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PDC钻头等切削体积布齿优化设计


  2006 年 第 35 卷                  石油矿场机械   第 4 期 第 61 页               OIL  FIELD  EQUIPMENT              2006 , 35( 4) :61~64   文章编号 : 100123482 ( 2006 ) 0420061204

PDC 钻头等切削体积布齿优化设


宋洵成 ,邹德永 ,管志川
( 中国石油大学 ( 华东) 石油工程学院 ,山东 东营 257061)

摘要 : 在 PDC 钻头切削齿几何描述的基础上 ,考虑到钻头旋转钻进时因切削齿周向角不同 ,即切削次序不同而造
成的相互覆盖 ,建立了切削体积的计算方法和利用线性规划进行 PDC 钻头等切削体积布齿优化设计的方法 ,并编 制了计算机程序 。程序设计的实例结果表明 ,该方法能较大幅度地提高切削体积均匀度 。该方法的提出使得 PDC 钻头优化设计更加系统化 、 参数化 、 自动化 。

关键词 : PDC 钻头 ;切削体积 ;等切削体积 ;优化设计 中图分类号 : T E9211 102     文献标识码 : A

Equal2cutting2volume optimization design f or a PDC bit
SON G Xun2cheng ,ZOU De2yo ng , GU AN Zhi2chuan
( Col le ge of Pet roleum En gi neeri n g , Chi na U ni versit y of Pet roleum ( H ua don g) , Don g y i n g 257061 , Chi na)

Abstract : On t he basis of descriptio n of PDC2cutter geo met ry , in co nsidering overlap s amo ng cut ting t raj2 ectories of cut ters caused by angular po sitio n differences while rotary drilling , a co mp utatio n met hod of cut ting volume is developed. In additio n ,based o n t hat an optimizing design met hod of PDC bit s , under t he law of equal2cut ting2volume , is established and p rogrammed. A co mpariso n of cut ting volume bet ween t he initial cut ter s arrangement and o ne af ter optimizatio n by such p rogram shows it can imp rove cutting2vol2 ume2equalit y co nsiderably. The optimizatio n met ho d make PDC bit s design be more systematic and auto2 matic. Key words : PDC bit ; cut ting volume ; equal2cut ting2volume ; op timizatio n design

   等切削体积布齿一直是 PDC 钻头设计的一个 重要原则 [ 1~2 ] , 但是传统的切削体积计算方法中假 设所有切削齿同时切削井底 ,即周向角相同 [ 3~4 ] ,而 实际上各切削齿则分布在 PDC 钻头的不同周向位 置处 ,钻头旋转切削井底过程中由于切削齿周向位 置不同造成齿切削次序不同 , 从而导致各切削齿的 切削区域重叠和覆盖 , 因此准确计算切削齿的切削 体积时必须考虑到其切削时的先后次序 ,即周向角 。 在进行等切削体积布齿优化设计时 , 改变一个切削 齿的径向位置则同时会影响到相临若干切削齿的切 削体积 ,且这种调整要反复进行 , 因此 PDC 钻头等 切削体积布齿优化设计是一个数学规划问题 。为 此 ,本文对切削体积计算方法和等切削体积优化设 计方法进行了研究 。
   收稿日期 :2006202228

1  切削齿几何描述
坐标系及齿切削几何形态如图 1 。假设钻头和 井眼同心 , 以钻头轴线为纵轴 y ( 高度) , 其正方向为 钻进方向 , 径向方向为 x , 建立 x oy 正交坐标系 , y 方向参考水平面任意选取 。基体曲线由其上的点
( B i , Pi ) 通过三次样条函数 y = s ( x ) 拟合 , B i 为 i 点

径向坐标 , Pi 为 i 点高度坐标 。 描述切削齿 n 的几何参数有径向位置 R n , 周向 角θ n , 切削齿半径 rn , 后倾角 β n , 侧转角 γ n 。单个切 削齿的切削面积是一个椭圆 , 其中心坐标为 ( R n ,
Hn) Hn = S ( Rn) 。 ( 1)

切削椭圆的α轴与基体在 ( R n , H n ) 点的切线方

作者简介 : 宋洵成 ( 19722) ,男 ,河南睢县人 ,在读博士 ,讲师 ,1999 年毕业于中国石油大学 ( 华东 ) , 现从事油气井工程方面 的研究工作 。

?62 ?

