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2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 3.2解三角形


2014 年高考一轮复习考点热身训练:3.2 解三角形
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.在△ABC 中,a+b+10c=2(sinA+sinB+10sinC),A=60°,则 a=( (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)不确定 )

2.在△ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 的对边长,若 (A)一定是锐角三角形 (B)

一定是直角三角形 (C)一定是钝角三角形 (D)是锐角或钝角三角形

a 2 ? b2 ? c2 <0,则△ABC( 2ab

)

3.在△ABC 中,已知 a= 2 ,b =2,B=45°,则角 A=(

)

(A)30°或 150° (B)60°或 120° (C)60° (D)30° 4.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°,塔顶仰角为 45°,此人沿南偏东 40°方向前进 10 米到 D,测得塔 顶 A 的仰角为 30°,则塔高为( ) (A)15 米 (B)5 米 (C)10 米 (D)12 米 5.(2012·福州模拟)为测一树的高度,在水平地面上选取 A、B 两点(点 A、B 及树的底部在同一直线上) , 从 A、B 两点分别测得树尖的仰角为 30°,45°,且 A、B 两点间的距离为 60 m,则树的高度为( )

? A(30 ? 15 ?

3)m????????? B ? 30 ? 30 3 m?????????? C ? 15 ? 30 3 m????????? D ? 15 ? 15 3 m

?

?

?

?

?

?

6.(2012·宁德模拟)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧所在的河岸边选定一点 C,测 出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A、B 两点的距离为( )

[

? A ? 50

2 m??????????? B ? 50 3 m????????? C ? 25 2 m??????????? D ?

25 2 m 2

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2012·郑州模拟)锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,C=2A,

c 的取值范围是_______. a
1

8.(2012·漳州模拟)在三角形 ABC 中,若 S? ABC ?

1 2 那么∠C=____. ? a ? b2 ? c2 ?, 4

9.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠ BCD=1 35°,则 BC 的长为_______.

三 、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2011·安徽高考)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长, a=

3 ,b= 2 ,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高.

11.(2012·南平模拟)“神舟八号”飞船返回舱 顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面 指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条 直线上的三个救援中心(记为 B,C,D).当返回 舱距地面 1 万米的 P 点时(假定以后垂直下落, 60°,B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30°方向,仰角为 30°, 援中心测得着陆点 A 位于其正东方向. (1)求 B,C 两救援中心间的距离; (2)求 D 救援中心与着陆点 A 间的距离. D救

【探究创新】 (16 分)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域,点 E 正北 55 海里处有一 个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与 点 A 相距 40 2 海里的位置 B, 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45°

+θ (其中 sinθ =

26 , 26

0°<θ <90°)且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ; (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理 由.

答案解析 1.【解析】选 A.由已知及 正弦定理得

a =2, sinA
2

a=2sinA=2si n60°= 3 ,故选 A. 2.【解析】 选 C.由已知及余弦定理得 cosC<0,C 是钝角,故选 C. 3.【解析】选 D.由正弦定理

a 2 1 a b 得, sinA ? sinB ? 又因为 b>a,故 A=30°. sin45? ? , ? b 2 2 sinA sinB

4.【解题指南】作出图形确定三角形,找到要用的角度和边长, 利用余弦定理求得. 【解析】选 C.如图,设塔高为 h,在 Rt△AOC 中,∠ACO=45°, 则 OC=OA=h. 在 Rt△AOD 中,∠ADO=30°,则 OD= 3 h, 在△OCD 中,∠OCD=120°,C D=10, 由余弦定理得: 2 2 2 OD =OC +CD -2OC·CD·cos∠OCD, 即( 3 h) =h +10 -2h×10×cos120°, ∴h -5h-50=0,解得 h=10 或 h=-5(舍去). 5.【解析】选 B.如图,设树高为 h,则 OB=h,OA= 3h, AB=OA -OB=
2 2 2 2

?

3 ? 1 h =60,

?

?h ?

60 ? 30 ? 30 3 ? m ? . 3 ?1

?

?

