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高一数学必修一生活中的变量关系


§1生活中的变量关系

每日赠言
变化是永恒不变的

?

变化是永恒的,我们周围的一切都在发生 着变化,如温度的变化、速度的变化、物价 的变化、股市的变化、月相的变化、季节的 变化、身高体重的变化、兴趣爱好的变化等. 总之,我们生活在一个变化的世界之中. 事物的变化有一定的规律吗?它们的变 化是如何互相影响的?如何从数学的角度对 变量和变量之间的关系进行描述?这些问题 的提出,就使得研究变化的数学内容——变 量和变量之间的关系,成为与现实世界联系 最密切的内容之一.

?

? 现实生活中充满了变化,静止是相对的,

运动是永恒的。我们的生活中存在着各种 各样的变量关系,其中函数关系是描述这 种变化的重要模型,也是数学的基本概念 。函数思想是研究问题的重要的数学思想 之一,今天我们学习如何确定函数关系。

学习目标
? 1.了解常量与变量之间的关系 ? 2.会判断两个变量之间的关系是否为函数

关系
? 3.会结合语言、符号、表格、图像分析变

量之间的关系

引入新课
引例: 1.人的体重和身高是函数关系吗? 2.小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗?

3.正方体的体积和棱长是函数关系吗?
如何判断呢?这就是本章要讲的内容。

2008年9月5日

推进新课
1.回忆初中函数的定义是什么?在初中学 过哪些函数? 答:一般地,在一个变化过程中,有两 个变量x和y,如果给定一个x值,相应地 就确定唯一的一个y值,那么我们就成y 是x的函数。 初中学过正比例函数,反比例函数, 一次函数,二次函数。

同学们能发现什么?

设在一个变化过程中两个变量x,y

x
任意给一个值X

y
唯一与它对应的值Y

因变量 结论:两个变量之间存在相互依赖关系
2008年9月5日

自变量

实例分析
我国的道路交通网,近几十年的发展非常迅速。 1.我国自1988年开始建设高速公路,全国 高速公路通车总里程,1998年底,位居世界第 八;1999年底,位居世界第四; 2000年底, 位居世界第三;2001年底,超过加拿大,跃居 世界第二位(如表2-1)

表2-1
年份 总里程

1988~2001年全国高速公路总里程
1988 147 1989 271 1990 522 1991 574 1992 652

单位:km
1993 1145 1994 1603

年份
总里程

1995
2141

1996
3422

1997
4771

1998
8733

1999
11605

2000
16314

2001
19453

2008年9月5日

根据表内数据作图 (如图2-1)
20000 里程(km) 19453 16314 11605 8733

15000

10000

注意:实际问题中,作图 时常不用坐标轴箭头。今 后遇到实际问题,我们也 不表坐标轴箭头。
652 1145 522 271 3422 4771 1603 2141

5000 147 0

年份

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
图2-1

思考1.高速公路里程数与年份有怎样的关系?
解析:高速公路里程数随年份的变化而变化. 所以, 高速公路里程数可以看成因变量,年份看成自变量, 从而高速公路里程数是年份的函数.

实例分析
思考2. 一辆汽车在高速公路上行驶的过程中, 每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应. 行驶路程与时间有怎样的关系?
解析:行驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化
而变化,行驶路程是时间的函数. 同样,汽车的速度、

耗油量也是时间的函数.

3.下图是某高速公路旁加油站的图片,加油站 常用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、 截面半径r是常量;油面高度h、油面宽度w、 储油量v是变量.

r
w h d

思考3.储油量v与油面高度h有什么关系?储油量 v与油面宽度w有什么关系?
解析:储油量v与油面高度h存在着依赖关系,储油量v 与油面宽度w也存在着依赖关系. 对于油面高度h的每一个取值,都有唯一的储油量 v与之对应,所以,储油量v是油面高度h的函数. 而对于油面宽度w的一个值可以有两种油面高度和 它对应,于是可以有两种储油量v和它对应,所以,储 油量v不是油面宽度w的函数.

依赖关系:一个量的变化引起与之相关的另一个量
的变化,这时称这两个变量具有依赖关系。 函数关系:一般地,在一个变化过程中,有两个变 量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定唯一的一个 y值,那么我们就成y是x的函数。 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系. 只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个 变量都有唯一确定的值与之对应时,才称它们之间有 函数关系.

引例: 1.人的体重和身高是函数关系吗? 2.小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗?

3.正方体的体积和棱长是函数关系吗?



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