图 的 制 作费用 。 4.3 在教学过程中 , 教师要重视对学生的安全教育 , 防 止 意 外 事 故 的 发生 , 确保学生的安全 。 4.4 祁东县中学可以定期联合组织定向越野比 赛 , 吸 引 更 多 的 学 生 参与定向越野 , 有利于进行体育课堂中的定向越野教学 。 通过比赛既 丰富了校 园 文 化 生 活 , 又 促 进 了 学 校 之 间 的 交 流 , 促 进 祁 东 县 中 学 定 向越野运动的发展 。 科


【 参考文献 】
[1 ] 罗少松 . 湖南省中学定向越野开展现状对策研究 [D]. 湖南师范大学 ,2007,5:3-

4
4.1

结论

4. [2 ] 赵建春 . 对定向越野课程在学校开展的探讨 [J]. 中国校外教育 ,2008,(S1):662. [3 ] 方信荣 . 定向越野走进体育课堂教师应具备的能力 [J]. 贵州体育科技 ,2007,(2): 62-64. [4 ] 王葱 ,胡久成 . 定向运动体育课程的探索与实践 [J]. 四川体育科学 ,2001,(3):5961.

学校重视定向越野 , 提高学生对定向越野的认识 。 定向越野运动 时新兴的体 育 运 动 项 目 , 在 祁 东 县 中 学 没 有 普 遍 开 展 , 大 多 数 学 生 对

[ 责任编辑 : 张艳芳 ]


( 上接第 266 页 ) 积极引导 。 努力协调多元目标定向和学业成绩目标定向 班主任在班级目标定向上表现不理想, 倾斜于学业成绩单一定 向 。 不能一味埋怨教师 , 只要社会的人才选拔机制和评价机制不改变 , 学业成绩单一定向的班级管理目标很难从根本上改变 。 作为一线的中 学教师来说 , 在 现 有 的 体 制 未 改 变 的 情 况 下 , 一 方 面 兼 顾 学 生 学 业 成 绩 , 另一方面重视学生的身体 、 心理健康和社会交往 , 把学习过程作为 手段 , 把促进学生的全面发展作为最终目的 , 牢牢把握使用一切手段 , 为目的服务的宗旨 。 3.3 不断反思 、 积极构建师生间良性互动 良性的互动关系是确保班级管理有效实施的重要基础 , 关系的基 础是师生之间的尊重 、 理解 、 信任 。 师生关系是双向的 , 但在学校教育 中 , 由于教师居于教育者地位 , 其权威性与主导性 , 使其在双向关系中 起决定作用 , 教师对学生的理解 、 尊重 、 信任是构建和谐师生关系的核 心 。 笔者认为要改变这种状况的关键是让教师感到 , 我这样做了 , 但学 生并不满意 , 促动教师去反思 , 反思的结果是 。 因为我做得不彻底 , 反 思后的行动应是 , 我再放开些 、 彻底些情况就会改变 。 3.4 加强职后继续教育 , 不断提高教师的职业素质 提高班主任的职业素质 。 加强职后的继续教育是一条重要途径 , 教育行政部门和学校可以针对教师的特点 , 开展多种形式的系统内培 训 , 也可以积极创造条件 , 引导教师参加系统外的更高层次的进修 , 在 教师群体中树立终身学习的理念 。 针对不同年限的班主任实施不同培养对策 对于年轻班主任 , 提供经验丰富的指导教师 , 不断积累工作经验 ; 对于经验丰富而工作卓有成效的班主任 , 提供更多展现自我的机会 , 满足其自我成就的需要 ; 对于有一定年限 , 生活压力大 , 存在职业倦怠 的班主任则应帮助他们建立合理的专业期望 、 创设工作中良好的心理 环境 ; 对于班主任工作年限比较长的老教师 , 要鼓励他们的工作热情 , 赋予他们指导年轻教师的重任 , 同时也需要加强新的教育观念方面的 培训 。 科

3.5

3.2


【 参考文献 】
[1 ] 钟启泉 . 班级管理论 [M]. 海教育出版社 ,2001. [2 ] 刘雪苏 , 李伟 . 班级管理的效能之路 [J]. 主任 ,2006 (6):10-11. [3 ] 田 春 利 . 重 点 高 中 班 主 任 班 级 观 念 的 实 证 研 究 [J]. 长 沙 大 学 学 报 ,2002 , (3) : 23-25. 作者简介 : 符卫娟 (1979 —), 女 , 湖南张家界人 , 慈利县第一中学教师 , 主要 从事高中化学教学和班主任工作 。 张 晔 (1967 —), 男 , 湖 南 张 家 界 人 , 湖 南 张 家 界 市 第 一 中 学 教 师 , 主 要 从 事 高中英语教学和班主任工作 。 李明柱 (1977 —), 男 , 张家界市第一中学 , 从事高中体育教学和学生管理工 作。

[ 责任编辑 : 王静 ]



( 上接第 270 页 )

AB-β ( 或其补角 ) 的大小 。 3 姨 2 × 姨 2 +0×1+0× 姨 3
2

cos 〈m,n〉=

姨( 姨 2

2 2 2 2 2 ) +0 +0 · ( 姨 2 ) +1 + 姨 3



33 3

= 姨15 , 5

注意 : 利用向量法求空间角 、 空间距离时注意所选向量的方向 。 以 上只选择其中之一情况进行归纳 , 不要盲目套用 。 科


【 参考文献 】
[1 ] 普通高中数学新课程标准 . [2 ]2008 年全国及各省市高考试题全解 . [3 ]2009 年全国及各省市高考试题全解 .

即二面角 A-CC1 -B 为 arccos 姨15 .

5

軋 为 平 面 α 的 法 向 量 ,軖 点 评 : 二 面 角 α -AB -β , n m为 平 面 β 的 法 向
量 , 则 cos 〈軋 n ,軖 m 〉=

軖 軋 · m , 那么向量 軋 n n ,軖 m 的夹角 〈軋 n ,軖 m 〉 就是二面角 α- 軋 n 軖 m

[ 责任编辑 : 王静 ]

273


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