OIL  FIELD  EQUIPMENT               2006 Vol. 35 № 4 

向平行 。定义切削椭圆的倾角 φn 为过切削齿中心 的 y 方向沿顺时针方向到达 b 轴转过的角度 φn = - arct g ( d S x = R n ) 。 dx 切削椭圆的半轴 an 和 b n 为 γ an = rn co s n , β bn = rn co s n ,
( 2)

由于叠加的可能性有多种 , 叠加区域为不规则 图形 ,故采取微分法近似计算各齿切削面积 。假设
PDC 钻头有 N 个齿 , 且 R n ≥R n - 1 , 将 N 个齿的总

( 3) ( 4)

径向覆盖范围 [ m , M ] 按步长 d 分成 J 等份 , 按式 ( 10) 计算每个小区间 j 的中点 x j 与前井底剖面线 以及各齿切削椭圆的交点 , 根据交点分布情况和切 削齿相互覆盖情况 , 用交点高度差与区间形成的矩 形面积近似计算各切削齿在该区间上的切削面积 j ΔA n , 如图 2 。然后 , 根据切削面积和区间径向位置 j 计算出区间切削体积 ΔV n , 最后将切削齿 n 在各个
j 区间上的切削体积ΔV n 加起来就是其切削体积 V n 。

图1  坐标系及齿切削几何形态

根据式 ( 1) ~ ( 4) 可得切削椭圆方程
y = Cn D n ( x - R n ) ± En - ( x - R n ) 2

+ Hn , ( 5)

式中 ,

Cn = Dn =

γ β co s n co s n , 2 2 2 co s2γ n co s φ n + co s β n sin φ n
2 2 φ sinφ n co s n ( co s β n - co s γ n) , γ β co s co s n n

( 6) ( 7)

2 2 2 2 2 ( 8) En = rn ( co s γ n co s φ n + co s β n sin φ n) 。

2  切削体积 φn φφφφφ
假定钻头开始工作时钻头参考垂直平面 ( 切削 齿周向角为 0 的平面) 与井眼参考垂直平面重合 ,钻 头旋转至井眼参考垂直平面时切削齿 n 的切削椭圆
φ 上任一点向下钻进 f n   n φφφφφ fθ n fn = , 360 图2  井底切削断面

m = min ( m n ) ,
1 ≤n ≤N 1 ≤n ≤N

( 11) ( 12) ( 13) ( 14) ( 15) ( 16) ( 17) ( 18) ( 19) ( 20) ( 21)

M = max ( M n ) , m n = max [ 0 , R n En - ε d0 ] , En - ε d0 ] ,

( 9)

M n = max [ 0 , R n -

d0 = r/ N R A Y , d = ( M - m) / J , J = int [ ( M - m) / d0 + 0. 5 ] , x j = m + j d/ 2 , j = 1 , …, J ,
J

式中 , f 为钻头每转进尺 ,mm 。 联合式 ( 5) ~ ( 9 ) , 可得切削齿 n 在井眼参考垂 直平面上的切削轨迹方程
y = Cn D n ( x - R n ) ± En - ( x - R n ) 2 fθ n

+ Hn +

360



ΔA n , An = ∑
j j =1 J

( 10)

钻头在井底旋转 1 周 , 钻头上的每个切削齿都 经过井眼参考垂直平面 , 各齿切削轨迹形成的切削 断面如图 2 。其中 , 假定各切削齿经过井眼参考面 的顺序依次为 1 # 、 2# 、 4# 、 3 # , 则各切削齿的切 削面积为各齿切削轨迹和前一次井底剖面线的相互 叠加区域 。显然 ,各切削齿的切削面积不仅与切削 齿尺寸 、 吃入深度 、 径向位置 、 后倾角 、 侧转角有关 , 还取决于相邻切削齿的叠加情况 。

ΔV n , Vn = ∑
j j =1 j j ΔV n πx jΔA n =2 ,

式中 , r 为切削齿平均半径 ; N R A Y 为人为规定的正 整数 , 数值越大 , 区间划分越细 , 计算越准确 ; d 为实 际计算区间长度 ;εd0 为避免计算点落在切削齿井 底切削轨迹的左右边界点上的增量 ; m n , M n 为考虑 增量εd 0 的切削齿 n 井底切削轨迹在径向 x 轴上的 左右边界 。

  宋洵成 ,等 : PDC 钻头等切削体积布齿优化设计

?6 3 ?

