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高中数学竞赛


专题五 直线 圆锥曲线 平面向量 一 能力培养 1,函数与方程思想 二 问题探讨 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力 问题 1 设坐标原点为 O,抛物线 y ? 2 x 与过焦点的直线交于 A,B 两点,求 OA ? OB 的值. 2 ??? ??? ? ? 问题 2 已知直线 L 与椭圆 x2 y 2 ? ? 1交于 P,Q 不同两点,记 OP,OQ 的斜率分别为 a 2 b2 b2 ,求 PQ 连线的中点 M 的轨迹方程. a2 kOP , kOQ ,如果 kOP ? kOQ ? ? 问题 3 给定抛物线 C: y ? 4 x ,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点. 2 (I)设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 夹角的大小; (II)设 FB ? ? AF ,若 ? ? [4,9] ,求 l 在 y 轴上截距的变化范围. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 问题 4 求同时满足下列三个条件的曲线 C 的方程: ①是椭圆或双曲线; ②原点 O 和直线 x ? 1 分别为焦点及相应准线; ③被直线 x ? y ? 0 垂直平分的弦 AB 的长为 2 2 . 三 习题探 选择题 1 已知椭圆 x2 y2 10 ,则实数 k 的值为 ? ? 1 的离心率 e ? 5 5 k B,3 或 2 2 A,3 25 3 2 2 C, 5 D, 15 或 15 3 2 一动圆与两圆 x ? y ? 1和 x ? y ? 8 x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线 3 已知双曲线的顶点为 (2, ?1) 与(2,5),它的一条渐近线与直线 3x ? 4 y ? 0 平行,则双曲 线的准线方程是 A, y ? 2 ? 2 9 5 B, x ? 2 ? 9 5 C, y ? 2 ? 12 5 D, x ? 2 ? 12 5 4 抛物线 y ? 2 x 上的点 P 到直线 y ? x ? 4 有最短的距离,则 P 的坐标是 A,(0,0) B, (1, ) 1 2 C, ( ,1) 1 2 D, ( , ) 1 1 2 2 5 已知点 F ( , 0) ,直线 l : x ? ? 1 4 1 ,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 4 D,抛物线 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A,双曲线 B,椭圆 C,圆 填空题 6 椭圆 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点到左焦点的最大距离为 8,到右准线的最小距离 a 2 b2 . . 为 10 ,则此椭圆的方程为 3 3 7 与方程 x ? y 的图形关于 y ? ?x 对称的图形的方程是 8 设 P 是抛物线 y ? 4 y ? 4 x ? 0 上的动点,点 A 的坐标为 (0, ?1) ,点 M 在直线 PA 上, 2 且分 PA 所成的比为 2:1,则点 M 的轨迹方程是 ??? ? . 9 设椭圆与双曲线有共同的焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆长轴是双曲线实轴的 2 倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 解答题 . 10 已知点 H (?3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上, 且满足 HP ? PM ? 0 , PM ? ? ??? ???? ? ?


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