6.【解析】选 A.在△ABC 中∠ABC=30°,由正弦定理得:

AB AC AB 50 ? ,即 ? , ∴AB= 50 2 m. 1 sin?ACB sin?ABC 2 2 2
7.【解析】锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,C=2A, ∴0<2A<

? ? ,且 <3A<π . 2 2

? ? 2 3 ? ? A ? ,? ? cosA ? . 6 4 2 2
c sin2A =2cosA, ? a sinA c ∴ 2 ? 2cosA ? 3, 2 < < 3 . 即 a
由正弦定理可得 答案:( 2, 3 ) 8.【解析】由已知 S? ABC ?

1 1 absinC ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? , 2 4

3

a 2 ? b2 ? c2 ? sinC ? ? cosC, 2ab
又∠C 为△ABC 内角,

? . 4 ? 答案: 4
∴∠C= 9.【解析】在△ABD 中,设 BD=x, 2 2 2 则 BA =BD +AD -2BD·AD·cos∠BDA, 2 2 2 即 14 =x +10 -2·10x·cos60°, 2 整理得 x -10x-96=0, 解之得 x1=16,x2=-6(舍去). 由正弦定理得 答案: 8 2 【方法技巧】三角形中的几何计算问题 以平面几何图形为背景,求解有关长度、角度、面积、最值等问题,通常是转化到三角形中,利用正、余 弦定理加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量(如边长、角度等),然后把要解的三角形的边或 角用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程,解之即可. 10.【解析】由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π -A,得 1-2cosA=0,cosA=

BC BD 16 = ,? BC= ? sin30?=8 2. sin?CDB sin?BCD sin135?

3 1 ,sinA= , 2 2 bsinA 2 ? . a 2 2 ? ,从而 cosB= 1 ? sin 2 B ? . 2 2

再由正弦定理,得 sinB=

由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B< 由上述 结果知 sinC=sin(A+B)=

2 3 1 ×( + ). 2 2 2 3 ?1 .[ 2

设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsinC=

11.【解析】 (1)由题意知 PA⊥AC,PA⊥AB,则△PAC,△PAB 均为直角三角形,在 Rt△PAC 中,PA=1, ∠PCA=60°,解得 AC=

3 , 3

在 Rt△PAB 中,PA=1,∠PBA=30°,解得 AB= 3 ,
4

又?CAB ? 90?, 所以BC ? AC 2 ? AB2 ?

30 万米; 3

(2)sin?ACD ? sin?ACB ?

3 1 , cos?ACD ? ? , 10 10 3 3 ?1 , 2 10

又?CAD ? 30?, 所以sin?ADC ? sin(30? ? ?ACD) ? AC AD ? , sin?ADC sin?ACD AC? ?ACD 9 ? 3 sin 所以AD ? ? (万米) . sin?ADC 13 在? ADC中,由正弦定理得
【探究创新】 【解析】(1)AB=40 2 ,AC=10 13 ,

∠BAC=θ ,sinθ =

26 , 26
26 2 5 26 ) ? . 26 26

由于 0°<θ <90°,所以 cosθ = 1 ? ( 由余弦定理得: BC ?

AB2 ? AC2 ? 2AB?AC?cos? ? 10 5

所以船的行驶速度为

10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

(2)方法一:如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y1),C(x2,y2),BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设得,x1=y1= x2=ACcos∠CAD =10 13 cos(45°-θ )=30, y2=ACsin∠CAD =10 13 sin(45°-θ )=20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k= 2x-y-40=0. 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离

2 AB=40 , 2

20 =2,直线 l 的方程为 y=2x-40,即 10

d?

0 ? 55 ? 40 1? 4

? 3 5 ? 7.
5

所以船会进入警戒水域. 方法二:设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,

cos?ABC ?

AB2 ? BC2 ? AC2 402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ?13 3 10 ? ? , 2AB?BC 10 2 ? 40 2 ?10 5
2

从而 sin∠ABC= 1 ? cos ?ABC ? 1 ? 在△ABQ 中,由正弦定理得,

9 10 ? . 10 10

ABsin?ABC AQ ? ? sin(45? ? ?ABC)

40 2 ?

10 10 ? 40. 2 2 10 ? 2 10

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt△QPE 中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15× 所以船会进入警戒水域.

5 =3 5 <7. 5

6


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