图 2 中 x = a 处 , 与前井底剖面线交与 2 # 切削 齿的 y2 at 点 ( 前 次各 齿在 该径 向 位 置 处 切 削 最 深 点) , 本次切削分别与 1 # 、 2# 、 3 # 齿切削轨迹相交 与 y1 au 、 y2 au 、 y3 au ( 齿切削轨迹与 x = a 的交点中较该 径向位置处井底剖面线上的点 y 2 at 更深的那些交 点) 将交点按照从深到浅排序 , y2 au 、 y3 au 、 y1 au 、 y2 at , 但 是由于 x = a 与 3 # 齿的交点 y3 au 比 2 # 齿交点 y2 au 浅 , 且 2 # 齿在 3 # 齿之前切削井底 , 故 3 # 齿实际 上不参与该点切削 , y3 au 被舍弃 , 则只有 1 # 和 2 # 齿 参与该点切削 , 切削面积和切削体积分别为 a ΔA 1 ( 22) = ( y1 au - y2 at ) d , ΔV 1 = 2 πaΔA 1 ,
a a

V m - V av ≥- E , s ≤x ≤t , E≥ 0, ( m , n = n1 , …, n2 ) 。
k n k n k n k n

( 31) ( 32) ( 33)

k 0 0 式中 , s = ( R n + R0 n - 1 ) / 2 ; tn = ( R n + R n + 1 ) / 2 。 式 ( 28) 是一个具有 M + 1 个未知量和 4 M 个约 束条件的线性规划问题 , 求解后得到切削齿的新径 +1 向位置 R k = xk n n。

0

5  计算实例
根据上述等切削体积布齿优化计算方法编制了 计算机程序 ,利用程序对 PDC 取心钻头切削齿的径 向位置进行了优化 , 优化前后各切削齿切削体积对 比如表 1 。 优化前切削齿的径向位置是在假设所有切削齿 同时切削井底 ,即周向位置相同的前提下按照等切 削体积布齿原则确定的 , 但是由于切削齿的实际周 向位置不同 ,造成井底切削区域相互重叠 ,因此各切 削齿的实际切削体积存在很大差别 ,28 个切削齿的 标准偏差达到了 887. 94 ; 按照本文介绍的方法对原 始布齿数据优化后 , 切削齿的切削体积的标准偏差 下降 到 了 722. 84 , 切 削 体 积 平 均 程 度 提 高 了 181 59 % 。优化后各切削齿的切削体积并没有达到 完全相同的原因是 , 优化是在原始布齿结果的基础 上进行的 ,优化过程中各切削齿的径向位置调整范 围有限 ( 大致与齿直径相同 ) , 因此优化后切削体积 的均匀度只能比原始布齿的切削体积均匀度有一定 程度的提高 ,若欲进一步提高切削体积均匀度 ,可在 前次优化结果的基础上重复进行布齿优化 。

( 23) ( 24) ( 25)

ΔA 2 = ( y2 au - y1 au ) d , a a ΔV 2 πaΔA 2 =2 ,
a

将它们与其他计算点上 1 # 和 2 # 切削齿的切削体 积加起来就得到各自的切削体积 。

3  等切削体积优化目标函数
通过调整优化区间内的切削齿径向位置 , 得到 目标函数 ( 26) max| V n - V av | , n = n1 , …, n2 最小 。 式中 , V n 为切削齿 n 的切削体积 ; V av 为优化区间内 切削齿的平均切削体积 , V av =
1
n2

M n = n1

∑V n , M = n2 - n1

+ 1 ; n1 , n2 为优化区间 , 1 < n1 < n2 < N 。

4  优化方法
欲提高切削体积优化水平 , 需要进行若干次迭 代求解目标函数 , 迭代次数越多 , 优化效果越好 。用 上标 k 表示第 k 次迭代 , k = 0 时各切削齿处于初始 位置 。对第 k 次迭代 , 记 V n 为 V k n , 定义雅可比为
g mn =
k

6  结论
1)   通过分析切削齿工作参数的相对关系和切

dV k m k R n = Rn , d Rn

( 27)

k 式中 ,V k m = V m ( R n = R n ) , ( m , n = n1 , …, n2 ) 。

将 V m - V av 在 R n = R k n 处进行泰勒展开 ,并只保 留线性项 ,有
V m - V av = V
k m

削运动形式 ,建立了 PDC 钻头切削齿的几何描述方 法。 2)   根据切削齿几何描述和 PDC 钻头钻进特 性建立了 PDC 钻头切削齿井底切削轨迹方程 。 3)   考虑切削齿切削次序不同造成的切削重 叠 ,建立了 PDC 钻头切削体积的数值计算方法 。 4)   建立了利用线性规划解决 PDC 钻头的等 切削体积布齿优化设计方法 。 5)   经本文介绍方法优化后 , 切削齿的切削体 积均匀度得到了较大幅度的提高 , 本文算例达到了 18. 59 % 。

