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吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 1-1.3.3.3函数的最大(小)值与导数(2课时)教案


吉林省东北师范大学附属中学 2014-2015 学年高中数学 1-1.3.3.3 函数的最大(小)值与导数(2 课时)教案 新人教 A 版选修 1-1
教学目标: ⒈使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f ( x) 在 闭 区 间 ?a, b? 上 所 有 点 ( 包 括 端 点 a , b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必有的充分条件; ⒉使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 教学过程: 一.创设情景 我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内
王新敞
奎屯 新疆

的性质.也就是说,如果 x0 是函数 y ? f ? x ? 的极大(小)值点,那么在点 x0 附近找不到 比 f ? x0 ? 更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数 在某个区间上,哪个至最大,哪个值最小.如果 x0 是函数的最大(小)值,那么 f ? x0 ? 不 小(大)于函数 y ? f ? x ? 在相应区间上的所有函数值. 二.新课讲授

观察图中一个定义在闭区间 ?a, b? 上的函数 f ( x) 的图象. 图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小

1

值, f ( x2 ) 是极大值.函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值是 f (b) ,最小值是 f ( x3 ) . 1.结论:一般地,在闭区间 ?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,那 么函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 说明:⑴如果在某一区间上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,则称函数 (可以不给学生讲) y ? f ( x) 在这个区间上连续. ⑵给定函数的区间必须是闭区间,在开区间 ( a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值 与最小值.如函数 f ( x) ?

1 在 (0,??) 内连续,但没有最大值与最小值; x

⑶在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断, ⑷函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续, 是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件. (可以不给学生讲) 2. “最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是 个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性. ⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; ⑶ 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也 可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值, 有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
王新敞
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3.利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数 值进行比较,就可以得出函数的最值了. 一般地,求函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值;

2

⑵将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b) 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值

王新敞
奎屯

新疆

四.课堂练习 1 . 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( ) y A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 12 3.函数 y= A.0

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 B.-2 C.-1 D. 12
4 2

)

10 8 6 4 2 -4 -2

4 . 求 函 数 y ? x ? 2x ? 5 在区间 ?? 2,2?上 的最大值与最小值.

y=x4-2x2+5 O
2 4

5.课本 练习 五.回顾总结 1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点, 区间端点; 2.函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充 分条件而非必要条件;

x

3

六.布置作业

4


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