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寻找二面角的平面角的方法


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求: (1)直线 (2)直线 与棱 与平面 所构成的角的正弦值; 所构成的角的正弦值. 两点. 已知 分析:求解这道题,首先得找出二面角的平面角,也就是找出 儿.如果解决了这个问题,这道题也就解决了一半. 根据题意,在平面 内作 连结 、 . 可以证明 为二面角 ;在平面 内作 , , 则由二面角的平面角的定义, 可知 角在哪 , 的平面角.以下求解略. 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角 例2 面 成 , 如图,在平面 与棱 成 内有一条直线 ,求平面 与平 与平面 的二面角的大小. 分析:找二面角的平面角,可过 作 .由三垂线定理可证 ,则 ; 平面 为二面角的平面角. ,连结 总结:(1)如果两个平面相交,有过一个平面内的一点与另一个平面垂直 的垂线,可过这一点向棱作垂线,连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂 足的连线与棱垂直,那么就可以找到二面角的平面角. (2)在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时,注意“作”、“连”、 “证”,即“作 ”、“连结 ”、“证明 ”. 三、作二面角棱的垂面,垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角,即 为二面角的平面角 例3 于 如图 1,已知 为 内的一点, 于 点, 点,如果 ,试求二面角 的平面角. 分析: 因此只要把平面 的平面角, 与平面 、 平面 . 为 的交线画出来即可.证明 (如图 2). 注意:这种类型的题,如果过 作 ,垂足为 ,连结 ,我 们还必须证明 ,及 为平面图形,这样做起来比较麻烦. 例4 平面 已知斜三棱柱 , 平面 与平面 构成的二面角的大小. 中,平面 与平面 构成的二面角 . 试求平面 与 的平面角为 构成的二面角为 分析:作三棱柱的直截面,可得△ ,其三个内角分别 为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角. 总结:对棱柱而言,其直截面与各个侧棱的交点所形成的多 边形的各个内角,分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面 角. 四、平移平面法 例5 如图,正方体 中, 为 的 中点, 为 上的点,且 构成的锐角的正切. .设正方体的棱长为 ,求平面 与底面 分析:本题中,仅仅知道二面角棱上的一点 ,在这种情况下,寻找二面 角的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原 理,如果能把二面角中的一个平面平移,找出辅助平面与另一个平面的交线,就 可以作出二面角的平面角. 有了平面角之后,只需要进行常规构造三角形和解三 角形的计算,就可以解决问题了. 如图, 过点 与 相交于 作 与 相交于 平面 点, 过 点作 与平面 作 , 的二 , 为 点.可证平面 .这样,求平面 与平面 的二面角的平面角就转化为求平面 面角的平面角.显然 为这两个平面的交线,过点 垂足,连结 ,可证 .则 为本题要寻找的二面角. 五、找垂面,作垂线 例6 面 如图,正方体 中, 为棱 的中点,求平 和平面 分析:平面 , 垂足为 点,连结 为二面角 所构成的锐二面角的正切. 与二面角 相交,过 作 的平面角. , 过 的一个面 点

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