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4.1.1圆的标准方程


4.1.1

圆的标准方程

引入: (1)在平面直角坐标系中,确定直线的因素是什么? 我们又是如何求解直线方程的? (2)在平面直角坐标系中,确定圆的因素又是什么呢?

第一部分:圆的标准方程 1.圆的定义: 在平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。 其 中定点叫圆心,定长叫圆的半径。

2.圆的标准方程: 以 C(a,b)为圆心, r 为半径的圆的标准方程为:

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

例 1:求满足下列条件的圆的方程 (1)经过点 P (5,1) ,圆心在点 C (8,?3) ;
0) , (2, ? 2) . (2)圆的直径端点为 (2,

例 2:求过点 C(-1,1)和 D(1,3) ,圆心在 x 轴上的圆的方程。

变式 1:已知:圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2) ,且圆心 C 在直线 l: x ? y ? 1 ? 0 上,求此圆的标准方程.

变式 2:已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A(5,1) ,B(7,-3) , C(2,-8) ,求△ABC 外接圆的方程.

你能否归纳出求解圆的方程的一般方法?

第二部分:点和圆的位置关系 例 3: 说出圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 的圆心和半径, 并判断下列点在圆上、 在圆外、还是在圆内? A(0,0) ,B(1,1) ,C(5,0) ,D(5,2) ,E(-1,-2)

你能否归纳出判断点与圆位置关系的一般方法?

变式:已知点 P( x, y) 在圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 上,求: x 2 ? y 2 的范围

第三部分:点的轨迹方程 例 1:和点 O(0,0), A(c,0) 的距离平方差为常数 c(c ? 0) 的点的轨迹方程为 _______

变式:已知点 M(-1,0),N(1,0),求以 MN 为斜边的直角三角形的直角 顶点 P 的轨迹方程。

你能否归纳出求轨迹方程的一般步骤?


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