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高中数学完整讲义——三角函数3.三角恒等变换


高中数学讲义

板块三.三角恒等变换

典例分析
题型一:两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【例1】 cos 79 cos34 ? sin 79 sin 34 ? (

)。
2 2

A

1 2

B 1

C

D

3 2

4 ? ? 【例2】 已知 cos ? ? ? , ? ? ( , ? ) ,则 cos( ? ? ) ? ( 5 2 4

)。 D
7 2 10

A

2 10

B ?

2 10

C ?

7 2 10

【例3】 在平面直角坐标系中,已知两点 A ? (cos80 , sin80 ) , B ? (cos 20 , sin 20 ) ,则 | AB | 的值

是( A
1 2

) B
2 2

C

3 2

D 1

【例4】 若 sin ? ? sin ? ? 1 ?

3 1 , cos? ? cos ? ? ? ,则 cos(? ? ? ) ? ( 2 2



A

1 2

B ?

1 2

C ?

3 2

D

3 2

3 【例5】 已知 sin(30 ? ? ) ? , 60 ? ? ? 150 ,则 cos? ? ( 5

) D
4?3 3 10

A

3?4 3 10

B

3? 4 3 10

C

4?3 3 10

【例6】 sin15 ? cos15 ? (

)。 C
3 2

A

1 2

B

2 2

D

6 2

思维的发掘

能力的飞跃

1

高中数学讲义
【例7】 若 ? , ? 为锐角,且满足 cos ? ?

4 3 , cos(? ? ? ) ? ,则 sin ? 的值是( 5 5

)。

A

17 25

B

3 5

C

7 25

D

1 5

1 3? 3? 【例8】 已知 sin ? ? ? , ? ? (? , ) , ? ? ( , 2? ) ,则 ? ? ? 是( 4 2 2



A 第一象限角 C 第三象限角

B 第二象限角 D 第四象限角

【例9】 已知向量 a ? (cos75 , sin 75 ) , b ? (cos15 , sin15 ) ,那么 | a ? b | 的值为(



A

1 2

B

2 2

C

3 2

D 1

【例10】 已知 ? ? ? ?

3? ,则 (1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) ? ( 4



A 2

B ?2

C 1

D ?1

【例11】 sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? (

)。 D
3 2

A ?

1 2

B

1 2

C ?

3 2

【例12】 已知

1 ? tan ? ? ? 4 ? 5 ,则 tan( ? ? ) ? ( 1 ? tan ? 4

)。

A 4? 5

B 4? 5

C ?4 ? 5

D ?4 ? 5

【例13】 已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan(? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) ? ( 5 4 4 4



A

13 18

B

13 22

C

3 22

D

1 6

2

思维的发掘

能力的飞跃

高中数学讲义
【例14】 已知 sin ? ? cos ? ?
3 ? , (0 ? ? ? ) ,则 sin ? ? cos ? ? ( 3 2



A

15 3

B

2 3

C

1 3

D 1

【例15】 在 ABC 中, sin A ? cos A 的取值范围是(


2 , 2] 2

A (?1,

2]

B (?

2 2 , ] 2 2

C (?

D (?1 , 1]

【例16】 a ? sin 70 sin 30 ? cos 70 cos30 , b ? cos 71 cos30 ? sin 71 sin 30 ,则 a , b 的大小关系





【例17】 若 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 , sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 ,则 cos(? ? ? ) ?



【例18】

3 ? tan15 1 ? 3 tan15

?



【例19】 3cos x ? 4sin x ? 5cos( x ? ? ) ,则 sin ? ?

; cos? ?



【例20】

sin 7 ? cos15 sin8 的值为 cos7 ? sin15 sin8



【例21】 函数 y ? cos x ? cos( x ? ) 的最大值是 3

?



【例22】 已知 ? ? (0 ,

?
2

) ,且 sin ? ?

3 ? ,求 2 cos(? ? ) 的值。 5 4

【例23】 证明: cos(

3? ? ? ) ? ? sin ? 2

思维的发掘

能力的飞跃

3

高中数学讲义
【例24】 若 ? , ? 为锐角,且满足 cos ? ?

4 3 , cos(? ? ? ) ? ,求 cos ? 的值。 5 5

【例25】 设 cos ? ? cos ? ?

1 1 , sin ? ? sin ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值。 2 3 1 11 , cos(? ? ? ) ? ? ,求 cos ? 的值。 7 14

【例26】 已知 ? , ? 都是锐角, cos ? ?

【例27】 若 sin x ? sin y ?

3 4 , cos x ? cos y ? ,求 cos( x ? y ) 的值。 5 5

【例28】 定义

cos(?1 ? ?0 ) ? cos(?2 ? ?0 ) ? n

? cos(?n ? ?0 )

为集合 {?1 , ?2 ,

, ?n } 相对于常数 ? 0 的“余

弦平均数”,求集合 {?

2? 2? , 0, } 相对于于常数 ? 0 的“余弦平均数”。 3 3

4 ? ? 【例29】 已知 cos? ? ? , ? ? ( , ? ) ,求 sin(? ? ) 的值。 5 2 3

【例30】 已知 tan(? ? ) ? 3 ,求 tan? 的值。 4

?

