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无锡市四校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


2015~2016 学年第一学期高一期中考试 数学学科试题 (时间:120 分钟 满分 160 分) 命题人:薛花 审卷人:吴小云 2015 年 11 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请将答案 填写在答题卡相应的位置上 . ......... 1.设集合 M ? m ? 3 ? m ? 2 , N ?

n ? 1 ? n ? 3, n ? Z ,则 M ? N ? 2.幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点(9,3),则此幂函数的解析式为 f ( x) ? 3. 设函数 f ( x) ? log2 ( 4 ? 3x) ?

?

?

?

?

. . . .

x ? 2 ,则函数 f ( x) 的定义域为

4.函数 f ( x) ? loga (2 x ? 1) ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点

2 2 5.关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为(-2,3) ,则关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0

的解集为 6. 已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x ( x ? 0) 1 ,则 f ( f ( )) ? x 4 ( x ? 0) ? 3

.

7 .若 m ? (1, 2) , a ? 0.3m ,?b ? log0.3 m,?c ? m0.3 , 则用“>”将 a, b, c 按从大到小可排列 为 .

8. 函数 f ?x ? ? mx2 ? 2 x ? 3 在 ?? 2,??? 上递减,则实数 m 的取值范围 9. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ?x ? 在区间 ?0, ? ?? 上是单调增函数,若 f ?lg x ? >

f ?1? ,则实数 x 的取值范围
10.已知函数 f ( x) ? 3 ? x ? 5 的零点 x0 ?? a, b? ,且 b ? a ? 1 , a , b ? N ,则 a ? b ?
x
?

11. 已知 f ( x) ? kx ?
3

2 1 ? 2(k ? R), f (lg 5) ? 1, 则f (lg ) = x 5

. , 若 f ( x) 在区间 [m2 , n]

( ) fn ?() 12.设已知函数 f ( x) ? log 2 x , 正实数 m, n 满足 m ? n , 且 fm

上的最大值为 2,则 n ? m ? 13. 已知函数 f ( x) ? ?

. 满足对任意的 x1 ? x2 ,都有

?a x , x ? 0 ?(a ? 2) x ? 3a, x ? 0

f ( x1 ) ? f ? x2 ? ?0 x1 ? x2

成立,则 a 的取值范围是

1

14.函数 f ( x) ? ?

x?0 ?| ln x | ?3, , 若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? 3b ? 1 ? 0 有 4 个不 2 ?? x ? 2 x ? 2, x ? 0


同的实数根,则实数 b 的取值范围是

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答应写出文字 ....... 说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? x x 2 ? 3x ?10 ? 0 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ?1 . (1)当 m ? 3 时,求集合 A U B , ? ? R A

?

?

?

?

??B;

(2)若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? loga
1? x (2)判断函数 f ( x) 的 (a ? 0, a ? 1) 。 (1)求函数 f ( x) 的定义域; 1? x

奇偶性,并证明; (3)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

17. (本小题满分 15 分) 已知 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 为二次函数,且满足 f (2) ? 1 ,

f ( x) 在 (0, ??) 上的两个零点为 1 和 3 .
(1)求函数 f ( x ) 在 R 上的解析式; (2)作出 f ( x ) 的图象,并根据图象讨论关于 x 的方程 f ( x) ? c ? 0 (c ? R ) 根的个数. y

O
2

x

18. (本小题满分 15 分) 甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品 x (百台) ,其总 成本为 G ?x ? (万元) ,其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元(总

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x?0 ? x ? 5? 成本=固定成本+生产成本) , 销售收入 R?x ? (万元) 满足 R?x ? ? ? , ?11?x ? 5?
假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) ,根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数 y ? f ?x ? 的解析式(利润=销售收入-总成本) ; (2)要使甲厂有盈利,求产量 x 的范围; (3)甲厂生产多少台产品时,可使盈利最多?

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? b(a ? 0) 在区间 ?? 1,4? 上有最大值 10 和最小值 1.
2

设 g ( x) ?

f ( x) . x

(1)求 a 、 b 的值; (2)证明:函数 g ( x) 在 [ b ,??) 上是增函数 (3)若不等式 g (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围;
x x

3

20. (本小题满分 16 分)
x 设函数 f ( x) ? a x ? (k ?1)a ? ( a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.

(1)求 k 值; (2) 若 f (1) ? 0 , 试判断函数单调性,并求使不等式 f ( x 2 ? x) ? f (t ? 2 x) ? 0 恒成立的 t 的 取值范围; (3)若 f ?1? ?

