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广西桂林十八中2014届高三第六次月考数学文试题


广西桂林十八中 2014 届高三第六次月考数学文试题
注意:①本试卷共 2 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 ②请分别用 2B 铅笔填涂选择题的答案、黑色水性笔解答第Ⅱ卷。必须在答题卡上答 题,否则不得分。 ③文明考风,诚信考试,自觉遵守考场纪律,杜绝各种作弊行为。

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一. 选择题:本大题共 12 小

题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有 一项是符合题目要求的.
1.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 A. 7 B. 15 C. 25 D. 35 2.集合 M ? {x | log2 x ? 1} , N ? {x | x2 ? 9} ,则 M ? N ? A. (1,3) 3.命题“若 ? ? A.若 ? ? B. (1,3] C. [2,3] D. (2,3]

?
2

,则 sin ? ? 1 ”的逆否命题是 B.若 ? ?

?
2

,则 sin ? ? 1

?
2

,则 sin ? ? 1

C.若 sin ? ? 1 ,则 ? ?

?
2

D.若 sin ? ? 1 ,则 ? ?

?
2

4. 已知双曲线 C : 方程为 A.

x2 y 2 右焦点 F 到渐近线的距离为 5 , 则C 的 ? ? 1 的实轴长为 2 5 , a 2 b2

x2 y 2 ? ?1 5 5

B.

x2 y 2 ? ?1 20 5

C.

x2 y 2 ? ?1 25 5

D.

x2 y 2 ? ?1 5 25

5. 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ,AB ? 2 ,M 为 BB1 ?ABC ? 900 ,AC ? AA 1 ?2 2 的 中点,则 B1 与平面 ACM 的距离为 A. 3 B. 2

C.

2 2

D. 1

6 .已知定义在 R 上以 2 为周期的奇函数 f ( x ) 满足当 x ? (0,1]时, f ( x ) ?

1? x ,则 x

5 f ( ? ) ? f (0)? 2

A.不存在

B. ?

7 5

C.

3 5

D. ?1

7. 已知 Sn 是等比数列 ?an 的前 n 项和, 如果 a3 ? a6 ? 2 ,a4 a5 ? ?8 , 且 a3 ? a6 , 则 A. 1 B. 3 C. ?1 D. ?3

?

S6 ? S3

? ? ? ? ? ? ? 8.设 x ? R ,向量 a ? ( x, ?1) , b ? (1, 2) , c ? (4, ?2) ,且 a ? c ,则 a ? b ?
A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 10

9.将 6 个相同的小球放入 3 个不同的盒子, 要求每个盒子中至少有 1 个小球, 且每个盒子中 的小球个数都不同,则不同的放法共有( ) A.4 种 B.6 种 C.8 种 D.10 种 10.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? 2sin x ? cos x 取得最大值,则 cos ? ? A.

5 5

B.

2 5 5

C. ?

5 5

D. ?

2 5 5

x2 y 2 ? 1 的左右焦点, P 是 C 上一点,若 PF1 ? 2 PF2 , C: ? 11.已知 F 1 、 F2 是椭圆 8 4
则 P 到左准线的距离等于 A.

16 3

B.

16 2 3

C.

8 3

D.

8 2 3

0 12. 已知球的直径 SC ? 4 ,A, B 是该球球面上的两点,AB ? 3 ,?ACS ? ?BCS ? 30 ,

则三棱锥 S ? ABC 的体积为 A.

3 3

B. 3

C. 2 3

D. 3 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ? x? y?4?0 ? 13.设实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ? 0, y ? 0 ?

14

m? 2 ? 的展开式中 x 的系数为 60,则正实数 m ? __________ 2 x? ? 15. 为了得到 y ? cos( x ? ) 的图象, 只要将函数 y ? sin x 的图象向左平移 3 ?
14.二项式 ? x ? 单位

? ?

6



6
x

16.若存在正数 x 使 a ? x ? 2 成立,则 a 的取值范围是

(1, ??)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.
17.(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , S 为该三角形的面积,且

2sin B ? 2sin 2 B ? cos 2B ? 3 ?1 .
(I)求角 B 的大小; (II)若 B 为锐角, a ? 6 , S ? 6 3 ,求 b 的值. 解: (I)∵ cos 2B ? 1 ? 2sin 2 B ??????1 分 由 2sin B ? 2sin B ? cos 2B ? 3 ?1 ? sin B ?
2

3 ??????3分 2

在三角形中,则 B ?