【例31】 已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 sin 2? 的值。 4 13 5

【例32】 已知 ? , ? ? (0 , ? ) 且 tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? ,求 2? ? ? 的值。 2 7

【例33】 已知 sin(? ? ? ) ?

tan ? 2 3 , sin(? ? ? ) ? ,求 的值。 tan ? 3 4

4

思维的发掘

能力的飞跃

高中数学讲义
【例34】 已知函数 y ? 3sin x ? cos x ,x ? R(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)

该函数的图像可由 y ? sin x( x ? R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

【例35】 函数 f ( x) ? 2a cos x sin( x ? ? ) ? 2a sin 2 x sin ? ? 2a sin x cos x cos ? 的定义域是 R ,值域是
[?2 , 2] ,在区间 [?

5? ? , ] 上是单调递减函数,且 a ? 0 , ? ? [0 , 2? ] 。(1)求 f ( x) 的周 12 12

期;(2)求常数 a 和角 ? 的值。

【例36】 已知 ? , ? 都是锐角,且 sin ? ?

10 5 , sin ? ? ,求 ? ? ? 。 10 5

【例37】 求 tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) ? 3 tan( ? ? ) tan( ? ? ) 的值。 6 6 6 6

?

?

?

?

cos 2 x ? 5 ? 【例38】 已知 sin( ? x) ? , 0 ? x ? ,求 的值。 ? 4 13 4 cos( ? x) 4

【例39】 求证: tan( x ? y) tan( y ? z ) tan( z ? x) ? tan( x ? y) ? tan( y ? z) ? tan( z ? x) 。

? 3 ? 【例40】 已知 sin(? ? ) ? sin ? ? , ? ? ? ? 0 ,求 cos? 的值。 3 5 2

【例41】 已知 tan? 与 tan ? 是方程 x2 ? 3x ? 3 ? 0 的两根,

求 sin 2 (? ? ? ) ? 3sin(? ? ? )cos(? ? ? ) ? 3cos2 (? ? ? ) 的值。

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能力的飞跃

5

高中数学讲义
【例42】 已知向量 a ? (m cos? , ? 3) , b ? (1, n ? sin ? ) ,且 a ? b (1)若 m ? n ? 1 ,

? ? 求 sin(? ? ) 的值;(2)若 m ? ? 3 ,且 ? ? (0 , ) ,求实数 n 的取值范围。 6 2

题型二:二倍角的正弦、余弦、正切公式
【例43】 下列各式中,值为

1 的是( 2

)。 B 2cos 2 15 ? 1 D
tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

A sin15 cos15 C
1 ? cos30 2

【例44】 已知 x ? (?

?
2

, 0) , cos x ?

4 ,则 tan 2 x ? ( 5

)。
24 7

A

7 24

B ?

7 24

C

24 7

D ?

【例45】 cos2 75 ? sin 2 75 ? cos 75 cos15 的值为(

) D 1?
3 4

A

6 2

B

3 2

C

5 4

【例46】 函数 y ? 2sin x(sin x ? cos x) 的最大值为(

) D 2

A 1? 2

B

2 ?1

C

2

【例47】 若

3 1 是二次方程 x2 ? (tan ? ? ) x ? 1 ? 0 的一个根, tan ? ? 1 ,则 tan 2? ? ( 3 tan ?



A ? 3

B

3

C ?

3 3

D

3 3

【例48】 函数 f ( x) ? sin 2x ? 3 cos 2x 的最小正周期是(

)。 D

A ?

B

? 2

C

? 4

? 8

? 3 ? 【例49】 已知 sin( ? x) ? ,则 cos( ? 2 x) 的值为( 4 5 2
A
19 25

)。 D
7 25

B

16 25

C

14 25

6

思维的发掘

能力的飞跃

高中数学讲义
1 【例50】 若 tan ? ? 2 ,则 sin 2? ? ( 2

) C
2 5

A

1 2

B

2 3

D 1 ) D
3 2

【例51】 如果 sin 2? ?

1 ? ? 且 ? ? ( , ) ,那么 cos ? ? sin ? ? ( 4 4 2

A ?

3 2

B ?

3 4

C

3 4

【例52】 若 f (? ) ?

2sin 2

?
2

?1

sin cos 2 2

?

?

? 2 tan ? ,则 f ( ) ? ( 8

?



A 0

B 2

C ?2

D ?4

? ? 1 【例53】 已知 cos( ? ? )cos( ? ? ) ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? 的值等于_______。 4 4 4
sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan 2? ? _________。 2cos ? ? sin ? 3

【例54】

【例55】 化简 cos 2 75 的值是_______。

? 3 sin ? cos ? 【例56】 已知 tan(? ? ) ? ? ,则 tan? ? _________; ? _________。 3 5 3cos2 ? ? 2sin 2 ?

【例57】 已知 sin x cos x ?

3 ? ? ,求 4sin( ? x)sin( ? x) 的值 10 4 4 2 tan x 1 ? tan 2 x ; ( 2 ) 。 cos 2 x ? 1 ? tan 2 x 1 ? tan 2 x

【例58】 求证: (1) sin 2 x ?