3 ,设 g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2mf ( x) , g ( x) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ? 1 ,求 2

m 的值.

4

2015—2016 学年第一学期期中考试 高一数学参考答案 一、填空题答案

1、

?- 1,0, 1?

1 2 、 x 2 ( x ? 0)

3 、 ?? 2, ?

? ?

4? 3?

4 、 ?1,1?

5、 ?? 3,2? 6、 3 11、 ? 5 二、解答题答案 15、 (本小题满分 14 分)
2 (1) A ? x x ? 3 x ? 10 ? 0 ? x ? 2 ? x ? 5

1 9

7、c ? a ? b

8、??

? 1 ? ,0 ? 2 ? ?

9、 ? 0, ? U ?10 , ? ??

? 1? ? 10 ?

10、

12、

5 2

13、 ? 0, ? 3

? 1? ? ?

14、

?5 ? b ? ?

3 5

?

? ?
?

?

当 m ? 3 时, B ? x 4 ? x ? 5

?

所以 A U B ? x - 2 ? x ? 5 ,? R A ? x x ? ?2或x ? 5 所以 ? ? R A

?

?

?

?

? ? B ? ?5?

(2)因为 A ? B ? B ,所以 B ? A ①当 B ? ? 时, m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 ,此时 B ? A

?m ? 1 ? 2m ? 1 ? ②当 B ? ? 时, ? m ? 1 ? ?2 即 2 ? m ? 3 ,此时 B ? A ? 2m ? 1 ? 5 ?
综上所述,m 的取值范围是 m 2 ? m ? 3 16. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可知

?

?

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 ,所以函数的定义域为 (?1,1) ;3 分 1? x

(2) 函数的定义域为 (?1,1) ,关于原点对称.??????????? 5 分
1? x 1? x ?1? x ? ? log a ? ? ? f ( x) , ? ? ? log a 1? x 1 ? x 1? x ? ?
5
?1

因为 f (? x) ? log a

所以 f ( x) 为奇函数; ????????????????? 10 分 (3)当 0 ? a ? 1 时, 0 ?

1? x ? 1 ,解得 ?1 ? x ? 0 , ????????? 12 分 1? x 1? x ? 1 ,解得 0 ? x ? 1 ????????14 分 当 a ? 1 时, 1? x

17.解: (1)由题意,当 x ? 0 时,设 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3),(a ? 0) , ∴ f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ? f ? 2? ? 1,∴ a ? ?1 , 分 (注:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c,(a ? 0) 一样给分) 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,∵ f ( x ) 为 R 上的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x)2 ? 4(? x) ? 3] ? x2 ? 4 x ? 3 即 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ? 3
2

???????????2

???????????5

分 当 x ? 0 时,由 f (? x) ? ? f ( x) 得: f (0) ? 0 分 ???????????6

?? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? 0, ?? x ? 0 . 所以 f ( x ) ? ? ? x 2 ? 4 x ? 3,?? x ? 0 ?


??????????? 7 y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

O
-1 -2

3 1 2

4

x

(2)作出 f ( x ) 的图象(如图所示) ???????10 分 (注: f (0) ? 0 的点或两空心点不标注扣 1 分, 不要重复扣分) 由 f ( x) ? c ? 0 得: c ? f ( x) ,在图中作 y ? c , 根据交点讨论方程的根:
6

-3 -4

当 c≥3 或 c≤? 3 时,方程有 1 个根; 11 分

???????????????

当 1 ? c ? 3 或 ?3 ? c ? ?1 时,方程有 2 个根; ??????????????? 12 分 当 c ? ?1 或 c ? 1 时,方程有 3 个根; 13 分 当 0 ? c ? 1 或 ?1 ? c ? 0 时,方程有 4 个根; 14 分 当 c ? 0 时,方程有 5 个根. 15 分 ??????????????? ??????????????? ???????????????

18. 解: (1)由题意得 G(x)=2.8+x.