? 2? 或B ? .??????5 分 3 3
? , 3

(II)∵ B 为锐角,∴ B ?

由 a ? 6 , S ? 6 3 得, ? 6c sin
2 2 2

1 2

? ? 6 3 ,∴ c ? 4 ,??????7分 3

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 36 ? 16 ? 24 ? 28 ,??????9分 ∴b ? 2 7 ??????10 分
2 an ? an (n ? N *) 2

18.(本小题满分 12 分) 已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, an ? 0 ,且 S n ? (I)求证数列 ?an ? 是等差数列; (II)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. Sn

2 an ? an (n ? N *) 知, (I)证明:由 S n ? 2 2 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? a1 ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 0 (舍去)?????1分

2 当 n ? 2 时, 2Sn ? an ? an ?????①
2 2Sn?1 ? an ?1 ? an?1 ?????②?????2分 2 2 ①-②得, 2an ? an ? an ?1 ? an ? an?1 ,即 an ? an?1 ? ( an ? an?1 )( an ? an?1 ) ?????4



又∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 1 ,?????5分 ∴ ?an ? 是以1为公差,首项等于1的等差数列;??????6 分 (II)证明:由(I)知 an ? n ,则 S n ? 则 b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 2[

n(1 ? n) ,?????8分 2

1 1 1 ? ? ??? ? ] ?????9 分 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] ?????10 分 2 2 3 n n ?1 1 2n ? 2(1 ? )? ?????12 分 n ?1 n ?1
19. (本小题满分 12 分) 已知 ABC ? A1B1C1 是底面边长为 2 的正三棱柱,O 为 BC 的中点. (Ⅰ)设 AO 1 与底面 A 1B 1C1 所成的角的大小为 ? , 二面角 B ? AO ? B1 的大小为 ? , 求证: tan ? ? 3 tan ? ; (Ⅱ)若点 C 到平面 AB1C1 的距离为 解: (Ⅰ)设正三棱柱的高为 h , ∵ AA1 ? 平面A1B1C1 ,平面 ABC ? 平面A 1 与底面 A 1B 1C 1 ,∴ AO 1B 1C1 所成的角大小等于

3 ,求正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高. 2

AO 1 与底面 ABC 所成的角大小,即 ?AOA 1 ? ? ,则 tan ? ?
∵ AB ? AC , O 为 BC 的中点,∴ AO ? BC ,

AA1 h ? ,???2 分 AO 3

又∵ 平面BB1C1C ? 平面ABC ,交线是 BC , AO ? 平面ABC ,∴ AO ? BB1C1C ,

?BOB1 是 二 面 角 B ? AO ? B1 的 平 面 角 , 即 ?BOB1 ? ? , 则 BB tan ? ? 1 ? h ,????5 分 BO ∴ tan ? ? 3 tan ? ?????6 分 ???? ???? ? ( Ⅱ ) 设 O 为 BC 的 中 点 , 如 图 建 系 , 则 AB1 ? (? 3,1, h) , C1B1 ? (0,2,0) , ??? ? CA ? (1, 3,0) ,??8 分 ? ???? ? ? ? n ? AB1 ? 0 设平面 AB1C1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ? ???? ?????9 分 ? ? ? n ? C1 B1 ? 0
∴ 即?

? ?? 3 x ? y ? hz ? 0 ? ,取 n ? (h,0, 3) ? ?y?0

?????10 分

??? ? ? CA ? n h 3 ? ? ? ∴ 点 C 到平面 AB1C1 的距离为 d ? ,?????11 分 2 n 2 h2 ? 3
解得 h ? 1 ?????12 分 20.(本小题满分 12 分) 甲、乙两个围棋队各派出三名选手 A 、 B 、 C 和 a 、 b 、 c 并按 A 、 B 、 C 和 a 、 b 、 c 的 出场顺序进行擂台赛(擂台赛规则是:败者被打下擂台,胜者留在台上与对方下一位进行比 赛,直到一方选手全部被打下擂台比赛结束) ,已知 A 胜 a 的概率为