- V

k av

+ ∑( x - R ) ?
n = n1 n2

n2

k n

k n

g nn -

k

1

M j = n1

∑ gk 。 jn

( 28)

引入变量 E ≥ 0 , 将问题转化为寻求 x k n 使得 E 最小 , 即 ( 29) min E 。 ( 30) 满足 : V m - V av ≤E ,

?64 ?

OIL  FIELD  EQUIPMENT               2006 Vol. 35 № 4 

表1  样本钻头等切削体积布齿优化设计结果 优化前
) 后倾角/ (° ) 齿号 周向角/ (°

优化后 切削体 积/ mm
3

径向坐 标/ mm

高度坐 标/ mm
59. 99 59. 98 59. 97 59. 77 59. 47 58. 97 58. 08 57. 25 55. 97 54. 45 52. 59 50. 53 48. 15 45. 46 42. 65 39. 60 36. 27 32. 85 29. 24 25. 66 21. 75 17. 90 14. 19 10. 71 7. 01 3. 07 2. 12 2. 12 887. 94

径向坐 标/ mm
56. 00 56. 76 56. 84 61. 58 63. 51 68. 63 71. 53 72. 07 75. 04 77. 46 78. 66 82. 81 83. 95 84. 99 87. 10 88. 63 90. 57 92. 26 94. 09 95. 10 97. 04 98. 06 99. 16 99. 98 101. 14 102. 16 102. 45 102. 50

高度坐 标/ mm
59. 99 59. 97 59. 97 59. 80 59. 65 58. 78 57. 90 57. 70 56. 27 54. 75 53. 86 49. 77 48. 45 47. 06 43. 91 41. 33 37. 62 33. 93 29. 54 26. 94 21. 40 18. 27 14. 59 11. 76 7. 47 3. 54 2. 36 2. 12 722. 84

切削体 积/ mm3
2 524. 22 2 213. 01 2 150. 72 3 420. 83 2 625. 94 2 955. 98 3 100. 89 2 645. 64 2 502. 59 2 957. 08 2 335. 82 2 613. 34 2 809. 15 2 230. 69 2 234. 13 2 159. 79 2 111. 48 2 055. 96 1 958. 42 1 818. 45 1 789. 22 1 741. 99 1 361. 90 1 324. 94 1 376. 02 775. 39 846. 01 432. 31

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

0 180 60 240 120 300 0 180 60 240 120 300 0 180 60 240 120 300 0 180 60 240 120 300 0 180 240 60

10 10 10 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

56. 00 56. 60 57. 00 62. 00 65. 00 67. 85 71. 00 73. 13 75. 57 77. 89 80. 10 82. 19 84. 19 86. 08 87. 87 89. 58 91. 20 92. 74 94. 20 95. 59 96. 91 98. 16 99. 26 100. 26 101. 26 102. 26 102. 50 102. 50

2 732. 09 2 466. 35 1 901. 74 3 853. 50 2 348. 98 2 165. 65 3 863. 19 3 332. 42 2 341. 78 3 321. 42 2 324. 03 1 866. 79 3 284. 03 2 533. 53 2 070. 72 2 221. 62 1 964. 09 1784. 68 1 877. 77 1 793. 55 1 658. 02 1 668. 18 1 379. 69 1 270. 44 1 372. 96 503. 80 328. 50 825. 95

切削体积标准偏差

   注 : 切削齿直径 <13. 4 mm ; 侧转角 0° ; 每转进尺 2 mm ; 迭代次数 5 次 。 参考文献 :
[1]   陈国庆 . PDC 钻头的发展趋势 [J ]. 石油机械 ,2003 ,31 ( 增) :10321061 [2]   李树盛 ,等 . PDC 钻头优化设计与 CAD 系统软件开发 [J ] . 石油矿场机械 ,1997 ,26 (1) :225. [3]   杨  丽 ,陈康民 . PDC 钻头的三维设计方法 [J ]. 机械

设计 ,2005 ,22 ( 2) :35236 ,57.
[4]   孙明光 ,张云联 . 新型 PDC 钻头设计 [J ] . 石油钻采工

艺 ,2000 ,22 ( 2) :31234.

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