??????????????2 分

??0.4 x2 ? 3.2 x ? 2.8(0 ? x ? 5) ?????????????? 5 f ( x) =R(x)?G(x)= ? ? 8.2 ? x( x ? 5)
分 (2)①当 0≤x≤5 时,由?0.4x +3.2x?2.8>0 得:x ?8x+7<0 ,解得 1<x<7.
2 2

所以:1< x≤5. 分

??????????????7

②当 x >5 时,由 8.2 ?x >0 解得 x<8.2. 所以:5<x<8.2. 综上得当 1<x<8.2 时有 y>0. 分 所以当产量大于 100 台, 小于 820 台时, 能使工厂有盈利. ?????????????? 10 分 (3)当 x>5 时,∵函数 f ( x) 递减,∴ f ( x) < f (5) =3.2(万元) . 当 0≤x≤5 时,函数 f ( x) = -0.4(x?4) +3.6,
2

??????????????9

当 x=4 时, f ( x) 有最大值为 3.6(万元) . 答:当工厂生产 400 台时,可使赢利最大为 3.6 万元. 分 ?????????????15

7

18.解: (1)设 t ? 2 ,因为 x ?? ?1,1? , ? t ? ? ,2? ???????????2 分 2
x

?1 ? ? ?

1 1 y ? t ? t 2 ? ?(t ? ) 2 ? , 2 4 1 1 t ? 时, f ( x) max ? , t ? 2时, f ( x) min ? ?2 .???????????4 分 2 4
1? .???????????5 分 ? f ( x) 的值域为 ? ?? 2, ? ? 4?
(2)设 t ? 2 ,由 f ( x) ? 16 ? 9 ? 2 得: t ? t ? 16 ? 9t ,即 t ? 10t ? 16 ? 0 .??7 分
x

x

2

2

? 2 ? t ? 8 ,即 2 ? 2 x ? 8 ,?1 ? x ? 3
∴不等式的解集为 (1,3) .???????????12 分 (3)方程有解等价于 m 在 1- f ( x) 的值域内,∴ m 的取值范围为 ? , 3? .?????15 分
2 19. 解:(1) f ( x) ? a(x ?1 ) ? a ? b(a ? 0) ,

?3 ? ?4 ?

因为 a ? 0 ,故 ?

?a ? 1 ? f (1) ? 1 ,解得 ? . ?b ? 2 ? f (4) ? 10
2 ? 2 ,设 2 ? x1 ? x2 , x

????????4 分

(2)由已知可得 g ( x ) ? x ?

∵ g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? ( x1 ? x2 )(1 ?

2 ( x ? x )(x x ? 2) )? 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2

????????7 分

∵ 2 ? x1 ? x2 ,∴x1-x2<0,2<x1x2,即 x1x2-2>0. ∴g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 所以函数 g ( x) 在

? 2,???上是增函数
2

????????10 分

x x 2x ? x ? 2 ? k ? 2x , (3) g (2 ) ? k ? 2 ? 0 可化为 2

1 1 ?1? 2 化为 1 ? 2? x ? ? 2 ? x ? k ,令 t ? x ,则 k ? 2t ? 2t ? 1 , 2 2 ?2 ?
因 x ? [?1 , 1] ,故 t ? ?

2

????????12 分

?1 ? ,2 , ?2 ? ?

8

记 h(t ) ? 2t 2 ? 2t ? 1 ,因为 t ? ? 所以 k 的取值范围是 ?? ?,5? .

?1 ? , 2 ,故 h(t ) max ? 5 , ?2 ? ?
????????16 分

20. 解:(1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,∴k=0, ????????2 分 (2) f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 0且a ? 1), 由 f (1) ? 0 得到 a ? 1 ,

? a x 单调递增, a ? x 单调递减,故 f(x)在 R 上单调递增。 ????????4 分
2 不等式化为 f ( x ? x) ? f (2 x ? t ) ,? x ? x ? 2 x ? t ,? x ? x ? t ? 0 恒成立, ??6 分
2 2

? 1? ? ? ? 1 ? 4t ? 0 , t 的取值范围为 ?t t ? ? ; 4? ?

????????8 分

1 3 1 3 2 (3)∵f(1) = , ? a ? ? ,即 2a ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? (舍去)。 ???? 10 2 2 a 2
分 ∴g(x)=2 +2
x
2x -2x

-2m(2 -2 )=(2 -2 ) -2m(2 -2 )+2.
-x

x

-x

x

-x 2

x

-x

令 t=f(x)=2 -2 , 3 x -x 由(1)可知 f(x)=2 -2 为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)= , 2 令 h(t)=t -2mt+2=(t-m) +2-m
2 2 2

3 (t≥ ) 2

????????12 分

3 2 若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m =-1,∴m= ? 3 ,∴m= 3 2 3 3 17 7 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -3m=-1,解得 m= > ,舍去。 2 2 4 4 2 综上可知 m= 3 ????????16 分

9


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