3 ,而 B 、C 和 a 、b 、 5

c 五名选手的实力相当,假设各盘比赛结果相互独立.
(Ⅰ)求到比赛结束时共比赛三盘的概率; (Ⅱ)求到比赛结束时选手 A 胜二盘的概率. 解: (I)设到比赛结束时共比赛三盘为事件 M , 再设在这比赛过程中, A 胜出为事件 A , a 胜出为事件 a ?????2 分

3 3 3 2 1 1 79 , ??????6 分 ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 2 2 250 (II)到比赛结束时选手 A 胜二盘为事件 N ,
则 P( M ) ? P( A ? a) ? P( A) ? P(a) ? 则 P( N ) ? ( ) ?
2

3 5

2 18 ? ,?????11 分 5 125
79 ;到比赛结束时选手 A 胜二盘的概率为 250

答:到比赛结束时共比赛三盘的概率

18 ??????12 分 125
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x( x ? R) 3

(Ⅰ)若 a ? 1 ,点 P 为曲线 y ? f ( x) 上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值 时的切线方程; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,试求 a 的最大整数值. 解: (Ⅰ)设切线的斜率为 k ,则 k ? f '( x) ? 2x2 ? 4x ? 3 ? 2( x ?1)2 ? 1 ?????2 分 ∵ x ? R ,∴当 x ? 1 时, k 取得最小值 1 ,?????3 分

5 5 ,则 P (1, ) ?????4分 3 3 5 故所求切线方程为: y ? ? x ? 1 3
又∵ f (1) ? 即 3x ? 3 y ? 2 ? 0 (Ⅱ) f '( x) ? 2 x2 ? 4ax ? 3 要使函数 y ? f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数, ?????6 分

则对任意 x ? (0, ??) 都有 f '( x) ? 0 恒成立,?????8 分 即对任意 x ? (0, ??) 都有 2 x ? 4ax ? 3 ? 0
2

?a?
由于

x 3 对 x ? (0, ??) 恒成立,?????10 分 ? 2 4x

6 x 3 x 3 6 ,当且仅当 x ? 时取“=” , ? ?2 ? ? 2 2 4x 2 4x 2

所以 a ?

6 ,则 a 的最大整数值为1.?????12 分 2
2

22. (本小题满分 12 分)设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A 为 C 上 一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 与 l 切于 B 点,且 ?ABF 的面积为 2 . (Ⅰ)求 p 的值及圆 F 的方程; ( Ⅱ ) 过 B 作 直 线 与抛 物线 C 交 于 M ( x 两 点 , 是 否存 在常 数 m , 使 1, y 1 ), N ( x 2 ,y 2 )

FM FN

?

y1 ? m 恒成立?若存在,求常数 m 的值;若不存在,请说明理由. m ? y2
p p ) , l : y ? ? ??????1 分 2 2
p ) , AF ? BF ? p ? r , 2

解: (Ⅰ) F (0,

由圆的切线性质得 FB ? l ,可得 B(0, ?

由抛物线性质得 A 到 l 的距离等于 AF ? p ,则 ?FAB 是等腰直角三角形,??????3 分 又因为 ?FAB 的面积为 2 ,则

1 1 FA ? FB ? p 2 ? 2 , 2 2
2 2

∵ p ? 0 ,∴ p ? 2 ,从而圆 F 的方程为 F : x ? ( y ? 1) ? 4 .??????5 分 (Ⅱ)设直线 MN 的方程是: y ? kx ? 1 ( k 必存在) ,??????6 分 联立方程组 ?
2

? y ? kx ? 1 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 2 ? x ? 4y
2

∴ ? ? 16k ?16 ? 0,即k ? 1 ,且 x1 x2

? 4 , x1 ? x2 ? 4k ,

2 x12 x2 2 则 y1 y2 ? ? ? 1 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4k ? 2 ??????8 分 4 4

由抛物线性质得

FM ? y1 ?1, FN ? y2 ?1 ??????9 分
FM FN ? y1 ? m y ? 1 y1 ? m ? 恒成立,则 1 y2 ? 1 m ? y2 m ? y2

若存在常数 m ,使

? ( y1 ? 1)(m ? y2 ) ? ( y2 ? 1)( y1 ? m) ? m( y1 ? y2 ? 2) ? 2 y1 y2 ? ( y1 ? y2 )
? 4mk 2 ? 4k 2 对任意的 k 2 ? 1 都成立,??????11 分
因此存在常数 m ? 1 ,使

FM FN

?

y1 ? m 成立.??????12 分 m ? y2


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