2 3 ? 【例59】 已知 cos ? ? , cos ? ? 且 ? , ? ? (0 , ) ,求 tan 2(? ? ? ) 的值。 2 2 5

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能力的飞跃

7

高中数学讲义
【例60】 求 sin 2 20 ? cos2 50 ? sin 20 cos50 的值。

【例61】 已知 sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ,求 sin 2? 的值。

【例62】 已知 f ( x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期;(2)求 f ( x) 在区间 [0, ] 2

?

上的最大值和最小值。

【例63】 设 sin 2 2? ? sin 2? cos ? ? cos 2? ? 1, ? ? (0 ,

?
2

) 。求 sin ? , tan ? 的值。

? 3 ? 3? ? 【例64】 已知 cos(? ? ) ? ( ? ? ? ) ,求 cos(2? ? ) 的值。 4 5 2 2 4

【例65】 已知 sin ? ? cos ? ?

2 (0 ? ? ? ? ) ,求 cos 2? 的值。 2

【例66】 求函数 y ? sin 6 x ? cos6 x 的最小正周期。

? 7? 【例67】 求 f ( x) ? 5 3 cos2 x ? 3sin 2 x ? 4sin x cos x( ≤ x ≤ ) 的最小值, 并求出取得最小值时 x 的 4 24
值。
1 2 。 【例68】 化简 ? 2 ? 2 tan( ? x)sin ( ? x) 4 4 2cos 4 x ? 2cos 2 x ?

4 sin x ? 2sin 2 x 【例69】 若 cos(45 ? x) ? ? (225 ? x ? 315 ) ,求 的值。 5 1 ? tan x

8

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能力的飞跃

高中数学讲义
【例70】 已知矩形 ABCD 的长 AB ? a ,宽 AD ? b ,试求其外接矩形 EFGH 面积的最大值与对角线

长的最大值.
H D E A C G B F

题型三:简单的三角恒等变换
【例71】 化简 2 ? cos 2 ? sin 2 1 的结果是(

)。
3 cos1

A ? cos1

B cos1

C

D ? 3 cos1

【例72】 tan

?
8

? cot

?
8

的值是( B ?2

) C 1 D 2

A ?1

【例73】 若 sin 2? ?

24 ? ,则 2 cos( ? ? ) 的值为( 25 4

) D ?
7 5

A

1 5

B

7 5

C ?

1 5

1 ? sin ? ? 3? 1 【例74】 设 ? 在第二象限,且 sin( ? ) ? ,则 的值为( ? ? 2 2 2 cos ? sin 2 2



A 1

B ?1

C ?1 或 1

D 不能确定

【例75】 若 f (? ) ?

2sin 2 ? ? 1 ? ,则 f ( ) ? _______。 12 sin 4?

【例76】 等腰三角形的顶角的正弦值为

5 ,则它的底角的余弦值为_________。 13

【例77】 已知 A 是 △ ABC 的内角,且 sin A ? cos A ?

1 ,求 tan A 的值。 5

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能力的飞跃

9

高中数学讲义
【例78】 求证

(sin ? ? cos? ? 1)(sin ? ? cos? ? 1) ? ? tan 。 sin 2? 2

【例79】 已知函数 y ? 3sin 2x ? 3cos 2x 。

(1)求函数的增区间; (2)说出此函数与 y ? sin x 之间的关系。

【例80】 2002 年 8 月,在北京召开了国际数学大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角

三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方 形的面积是 1,小正方形的面积是
1 ,求 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值. 25

【例81】 求证:

1 ? 2sin ? cos ? ? ? tan( ? ? ) 。 2 2 cos ? ? sin ? 4

【例82】 已知函数 f ( x) ? ? 3sin 2 x ? sin x cos x 。

(1)求 f (

? 1 3 25? ,求 sin ? 。 ) 的值;(2)设 ? ? (0 , ? ) , f ( ) ? ? 2 4 2 6

【例83】 如图,有一块以点 O 为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 辟为

绿地,使其一边 AD 落在圆的直径上,另两点 B, C 落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长 为 a ,如何选择关于点 O 对称的点 A, D 的位置,可以使矩形 ABCD 的面积最大?
C B

D

O

A

10

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高中数学讲义
【例84】 已知 tan ? ?

1 1 ? 3? , tan ? ? , 0 ? ? ? , ? ? ? ? ,求 ? ? ? 的值。 2 2 2 3

【例85】 已知 f (? ) ? 2 tan ? ?

? ,求 f ( ) ? ? 12 sin cos 2 2
2

2sin 2

?

?1

【例86】 已知函数 f ( x) ? 2a sin 2 x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b(a ? 0) 的定义域为 [0 ,

?
2

值域为 [?5,1] , 求 ],

常数 a , b 的值。

【例87】 已知半径为 1,圆心角为

? 的扇形,求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积. 3

?π ? 【例88】 已知 ? 为锐角,且 tan ? ? ? ? ? 2 . ?4 ? ⑴ 求 tan? 的值;

⑵ 求

sin 2? cos ? ? sin ? 的值. cos 2?

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